Тензор потенциальной энергии Чандрасекара - Chandrasekhar potential energy tensor

В астрофизика, Тензор потенциальной энергии Чандрасекара обеспечивает гравитационный потенциал тела из-за его собственной гравитации, созданной распределением материи по телу, названной в честь Индийский американец астрофизик Субраманян Чандрасекар.^[1][2][3] Тензор Чандрасекара - это обобщение потенциальной энергии, другими словами, след тензора Чандрасекара обеспечивает потенциальную энергию тела.

Определение

Тензор потенциальной энергии Чандрасекара определяется как

${\displaystyle W_{ij}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}d\mathbf {x} =\int _{V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}d\mathbf {x} }$

куда

${\displaystyle \Phi _{ij}(\mathbf {x} )=G\int _{V}\rho (\mathbf {x'} ){\frac {(x_{i}-x_{i}')(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x'} ,\quad \Rightarrow \quad \Phi _{ii}=\Phi =G\int _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x'} )}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}d\mathbf {x'} }$

куда

• ${\displaystyle G}$ это Гравитационная постоянная
• ${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )}$ это самогравитирующий потенциал от Закон всемирного тяготения Ньютона
• ${\displaystyle \Phi _{ij}}$ это обобщенная версия ${\displaystyle \Phi }$
• ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$ в этом вопрос плотность распределение
• ${\displaystyle V}$ это объем тела

Очевидно, что ${\displaystyle W_{ij}}$ симметричный тензор по определению. След тензора Чандрасекара ${\displaystyle W_{ij}}$ это не что иное, как потенциальная энергия ${\displaystyle W}$.

${\displaystyle W=W_{ii}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi d\mathbf {x} =\int _{V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}d\mathbf {x} }$

Следовательно, тензор Чандрасекара можно рассматривать как обобщение потенциальной энергии.^[4]

Доказательство Чандрасекара

Рассмотрим вопрос объема ${\displaystyle V}$ с плотностью ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$. Таким образом

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{ij}&=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}d\mathbf {x} \\&=-{\frac {1}{2}}G\int _{V}\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x'} ){\frac {(x_{i}-x_{i}')(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x'} d\mathbf {x} \\&=-G\int _{V}\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x'} ){\frac {x_{i}(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x} d\mathbf {x'} \\&=G\int _{V}d\mathbf {x} \rho (\mathbf {x} )x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\int _{V}d\mathbf {x'} {\frac {\rho (\mathbf {x'} )}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}\\&=\int _{V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}d\mathbf {x} \end{aligned}}}$

Тензор Чандрасекара через скалярный потенциал

Скалярный потенциал определяется как

${\displaystyle \chi (\mathbf {x} )=-G\int _{V}\rho (\mathbf {x'} )|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |d\mathbf {x'} }$

тогда Чандрасекхар^[5] доказывает, что

${\displaystyle W_{ij}=\delta _{ij}W+{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$

Параметр ${\displaystyle i=j}$ мы получили ${\displaystyle \nabla ^{2}\chi =-2W}$, принимая Лапласиан снова мы получаем ${\displaystyle \nabla ^{4}\chi =8\pi G\rho }$.

Смотрите также

• Теорема вириала
• Вириальные уравнения Чандрасекара

Рекомендации

1. Чандрасекхар, S; Лебовиц Н.Р. (1962). "Потенциалы и суперпотенциалы однородных эллипсоидов" (PDF). Ап. J. 136: 1037–1047. Bibcode:1962ApJ ... 136.1037C. Дои:10.1086/147456. Проверено 24 марта 2012 года.
2. Чандрасекхар, S; Ферми Э (1953). «Проблемы гравитационной устойчивости в присутствии магнитного поля» (PDF). Ап. J. 118: 116. Bibcode:1953ApJ ... 118..116C. Дои:10.1086/145732. Проверено 24 марта 2012 года.
3. Чандрасекар, Субраманян. Эллипсоидальные фигуры равновесия. Vol. 9. Нью-Хейвен: издательство Йельского университета, 1969.
4. Бинни, Джеймс; Тремейн, Скотт (30 октября 2011 г.). Галактическая динамика (Второе изд.). Princeton University Press. С. 59–60. ISBN  978-1400828722.
5. Чандрасекар, Субраманян. Эллипсоидальные фигуры равновесия. Vol. 9. Нью-Хейвен: издательство Йельского университета, 1969.