Вириальные уравнения Чандрасекара - Chandrasekhar virial equations

В астрофизика, то Вириальные уравнения Чандрасекара представляют собой иерархию момент уравнения Уравнения Эйлера, разработанная Индийский американец астрофизик Субраманян Чандрасекар, а физик Энрико Ферми и Норман Р. Лебовиц.^[1][2][3]

Математическое описание

Рассмотрим жидкую массу ${\displaystyle M}$ объема ${\displaystyle V}$ с плотность ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$ и изотропное давление ${\displaystyle p(\mathbf {x} ,t)}$ с исчезающим давлением на ограничивающих поверхностях. Здесь, ${\displaystyle \mathbf {x} }$ относится к системе отсчета, прикрепленной к центру масс. Прежде чем описывать вириальные уравнения, давайте определим некоторые моменты.

Моменты плотности определяются как

${\displaystyle M=\int _{V}\rho \,d\mathbf {x} ,\quad I_{i}=\int _{V}\rho x_{i}\,d\mathbf {x} ,\quad I_{ij}=\int _{V}\rho x_{i}x_{j}\,d\mathbf {x} ,\quad I_{ijk}=\int _{V}\rho x_{i}x_{j}x_{k}\,d\mathbf {x} ,\quad I_{ijk\ell }=\int _{V}\rho x_{i}x_{j}x_{k}x_{\ell }\,d\mathbf {x} ,\quad {\text{etc.}}}$

моменты давления

${\displaystyle \Pi =\int _{V}p\,d\mathbf {x} ,\quad \Pi _{i}=\int _{V}px_{i}\,d\mathbf {x} ,\quad \Pi _{ij}=\int _{V}px_{i}x_{j}\,d\mathbf {x} ,\quad \Pi _{ijk}=\int _{V}px_{i}x_{j}x_{k}d\mathbf {x} \quad {\text{etc.}}}$

моменты кинетической энергии равны

${\displaystyle T_{ij}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho u_{i}u_{j}\,d\mathbf {x} ,\quad T_{ij;k}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho u_{i}u_{j}x_{k}\,d\mathbf {x} ,\quad T_{ij;k\ell }={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho u_{i}u_{j}x_{k}x_{\ell }\,d\mathbf {x} ,\quad \mathrm {etc.} }$

и Тензор потенциальной энергии Чандрасекара моменты

${\displaystyle W_{ij}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}\,d\mathbf {x} ,\quad W_{ij;k}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}x_{k}\,d\mathbf {x} ,\quad W_{ij;k\ell }=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}x_{k}x_{\ell }d\mathbf {x} ,\quad \mathrm {etc.} \quad {\text{where}}\quad \Phi _{ij}=G\int _{V}\rho (\mathbf {x'} ){\frac {(x_{i}-x_{i}')(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}\,d\mathbf {x'} }$

куда ${\displaystyle G}$ это гравитационная постоянная.

Все тензоры по определению симметричны. Момент инерции ${\displaystyle I}$, кинетическая энергия ${\displaystyle T}$ и потенциальная энергия ${\displaystyle W}$ являются просто следами следующих тензоров

${\displaystyle I=I_{ii}=\int _{V}\rho |\mathbf {x} |^{2}\,d\mathbf {x} ,\quad T=T_{ii}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho |\mathbf {u} |^{2}\,d\mathbf {x} ,\quad W=W_{ii}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi \,d\mathbf {x} \quad {\text{where}}\quad \Phi =\Phi _{ii}=\int _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x'} )}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}\,d\mathbf {x'} }$

Чандрасекхар предполагается, что на массу жидкости действует сила давления и собственная гравитационная сила, то Уравнения Эйлера является

${\displaystyle \rho {\frac {du_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\rho {\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}},\quad {\text{where}}\quad {\frac {d}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

Вириальное уравнение первого порядка

${\displaystyle {\frac {d^{2}I_{i}}{dt^{2}}}=0}$

Вириальное уравнение второго порядка

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I_{ij}}{dt^{2}}}=2T_{ij}+W_{ij}+\delta _{ij}\Pi }$

В установившемся состоянии уравнение принимает вид

${\displaystyle 2T_{ij}+W_{ij}=-\delta _{ij}\Pi }$

Вириальное уравнение третьего порядка

${\displaystyle {\frac {1}{6}}{\frac {d^{2}I_{ijk}}{dt^{2}}}=2(T_{ij;k}+T_{jk;i}+T_{ki;j})+W_{ij;k}+W_{jk;i}+W_{ki;j}+\delta _{ij}\Pi _{k}+\delta _{jk}\Pi _{i}+\delta _{ki}\Pi _{j}}$

В установившемся состоянии уравнение принимает вид

${\displaystyle 2(T_{ij;k}+T_{ik;j})+W_{ij;k}+W_{ik;j}=-\delta _{ij}\Pi _{K}-\delta _{ik}\Pi _{j}}$

Вириальные уравнения во вращающейся системе отсчета

В Уравнения Эйлера во вращающейся системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$ дан кем-то

${\displaystyle \rho {\frac {du_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\rho {\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\rho {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}|\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} |^{2}+2\rho \varepsilon _{i\ell m}u_{\ell }\Omega _{m}}$

куда ${\displaystyle \varepsilon _{i\ell m}}$ это Символ Леви-Чивита, ${\displaystyle {\frac {1}{2}}|\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} |^{2}}$ это центробежное ускорение и ${\displaystyle 2\mathbf {u} \times \mathbf {\Omega } }$ это Кориолисовое ускорение.

Стационарное вириальное уравнение второго порядка

В установившемся режиме вириальное уравнение второго порядка принимает вид

${\displaystyle 2T_{ij}+W_{ij}+\Omega ^{2}I_{ij}-\Omega _{i}\Omega _{k}I_{kj}+2\epsilon _{i\ell m}\Omega _{m}\int _{V}\rho u_{\ell }x_{j}\,d\mathbf {x} =-\delta _{ij}\Pi }$

Если ось вращения выбрана в ${\displaystyle x_{3}}$ направление, уравнение становится

${\displaystyle W_{ij}+\Omega ^{2}(I_{ij}-\delta _{i3}I_{3j})=-\delta _{ij}\Pi }$

и Чандрасекар показывает, что в этом случае тензоры могут принимать только следующий вид

${\displaystyle W_{ij}={\begin{pmatrix}W_{11}&W_{12}&0\\W_{21}&W_{22}&0\\0&0&W_{33}\end{pmatrix}},\quad I_{ij}={\begin{pmatrix}I_{11}&I_{12}&0\\I_{21}&I_{22}&0\\0&0&I_{33}\end{pmatrix}}}$

Стационарное вириальное уравнение третьего порядка

В установившемся режиме вириальное уравнение третьего порядка принимает вид

${\displaystyle 2(T_{ij;k}+T_{ik;j})+W_{ij;k}+W_{ik;j}+\Omega ^{2}I_{ijk}-\Omega _{i}\Omega _{\ell }I_{\ell jk}+2\varepsilon _{i\ell m}\Omega _{m}\int _{V}\rho u_{\ell }x_{j}x_{k}\,d\mathbf {x} =-\delta _{ij}\Pi _{k}-\delta _{ik}\Pi _{j}}$

Если ось вращения выбрана в ${\displaystyle x_{3}}$ направление, уравнение становится

${\displaystyle W_{ij;k}+W_{ik;j}+\Omega ^{2}(I_{ijk}-\delta _{i3}I_{3jk})=-(\delta _{ij}\Pi _{k}+\delta _{ik}\Pi _{j})}$

Стационарное вириальное уравнение четвертого порядка

С ${\displaystyle x_{3}}$ будучи осью вращения, стационарное вириальное уравнение четвертого порядка также получено Чандрасекаром в 1968 году.^[4] Уравнение читается как

${\displaystyle {\frac {1}{3}}(2W_{ij;kl}+2W_{ik;lj}+2W_{il;jk}+W_{ij;k;l}+W_{ik;l;j}+W_{il;j;k})+\Omega ^{2}(I_{ijkl}-\delta _{i3}I_{3jkl})=-(\delta _{ij}\Pi _{kl}+\delta _{ik}\Pi _{lj}+\delta _{il}\Pi _{jk})}$

Вириальные уравнения с вязкими напряжениями

Рассмотрим Уравнения Навье-Стокса вместо Уравнения Эйлера,

${\displaystyle \rho {\frac {du_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\rho {\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial \tau _{ik}}{\partial x_{k}}},\quad {\text{where}}\quad \tau _{ik}=\rho \nu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}}{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{l}}}\delta _{ik}\right)}$

и определим тензор энергии сдвига как

${\displaystyle S_{ij}=\int _{V}\tau _{ij}d\mathbf {x} .}$

С условием обращения в нуль нормальной составляющей полного напряжения на свободной поверхности, т. Е. ${\displaystyle (-p\delta _{ik}+\tau _{ik})n_{k}=0}$, куда ${\displaystyle \mathbf {n} }$ - внешняя единичная нормаль, тогда вириальное уравнение второго порядка будет

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I_{ij}}{dt^{2}}}=2T_{ij}+W_{ij}+\delta _{ij}\Pi -S_{ij}.}$

Это можно легко расширить до вращающейся системы ссылок.

Смотрите также

• Теорема вириала
• Эллипсоидальная задача Дирихле
• Тензор Чандрасекара

Рекомендации

1. Чандрасекхар, S; Лебовиц Н.Р. (1962). "Потенциалы и суперпотенциалы однородных эллипсоидов" (PDF). Ап. J. 136: 1037–1047. Bibcode:1962ApJ ... 136.1037C. Дои:10.1086/147456. Проверено 24 марта 2012 года.
2. Чандрасекхар, S; Ферми Э (1953). «Проблемы гравитационной устойчивости в присутствии магнитного поля» (PDF). Ап. J. 118: 116. Bibcode:1953ApJ ... 118..116C. Дои:10.1086/145732. Проверено 24 марта 2012 года.
3. Чандрасекар, Субраманян. Эллипсоидальные фигуры равновесия. Vol. 9. Нью-Хейвен: издательство Йельского университета, 1969.
4. Чандрасекхар, С. (1968). Вириальные уравнения четвертого порядка. Астрофизический журнал, 152, 293. http://repository.ias.ac.in/74364/1/93-p-OCR.pdf