Интеграция чехарда - Leapfrog integration

В числовой анализ, чехарда интеграции это метод для численного интегрирования дифференциальные уравнения формы

${displaystyle {ddot {x}}=d^{2}x/dt^{2}=A(x)}$,

или эквивалентно формы

${displaystyle {dot {v}}=dv/dt=A(x),;{dot {x}}=dx/dt=v}$,

особенно в случае динамическая система из классическая механика.

Этот метод известен под разными названиями в разных дисциплинах. В частности, он похож на скорость Верле метод, который является вариантом Интеграция Верле. Интеграция Leapfrog эквивалентна обновлению позиций ${displaystyle x(t)}$ и скорости ${displaystyle v(t)={dot {x}}(t)}$ в чередующиеся моменты времени, смещенные таким образом, что они "чехарда "друг над другом.

Интеграция Leapfrog - метод второго порядка, в отличие от Интегрирование Эйлера, который является только первым порядком, но требует того же количества вычислений функции на шаг. В отличие от интегрирования Эйлера, оно устойчиво для колебательного движения, пока шаг по времени ${displaystyle Delta t}$ постоянно, и ${displaystyle Delta tleq 2/omega }$.^[1]

Используя коэффициенты Йошиды, многократно применяя интегратор чехарда с правильными временными шагами, можно сгенерировать интегратор гораздо более высокого порядка.

Алгоритм

При интегрировании чехарда уравнения для обновления положения и скорости следующие:

${displaystyle {egin{aligned}a_{i}&=A(x_{i}),v_{i+1/2}&=v_{i-1/2}+a_{i},Delta t,x_{i+1}&=x_{i}+v_{i+1/2},Delta t,end{aligned}}}$

куда ${displaystyle x_{i}}$ позиция на шаге ${displaystyle i}$, ${displaystyle v_{i+1/2,}}$ скорость или первая производная от ${displaystyle x}$, на шаге ${displaystyle i+1/2,}$, ${displaystyle a_{i}=A(x_{i})}$ это ускорение или вторая производная от ${displaystyle x}$, на шаге ${displaystyle i}$, и ${displaystyle Delta t}$ размер каждого временного шага. Эти уравнения можно выразить в форме, которая также дает скорость с целыми шагами:^[2]

${displaystyle {egin{aligned}x_{i+1}&=x_{i}+v_{i},Delta t+{ frac {1}{2}},a_{i},Delta t^{,2},v_{i+1}&=v_{i}+{ frac {1}{2}}(a_{i}+a_{i+1}),Delta t.end{aligned}}}$

Однако даже в этой синхронизированной форме временной шаг ${displaystyle Delta t}$ должен быть постоянным, чтобы поддерживать стабильность.^[3]

Синхронизированная форма может быть преобразована в форму «кик-дрифт-кик»;

${displaystyle {egin{aligned}v_{i+1/2}&=v_{i}+a_{i}{frac {Delta t}{2}},x_{i+1}&=x_{i}+v_{i+1/2}Delta t,v_{i+1}&=v_{i+1/2}+a_{i+1}{frac {Delta t}{2}},end{aligned}}}$

который в основном используется там, где требуются переменные временные шаги. Разделение расчета ускорения на начало и конец шага означает, что при увеличении разрешения по времени в два раза (${displaystyle Delta tightarrow Delta t/2}$), то требуется только одно дополнительное (затратное в вычислительном отношении) вычисление ускорения.

Одно из применений этого уравнения - моделирование силы тяжести, поскольку в этом случае ускорение зависит только от положения гравитирующих масс (а не от их скоростей), хотя интеграторы более высокого порядка (такие как Методы Рунге – Кутты ) используются чаще.

Применительно к задачам механики резкая интеграция имеет два основных преимущества. Первый - это обратимость во времени метода чехарды. Можно интегрироваться вперед п шаги, а затем измените направление интеграции и интегрируйте в обратном направлении п шаги для достижения той же исходной позиции. Вторая сила - это симплектический природа, что означает, что он сохраняет (слегка измененную) энергию динамических систем. Это особенно полезно при вычислении орбитальной динамики, как и во многих других схемах интегрирования, таких как (порядок-4) Рунге-Кутта метод, не экономят энергию и позволяют системе существенно дрейфовать с течением времени.

Из-за его обратимости во времени и потому, что это симплектический интегратор, интеграция чехарда также используется в Гамильтониан Монте-Карло, метод построения случайных выборок из распределения вероятностей, общая нормализация которого неизвестна.^[4]

Алгоритмы Ёсида

Интегратор чехарда может быть преобразован в интеграторы более высокого порядка с использованием методов, связанных с Харуо Ёсида. В этом подходе чехарда применяется к нескольким различным временным шагам. Оказывается, что при последовательном использовании правильных временных шагов ошибки устраняются и могут быть легко получены интеграторы гораздо более высокого порядка.^[5][6]

Интегратор Йошида 4-го порядка

Один шаг в интеграторе Yoshida 4-го порядка требует четырех промежуточных шагов. Положение и скорость вычисляются в разное время. Требуется только три (дорогостоящих в вычислительном отношении) расчета ускорения.

Уравнения для интегратора 4-го порядка для обновления положения и скорости:

${displaystyle {egin{aligned}x_{i}^{1}&=x_{i}+c_{1},v_{i},Delta t,v_{i}^{1}&=v_{i}+d_{1},a(x_{i}^{1}),Delta t,x_{i}^{2}&=x_{i}^{1}+c_{2},v_{i}^{1},Delta t,v_{i}^{2}&=v_{i}^{1}+d_{2},a(x_{i}^{2}),Delta t,x_{i}^{3}&=x_{i}^{2}+c_{3},v_{i}^{2},Delta t,v_{i}^{3}&=v_{i}^{2}+d_{3},a(x_{i}^{3}),Delta t,x_{i+1}&equiv x_{i}^{4}=x_{i}^{3}+c_{4},v_{i}^{3},Delta t,v_{i+1}&equiv v_{i}^{4}=v_{i}^{3}end{aligned}}}$

куда ${displaystyle x_{i},v_{i}}$ - начальная позиция и скорость, ${displaystyle x_{i}^{n},v_{i}^{n}}$ промежуточное положение и скорость на промежуточном этапе ${displaystyle n}$, ${displaystyle a(x_{i}^{n})}$ это ускорение в положении ${displaystyle x_{i}^{n}}$, и ${displaystyle x_{i+1},v_{i+1}}$ - конечное положение и скорость при одном шаге Ёсида 4-го порядка.

Коэффициенты ${displaystyle (c_{1},c_{2},c_{3},c_{4})}$ и ${displaystyle (d_{1},d_{2},d_{3})}$ получены в ^[6] (см. уравнение (4.6))

${displaystyle {egin{aligned}w_{0}&equiv -{frac {sqrt[{3}]{2}}{2-{sqrt[{3}]{2}}}},w_{1}&equiv {frac {1}{2-{sqrt[{3}]{2}}}},c_{1}&=c_{4}equiv {frac {w_{1}}{2}},c_{2}=c_{3}equiv {frac {w_{0}+w_{1}}{2}},d_{1}&=d_{3}equiv w_{1},d_{2}equiv w_{0}end{aligned}}}$

Все промежуточные шаги образуют единый ${displaystyle Delta t}$ шаг, который подразумевает, что сумма коэффициентов равна единице: ${displaystyle sum _{i=1}^{4}c_{i}=1}$ и ${displaystyle sum _{i=1}^{3}d_{i}=1}$. Обратите внимание, что положение и скорость вычисляются в разное время, а некоторые промежуточные шаги выполняются назад во времени. Чтобы проиллюстрировать это, мы приводим численные значения ${displaystyle c_{n}}$ коэффициенты: ${displaystyle c_{1}=0.6756,c_{2}=-0.1756,c_{3}=-0.1756,c_{4}=0.6756.}$

Смотрите также

• Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
• Симплектическая интеграция
• Интегрирование Эйлера
• Интеграция Верле
• Интеграция Рунге – Кутты

Рекомендации

1. К. К. Бердсолл и А. Б. Лэнгдон, Физика плазмы с помощью компьютерного моделирования, McGraw-Hill Book Company, 1985, стр. 56.
2. 4.1 Два способа написать чехарда
3. Скил, Р. Д., «Переменный размер шага дестабилизирует метод Стёмера / Чехарда / Верле», BIT вычислительная математика, Vol. 33, 1993, с. 172–175.
4. Епископ, Кристофер (2006). Распознавание образов и машинное обучение. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 548–554. ISBN  978-0-387-31073-2.
5. http://www.artcompsci.org/kali/vol/two_body_problem_2/ch07.html#rdocsect46
6. Том 150, номер 5,6,7 ФИЗИЧЕСКИЕ ПИСЬМА A 12 ноября 1990 г. Строительство симплектических интеграторов более высокого порядка. Национальная астрономическая обсерватория Харуо Йошида, Митака, Токио

внешняя ссылка

• [1], Физика Дрексельского университета