Вириальный стресс - Virial stress

Вириальный стресс это мера механическое напряжение в атомном масштабе для однородных систем. Выражение (локального) вириального напряжения может быть получено как функциональная производная от свободной энергии молекулярной системы по отношению к тензор деформации.^[1]

Усредненный объем Определение

Мгновенное усредненное по объему вириальное напряжение определяется выражением

{ displaystyle tau _ {ij} = { frac {1} { Omega}} sum _ {k in Omega} left (-m ^ {(k)} (u_ {i} ^ {( k)} - { bar {u}} _ {i}) (u_ {j} ^ {(k)} - { bar {u}} _ {j}) + { frac {1} {2} } sum _ { ell in Omega} (x_ {i} ^ {( ell)} - x_ {i} ^ {(k)}) f_ {j} ^ {(k ell)} right )}

куда

${ displaystyle k}$ и ${ displaystyle ell}$ атомы в домене,
${ displaystyle Omega}$ - объем домена,
${ Displaystyle м ^ {(к)}}$ это масса атома k,
${ Displaystyle и_ {я} ^ {(к)}}$ это я^th составляющая скорости атома k,
${ displaystyle { bar {u}} _ {j}}$ это j^th составляющая средней скорости атомов в объеме,
${ Displaystyle х_ {я} ^ {(к)}}$ это я^th компонент положения атома k, и
${ Displaystyle е_ {я} ^ {(к ell)}}$ это я^th составляющая силы, приложенной к атому ${ displaystyle k}$ атомом ${ displaystyle ell}$ .

В ноль кельвинов, все скорости равны нулю, поэтому имеем

{ displaystyle tau _ {ij} = { frac {1} {2 Omega}} sum _ {k, ell in Omega} (x_ {i} ^ {( ell)} - x_ { i} ^ {(k)}) f_ {j} ^ {(k ell)}}

.

Это можно представить следующим образом. Τ₁₁ компонент напряжения - сила в Икс₁-направление, деленное на площадь плоскости, перпендикулярной этому направлению. Рассмотрим два смежных объема, разделенных такой плоскостью. 11-компонентное напряжение на этой границе раздела - это сумма всех парных сил между атомами на двух сторонах.

Среднее по объему вириальное напряжение тогда равно средний по ансамблю мгновенного объема усредненного вириального стресса.

В трехмерной изотропной системе в состоянии равновесия «мгновенное» атомное давление обычно определяется как среднее по диагоналям отрицательного тензора напряжений:

{ displaystyle { mathcal {P}} _ {at} = - { frac {1} {3}} Tr ( tau).}

Тогда давление является средним по ансамблю мгновенного давления.^[2]

{ displaystyle P_ {at} = langle { mathcal {P}} _ {at} rangle.}

Это давление является средним давлением в объеме ${ displaystyle Omega}$ .

Эквивалентное определение

Стоит отметить, что некоторые статьи и учебник^[2] используйте немного другую, но эквивалентную версию уравнения

{ displaystyle tau _ {ij} = { frac {1} { Omega}} sum _ {k in Omega} left (-m ^ {(k)} (u_ {i} ^ {( k)} - { bar {u}} _ {i}) (u_ {j} ^ {(k)} - { bar {u}} _ {j}) - { frac {1} {2} } sum _ { ell in Omega} x_ {i} ^ {(k ell)} f_ {j} ^ {(k ell)} right)}

куда ${ Displaystyle х_ {я} ^ {(к ell)}}$ это я^th компонент вектора, ориентированный от ${ displaystyle ell}$ ^th атомы к k^th рассчитывается через разность

${ displaystyle x_ {i} ^ {k ell} = x_ {i} ^ {(k)} - x_ {i} ^ {( ell)}}$

Оба уравнения строго эквивалентны, поэтому определение вектора может привести к путанице.

Вывод

Вириальное давление можно получить, используя теорема вириала и силы разделения между частицами и контейнером^[3] или, в качестве альтернативы, путем прямого применения определяющего уравнения ${ Displaystyle P = - { frac { partial F (N, V, T)} { partial V}}}$ и использование масштабированных координат в расчетах.

Неоднородные системы

Если система неоднородна в данном объеме, указанное выше (усредненное по объему) давление не является хорошим показателем давления. В неоднородных системах давление зависит от положения и ориентации поверхности, на которую действует давление. Следовательно, в неоднородных системах необходимо определение местного давления.^[4] В качестве общего примера системы с неоднородным давлением вы можете представить себе давление в атмосфере Земли, которое зависит от роста.

Мгновенный локальный вириальный стресс

(Местный) мгновенный вириальный стресс определяется по формуле:^[1]

${ displaystyle tau _ {ab} ({ vec {r}}) = - sum _ {i = 1} ^ {N} delta ({ vec {r}} - { vec {r}} ^ {(i)}) left (m ^ {(i)} u_ {a} ^ {(i)} u_ {b} ^ {(i)} + { frac {1} {2}} sum _ {j = 1, j neq i} ^ {N} ({ vec {r}} ^ {(i)} - { vec {r}} ^ {(j)}) _ {a} { vec {f}} _ {b} ^ {(ij)} right),}$

Измерение вириального давления в молекулярном моделировании

Вириальное давление можно измерить с помощью приведенных выше формул или с помощью пробных перемещений по изменению масштаба.^[5]

Смотрите также

Теорема вириала

внешняя ссылка

[morante06-1] а ^б Моранте, С., Г. К. Росси и М. Теста. «Тензор напряжений молекулярной системы: упражнение в статистической механике». Журнал химической физики 125.3 (2006): 034101, http://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.2214719.

[allen91-2] а ^б Аллен, депутат; Тилдесли, DJ (1991). Кларендон Пресс (ред.). Компьютерное моделирование жидкостей. Оксфорд. С. 46–50.

[3] Навет, М .; Jamin, E .; Feix, M. R. (1980-02-01). "" Вириальное «давление классической однокомпонентной плазмы». Journal de Physique Lettres. 41 (3): 69–73. Дои:10.1051 / jphyslet: 0198000410306900. ISSN 0302-072X.

[4] Численное моделирование смектической ламеллярной фазы амфифильных молекул, стр. 40, https://books.google.de/books?id=rPpegGthzO4C&lpg=PA40&dq=local%20pressure%20tensor&hl=de&pg=PA40#v=onepage&q=local%20pressure%20tensor&f=false

[5] Мигель, Энрике де; Джексон, Джордж (30 октября 2006 г.). «Природа расчета давления в молекулярных симуляторах непрерывных моделей по объемным возмущениям». Журнал химической физики. 125 (16): 164109. Bibcode:2006ЖЧФ.125п4109Д. Дои:10.1063/1.2363381. HDL:10272/9584. ISSN 0021-9606. PMID 17092065.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]