Алгоритм Биманса - Beemans algorithm

Алгоритм Бимана это метод для численно интегрирующий обыкновенные дифференциальные уравнения порядка 2, а именно уравнения движения Ньютона ${\displaystyle {\ddot {x}}=A(x)}$. Он был разработан, чтобы позволить большое количество частиц в моделировании молекулярной динамики. Существует прямой или явный и неявный варианты метода. Прямой вариант был опубликован Шофилдом в 1973 г.^[1] как личное сообщение от Бимана. Это то, что обычно называют Метод Бимана. Это вариант Интеграция Верле метод. Он производит идентичные позиции, но использует другую формулу для скоростей. Биман в 1976 году опубликовал^[2] класс неявных (предиктор – корректор) многошаговых методов, где Метод Бимана является прямым вариантом метода третьего порядка в этом классе.

Уравнение

Формула, используемая для вычисления позиций в момент времени ${\displaystyle t+\Delta t}$ в полном составе предиктор-корректор^[2] Схема такая:

• Предсказывать ${\displaystyle x(t+\Delta t)}$ из данных время от времени ${\displaystyle t{\text{ and }}t-\Delta t}$

${\displaystyle x(t+\Delta t)=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {1}{6}}{\Bigl (}4a(t)-a(t-\Delta t){\Bigr )}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4})}$.

• Правильное положение и скорость во времени ${\displaystyle t+\Delta t}$ из данных время от времени ${\displaystyle t{\text{ and }}t+\Delta t}$ путем многократного вычисления дифференциального уравнения, чтобы получить ускорение ${\displaystyle a(t+\Delta t)}$ и уравнений неявной системы

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t+\Delta t)&=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {1}{6}}{\Bigl (}a(t+\Delta t)+2a(t){\Bigr )}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4});\\v(t+\Delta t)\Delta t&=x(t+\Delta t)-x(t)+{\frac {1}{6}}{\Bigl (}2a(t+\Delta t)+a(t){\Bigr )}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4});\end{aligned}}}$

В ходе испытаний было установлено, что этот шаг корректора необходимо повторить не более двух раз. Значения справа - это старые значения последних итераций, в результате чего слева появляются новые значения.

Используя только формулу предиктора и корректор для скоростей, можно получить прямой или явный метод^[1] который является вариантом метода интегрирования Верле:^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t+\Delta t)&=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {1}{6}}{\Bigl (}4a(t)-a(t-\Delta t){\Bigr )}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4})\\v(t+\Delta t)&=v(t)+{\frac {1}{6}}{\Bigl (}2a(t+\Delta t)+5a(t)-a(t-\Delta t){\Bigr )}\Delta t+O(\Delta t^{3});\end{aligned}}}$

Это вариант, который обычно понимается как Метод Бимана.

Биман^[2] также предлагается альтернативно заменить обновление скорости в последнем уравнении на второй порядок Метод Адамса – Моултона:

${\displaystyle v(t+\Delta t)=v(t)+{\frac {1}{12}}{\Bigl (}5a(t+\Delta t)+8a(t)-a(t-\Delta t){\Bigr )}\Delta t+O(\Delta t^{3})}$

куда

• ${\displaystyle t}$ настоящее время (т.е. независимая переменная)
• ${\displaystyle \Delta t}$ размер временного шага
• ${\displaystyle x(t)}$ позиция в момент времени t
• ${\displaystyle v(t)}$ - скорость в момент времени t
• ${\displaystyle a(t)}$ - ускорение в момент времени t, вычисленное как функция ${\displaystyle x(t)}$
• последний член - это член ошибки, используя нотация большой O

Модификации предиктора – корректора

В системах, где силы являются функцией скорости в дополнение к положению, приведенные выше уравнения необходимо преобразовать в форму предсказателя-корректора, в соответствии с которой скорости в момент времени ${\displaystyle t+\Delta t}$ спрогнозированы, и силы рассчитаны до получения скорректированной формы скоростей.

Пример:

${\displaystyle x(t+\Delta t)=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {2}{3}}a(t)\Delta t^{2}-{\frac {1}{6}}a(t-\Delta t)\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4}).}$

Скорости во времени ${\displaystyle t=t+\Delta t}$ затем рассчитываются (прогнозируются) с позиций.

${\displaystyle v(t+\Delta t)~{\text{(predicted)}}=v(t)+{\frac {3}{2}}a(t)\Delta t-{\frac {1}{2}}a(t-\Delta t)\Delta t+O(\Delta t^{3}).}$

Ускорения ${\displaystyle a(t+\Delta t)}$ вовремя ${\displaystyle t=t+\Delta t}$ затем вычисляются на основе положений и прогнозируемых скоростей, и скорости корректируются.

${\displaystyle v(t+\Delta t)~{\text{(corrected)}}=v(t)+{\frac {5}{12}}a(t+\Delta t)\Delta t+{\frac {2}{3}}a(t)\Delta t-{\frac {1}{12}}a(t-\Delta t)\Delta t+O(\Delta t^{3}).}$

Срок ошибки

Как показано выше, термин локальной ошибки ${\displaystyle O(\Delta t^{4})}$ для должности и ${\displaystyle O(\Delta t^{3})}$ скорости, что приводит к глобальной ошибке ${\displaystyle O(\Delta t^{3})}$. Для сравнения, Верле ${\displaystyle O(\Delta t^{2})}$ для положения и скорости. В обмен на большую точность алгоритм Бимана умеренно дороже в вычислительном отношении.

Требования к памяти

Моделирование должно отслеживать положение, скорость, ускорение и предыдущие векторы ускорения для каждой частицы (хотя возможны некоторые умные обходные пути для сохранения предыдущего вектора ускорения), сохраняя требования к памяти на уровне скорости Верле и немного дороже, чем исходный метод Верле. .

Рекомендации

1. Шофилд, П. (1973), "Компьютерное моделирование исследований жидкого состояния", Компьютерная физика Коммуникации, 5 (1): 17–23, Дои:10.1016/0010-4655(73)90004-0
2. Биман, Дэвид (1976), "Некоторые многоступенчатые методы для использования в расчетах молекулярной динамики", Журнал вычислительной физики, 20 (2), стр. 130–139, Дои:10.1016/0021-9991(76)90059-0
3. Левитт, Майкл; Мейрович, Хагай; Хубер, Р. (1983), "Интегрирование уравнений движения", Журнал молекулярной биологии, 168 (3): 617–620, Дои:10.1016 / S0022-2836 (83) 80305-2, PMID  6193281

• Садус, Ричард Дж. (2002), Молекулярная теория жидкостей: теория, алгоритмы и объектная ориентация, Elsevier, стр. 231, ISBN  0-444-51082-6