Среднее расстояние между частицами - Mean inter-particle distance

Среднее расстояние между частицами (или среднее расстояние между частицами) - это среднее расстояние между микроскопическими частицами (обычно атомы или же молекулы ) в макроскопическом теле.

Двусмысленность

Из самых общих соображений, среднее расстояние между частицами пропорционально размеру объема, приходящегося на одну частицу. ${\displaystyle 1/n}$, т.е.

${\displaystyle \langle r\rangle \sim 1/n^{1/3},}$

куда ${\displaystyle n=N/V}$ это плотность частиц. Однако, за исключением нескольких простых случаев, таких как идеальный газ модели, точные вычисления коэффициента пропорциональности аналитически невозможны. Поэтому часто используются приближенные выражения. Одна из таких оценок - Радиус Вигнера-Зейтца

${\displaystyle \left({\frac {3}{4\pi n}}\right)^{1/3},}$

что соответствует радиусу сферы, имеющей объем на частицу ${\displaystyle 1/n}$. Другое популярное определение -

${\displaystyle 1/n^{1/3}}$,

соответствующая длине ребра куба с объемом на частицу ${\displaystyle 1/n}$. Эти два определения различаются примерно в разы. ${\displaystyle 1.61}$, поэтому нужно проявлять осторожность, если в статье не удается точно определить параметр. С другой стороны, он часто используется в качественных утверждениях, где такой числовой фактор либо не имеет значения, либо играет незначительную роль, например,

• "потенциальная энергия ... пропорциональна некоторой степени n расстояния между частицами r" (Теорема вириала )
• «расстояние между частицами намного больше, чем тепловая длина волны де Бройля» (Кинетическая теория )

Идеальный газ

Распределение ближайших соседей

PDF расстояний NN в идеальном газе.

Мы хотим рассчитать функция распределения вероятностей расстояния до ближайшего соседа (NN) частицы. (Проблема была впервые рассмотрена Пол Герц;^[1] для современного вывода см., например,.^[2]) Предположим ${\displaystyle N}$ частицы внутри сферы, имеющей объем ${\displaystyle V}$, так что ${\displaystyle n=N/V}$. Обратите внимание, что поскольку частицы в идеальном газе не взаимодействуют, вероятность найти частицу на определенном расстоянии от другой частицы равна вероятности найти частицу на том же расстоянии от любой другой точки; мы будем использовать центр сферы.

Частица NN на расстоянии ${\displaystyle r}$ означает ровно один из ${\displaystyle N}$ частицы находятся на этом расстоянии, а остальные ${\displaystyle N-1}$ частицы находятся на больших расстояниях, т.е. находятся где-то вне сферы с радиусом ${\displaystyle r}$.

Вероятность найти частицу на расстоянии от начала координат между ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle r+dr}$ является${\displaystyle (4\pi r^{2}/V)dr}$, плюс у нас есть ${\displaystyle N}$ способов выбрать, какую частицу, в то время как вероятность найти частицу вне этой сферы равна ${\displaystyle 1-4\pi r^{3}/3V}$. Искомое выражение тогда

${\displaystyle P_{N}(r)dr=4\pi r^{2}dr{\frac {N}{V}}\left(1-{\frac {4\pi }{3}}r^{3}/V\right)^{N-1}={\frac {3}{a}}\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}dr\left(1-\left({\frac {r}{a}}\right)^{3}{\frac {1}{N}}\right)^{N-1}\,}$

где мы заменили

${\displaystyle {\frac {1}{V}}={\frac {3}{4\pi Na^{3}}}.}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle a}$ это Радиус Вигнера-Зейтца. Наконец, взяв ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$ ограничение и использование ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}$, мы получаем

${\displaystyle P(r)={\frac {3}{a}}\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}e^{-(r/a)^{3}}\,.}$

Можно сразу проверить, что

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }P(r)dr=1\,.}$

Пик распределения при

${\displaystyle r_{\text{peak}}=\left(2/3\right)^{1/3}a\approx 0.874a\,.}$

Среднее расстояние и более высокие моменты распределения NN

${\displaystyle \langle r^{k}\rangle =\int _{0}^{\infty }P(r)r^{k}dr=3a^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k+2}e^{-x^{3}}dx\,,}$

или, используя ${\displaystyle t=x^{3}}$ замена,

${\displaystyle \langle r^{k}\rangle =a^{k}\int _{0}^{\infty }t^{k/3}e^{-t}dt=a^{k}\Gamma (1+{\frac {k}{3}})\,,}$

куда ${\displaystyle \Gamma }$ это гамма-функция. Таким образом,

${\displaystyle \langle r^{k}\rangle =a^{k}\Gamma (1+{\frac {k}{3}})\,.}$

Особенно,

${\displaystyle \langle r\rangle =a\Gamma ({\frac {4}{3}})={\frac {a}{3}}\Gamma ({\frac {1}{3}})\approx 0.893a\,.}$

Рекомендации

1. Герц, Пол (1909). "Über den gegenseitigen durchschnittlichen Abstand von Punkten, die mit bekannter mittlerer Dichte im Raume angeordnet sind". Mathematische Annalen. 67 (3): 387–398. Дои:10.1007 / BF01450410. ISSN  0025-5831. S2CID  120573104.
2. Чандрасекхар, С. (1943-01-01). «Стохастические задачи физики и астрономии». Обзоры современной физики. 15 (1): 1–89. Bibcode:1943РвМП ... 15 .... 1С. Дои:10.1103 / RevModPhys.15.1.

Смотрите также

• Радиус Вигнера-Зейтца