Личность Похожаевых - Pokhozhaevs identity

Личность Похожаева является интегральным соотношением, которому удовлетворяет стационарный локализованные решения к нелинейное уравнение Шредингера или же нелинейное уравнение Клейна – Гордона. Это было получено С.И. Похожаев^[1] и похож на Теорема вириала. Это отношение также известно как Теорема Д. Х. Деррика. Подобные тождества можно вывести и для других уравнений математической физики.

Тождество Похожаева для стационарного нелинейного уравнения Шредингера

Вот общая форма, связанная с Г. Берестыцкий и П.-Л. Львы.^[2]

Позволять ${\displaystyle g(s)}$ быть непрерывным и действительным, с ${\displaystyle g(0)=0}$.Обозначить ${\displaystyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$.Позволять

${\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad G(u)\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N} ,}$

быть решением уравнения

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=g(u)}$,

в смысле распределений. потом ${\displaystyle u}$ удовлетворяет соотношению

${\displaystyle (n-2)\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u(x)|^{2}\,dx=n\int _{\mathbb {R} ^{n}}G(u(x))\,dx.}$

Тождество Похожаева для стационарного нелинейного уравнения Дирака

Позволять ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,\,N\in \mathbb {N} }$и разреши ${\displaystyle \alpha ^{i},\,1\leq i\leq n}$ и ${\displaystyle \beta }$ быть самосопряженный Матрицы Дирака размера ${\displaystyle N\times N}$:

${\displaystyle \alpha ^{i}\alpha ^{j}+\alpha ^{j}\alpha ^{i}=2\delta _{ij}I_{N},\quad \beta ^{2}=I_{N},\quad \alpha ^{i}\beta +\beta \alpha ^{i}=0,\quad 1\leq i,j\leq n.}$

Позволять ${\displaystyle D_{0}=-\mathrm {i} \alpha \cdot \nabla =-\mathrm {i} \sum _{i=1}^{n}\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ быть безмассовым Оператор Дирака.Позволять ${\displaystyle g(s)}$ быть непрерывным и действительным, с ${\displaystyle g(0)=0}$.Обозначить ${\displaystyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$.Позволять ${\displaystyle \phi \in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{N})}$ быть спинор -значное решение, удовлетворяющее стационарной форме нелинейное уравнение Дирака,

${\displaystyle \omega \phi =D_{0}\phi +g(\phi ^{\ast }\beta \phi )\beta \phi ,}$

в смысле распределений,с некоторыми ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$.Предположить, что

${\displaystyle \phi \in H^{1}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{N}),\qquad G(\phi ^{\ast }\beta \phi )\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}).}$

потом ${\displaystyle \phi }$ удовлетворяет соотношению

${\displaystyle \omega \int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)^{\ast }\phi (x)\,dx={\frac {n-1}{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)^{\ast }D_{0}\phi (x)\,dx+\int _{\mathbb {R} ^{n}}G(\phi (x)^{\ast }\beta \phi (x))\,dx.}$

Смотрите также

• Теорема вириала
• Теорема Деррика

Рекомендации

1. Похожаев, С.И. (1965). «О собственных функциях уравнения ${\displaystyle \Delta u+\lambda f(u)=0}$". Докл. Акад. АН СССР. 165: 36–39.
2. Берестыцкий Х., Лайонс П.-Л. (1983). «Нелинейные уравнения скалярного поля, I. Существование основного состояния». Arch. Rational Mech. Анальный. 82 (4): 313–345. Дои:10.1007 / BF00250555.