Метод ньюмарк-бета - Newmark-beta method

В Метод ньюмарк-бета это метод из численное интегрирование используется для решения определенных дифференциальные уравнения. Он широко используется при численной оценке динамического отклика конструкций и твердых тел, таких как анализ методом конечных элементов для моделирования динамических систем. Метод назван в честь Натан М. Ньюмарк,^[1] бывший профессор гражданского строительства в Университет Иллинойса в Урбане-Шампейн, который разработал его в 1959 году для использования в структурная динамика. Полудискретизированное структурное уравнение представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка,

${\displaystyle M{\ddot {u}}+C{\dot {u}}+f^{\textrm {int}}(u)=f^{\textrm {ext}}\,}$

Вот ${\displaystyle M}$ - матрица масс, ${\displaystyle C}$ - матрица затухания, ${\displaystyle f^{\textrm {int}}}$ и ${\displaystyle f^{\textrm {ext}}}$ внутренние и внешние силы.

С использованием расширенная теорема о среднем значении, Ньюмарк-${\displaystyle \beta }$ метод утверждает, что первая производная по времени (скорость в уравнение движения ) можно решить как,

${\displaystyle {\dot {u}}_{n+1}={\dot {u}}_{n}+\Delta t~{\ddot {u}}_{\gamma }\,}$

где

${\displaystyle {\ddot {u}}_{\gamma }=(1-\gamma ){\ddot {u}}_{n}+\gamma {\ddot {u}}_{n+1}~~~~0\leq \gamma \leq 1}$

следовательно

${\displaystyle {\dot {u}}_{n+1}={\dot {u}}_{n}+(1-\gamma )\Delta t~{\ddot {u}}_{n}+\gamma \Delta t~{\ddot {u}}_{n+1}.}$

Однако, поскольку ускорение также изменяется со временем, расширенная теорема о среднем значении также должна быть распространена на вторую производную по времени, чтобы получить правильное смещение. Таким образом,

${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+\Delta t~{\dot {u}}_{n}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\Delta t^{2}~{\ddot {u}}_{\beta }}$

где снова

${\displaystyle {\ddot {u}}_{\beta }=(1-2\beta ){\ddot {u}}_{n}+2\beta {\ddot {u}}_{n+1}~~~~0\leq 2\beta \leq 1}$

Дискретизированное структурное уравнение принимает вид

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {u}}_{n+1}={\dot {u}}_{n}+(1-\gamma )\Delta t~{\ddot {u}}_{n}+\gamma \Delta t~{\ddot {u}}_{n+1}\\&u_{n+1}=u_{n}+\Delta t~{\dot {u}}_{n}+{\frac {\Delta t^{2}}{2}}\left((1-2\beta ){\ddot {u}}_{n}+2\beta {\ddot {u}}_{n+1}\right)\\&M{\ddot {u}}_{n+1}+C{\dot {u}}_{n+1}+f^{\textrm {int}}(u_{n+1})=f_{n+1}^{\textrm {ext}}\,\end{aligned}}}$

Явная центральная разностная схема получается путем установки ${\displaystyle \gamma =0.5}$ и ${\displaystyle \beta =0}$

Среднее постоянное ускорение (правило средней точки) получается путем установки ${\displaystyle \gamma =0.5}$ и ${\displaystyle \beta =0.25}$

Анализ устойчивости

Схема интегрирования по времени называется стабильной, если существует временной шаг интегрирования ${\displaystyle \Delta t_{0}>0}$ так что для любого ${\displaystyle \Delta t\in (0,\Delta t_{0}]}$, конечная вариация вектора состояния ${\displaystyle q_{n}}$ вовремя ${\displaystyle t_{n}}$ индуцирует только невозрастающее изменение вектора состояния ${\displaystyle q_{n+1}}$ рассчитывается в последующее время ${\displaystyle t_{n+1}}$. Предположим, что схема интегрирования по времени

${\displaystyle q_{n+1}=A(\Delta t)q_{n}+g_{n+1}(\Delta t)}$

Линейная устойчивость эквивалентна ${\displaystyle \rho (A(\Delta t))\leq 1}$, Вот ${\displaystyle \rho (A(\Delta t))}$ это спектральный радиус матрицы обновления ${\displaystyle A(\Delta t)}$.

Для линейного структурного уравнения

${\displaystyle M{\ddot {u}}+C{\dot {u}}+Ku=f^{\textrm {ext}}\,}$

Вот ${\displaystyle K}$ - матрица жесткости. Позволять ${\displaystyle q_{n}=[{\dot {u}}_{n},u_{n}]}$, матрица обновления ${\displaystyle A=H_{1}^{-1}H_{0}}$, и

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}={\begin{bmatrix}M+\gamma \Delta tC&\gamma \Delta tK\\\beta \Delta t^{2}C&M+\beta \Delta t^{2}K\end{bmatrix}}\qquad H_{0}={\begin{bmatrix}M-(1-\gamma )\Delta tC&-(1-\gamma )\Delta tK\\-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}C+\Delta tM&M-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}K\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Для незатухающего корпуса (${\displaystyle C=0}$) матрицу обновления можно отделить, введя собственные моды ${\displaystyle u=e^{i\omega _{i}t}x_{i}}$ структурной системы, которые решаются обобщенной задачей на собственные значения

${\displaystyle \omega ^{2}Mx=Kx\,}$

Для каждой собственной моды матрица обновления становится

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}={\begin{bmatrix}1&\gamma \Delta t\omega _{i}^{2}\\0&1+\beta \Delta t^{2}\omega _{i}^{2}\end{bmatrix}}\qquad H_{0}={\begin{bmatrix}1&-(1-\gamma )\Delta t\omega _{i}^{2}\\\Delta t&1-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}\omega _{i}^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Характеристическое уравнение матрицы обновления:

${\displaystyle \lambda ^{2}-\left(2-(\gamma +{\frac {1}{2}})\eta _{i}^{2}\right)\lambda +1-(\gamma -{\frac {1}{2}})\eta _{i}^{2}=0\,\qquad \eta _{i}^{2}={\frac {\omega _{i}^{2}\Delta t^{2}}{1+\beta \omega _{i}^{2}\Delta t^{2}}}}$

Что касается стабильности, мы имеем

Явная центральная разностная схема (${\displaystyle \gamma =0.5}$ и ${\displaystyle \beta =0}$) стабильна, когда ${\displaystyle \omega \Delta t\leq 2}$.

Среднее постоянное ускорение (правило средней точки) (${\displaystyle \gamma =0.5}$ и ${\displaystyle \beta =0.25}$) безусловно устойчива.

использованная литература

1. Ньюмарк, Натан М. (1959), «Метод расчета структурной динамики», Журнал отдела инженерной механики, 85 (EM3): 67–94