Общие линейные методы - General linear methods

Не путать с общие линейные модели или же обобщенные линейные модели.

Общие линейные методы (GLMу) представляют собой большой класс численные методы используется для получения числовой решения для обыкновенные дифференциальные уравнения. Они включают многоступенчатые Рунге-Кутта методы, использующие промежуточные точки коллокации, а также линейные многоступенчатые методы которые сохраняют конечную временную историю решения. Джон С. Батчер первоначально придумал этот термин для этих методов и написал серию обзорных статей.^[1][2][3]глава книги^[4]и учебник^[5]по теме. Его соратник Здислав Яцкевич также имеет обширный учебник.^[6] по теме. Первоначально класс методов был предложен Батчером (1965), Гиром (1965) и Грэггом и Стеттером (1964).

Некоторые определения

Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка приближают решения начальных задач вида

${\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

Результатом являются приближения для значения ${\displaystyle y(t)}$ в дискретное время ${\displaystyle t_{i}}$:

${\displaystyle y_{i}\approx y(t_{i})\quad {\text{where}}\quad t_{i}=t_{0}+ih,}$

куда час шаг по времени (иногда называемый ${\displaystyle \Delta t}$).

Описание метода

Мы следуем Butcher (2006), pps 189–190 для нашего описания, хотя мы отмечаем, что этот метод можно найти в другом месте.

Общие линейные методы используют два целых числа, ${\displaystyle r}$, количество временных точек в истории и ${\displaystyle s}$, количество точек сопоставления. В случае ${\displaystyle r=1}$эти методы сводятся к классическим Методы Рунге – Кутты, а в случае ${\displaystyle s=1}$эти методы сводятся к линейные многоступенчатые методы.

Сценические ценности ${\displaystyle Y_{i}}$ и ступенчатые производные, ${\displaystyle F_{i},i=1,2,\dots s}$ вычисляются из приближений, ${\displaystyle y_{i}^{[n-1]},i=1,\dots ,r}$, на временном шаге ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle y^{[n-1]}=\left[{\begin{matrix}y_{1}^{[n-1]}\\y_{2}^{[n-1]}\\\vdots \\y_{r}^{[n-1]}\\\end{matrix}}\right],\quad y^{[n]}=\left[{\begin{matrix}y_{1}^{[n]}\\y_{2}^{[n]}\\\vdots \\y_{r}^{[n]}\\\end{matrix}}\right],\quad Y=\left[{\begin{matrix}Y_{1}\\Y_{2}\\\vdots \\Y_{s}\end{matrix}}\right],\quad F=\left[{\begin{matrix}F_{1}\\F_{2}\\\vdots \\F_{s}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}f(Y_{1})\\f(Y_{2})\\\vdots \\f(Y_{s})\end{matrix}}\right].}$

Значения этапов определяются двумя матрицами, ${\displaystyle A=[a_{ij}]}$ и ${\displaystyle U=[u_{ij}]}$:

${\displaystyle Y_{i}=\sum _{j=1}^{s}a_{ij}hF_{j}+\sum _{j=1}^{r}u_{ij}y_{j}^{[n-1]},\qquad i=1,2,\dots ,s,}$

и обновление вовремя ${\displaystyle t^{n}}$ определяется двумя матрицами, ${\displaystyle B=[b_{ij}]}$ и ${\displaystyle V=[v_{ij}]}$:

${\displaystyle y_{i}^{[n]}=\sum _{j=1}^{s}b_{ij}hF_{j}+\sum _{j=1}^{r}v_{ij}y_{j}^{[n-1]},\qquad i=1,2,\dots ,r.}$

Учитывая четыре матрицы, ${\displaystyle A,U,B}$ и ${\displaystyle V}$, можно компактно записать аналог Таблица мясника в качестве,

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}Y\\y^{[n]}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}A\otimes I&U\otimes I\\B\otimes I&V\otimes I\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}F\\y^{[n-1]}\end{matrix}}\right],}$

куда ${\displaystyle \otimes }$ стоит затензорное произведение.

Примеры

Мы представляем пример, описанный в (Butcher, 1996).^[7] Этот метод состоит из одного «прогнозируемого» шага и «исправленного» шага, который использует дополнительную информацию о временной истории, а также одно значение промежуточного этапа.

Значение промежуточного этапа определяется как нечто, что выглядит так, как будто оно пришло из линейный многоступенчатый метод:

${\displaystyle y_{n-1/2}^{*}=y_{n-2}+h\left({\frac {9}{8}}f(y_{n-1})+{\frac {3}{8}}f(y_{n-2})\right).}$

Первоначальный "предсказатель" ${\displaystyle y_{n}^{*}}$ использует сценическое значение ${\displaystyle y_{n-1/2}^{*}}$ вместе с двумя частями истории времени:

${\displaystyle y_{n}^{*}={\frac {28}{5}}y_{n-1}-{\frac {23}{5}}y_{n-2}+h\left({\frac {32}{15}}f(y_{n-1/2}^{*})-4f(y_{n-1})-{\frac {26}{15}}f(y_{n-2})\right),}$

и окончательное обновление предоставлено:

${\displaystyle y_{n}={\frac {32}{31}}y_{n-1}-{\frac {1}{31}}y_{n-2}+h\left({\frac {5}{31}}f(y_{n}^{*})+{\frac {64}{93}}f(y_{n-1/2}^{*})+{\frac {4}{31}}f(y_{n-1})-{\frac {1}{93}}f(y_{n-2})\right).}$

Краткое табличное представление этого метода дается следующим образом:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|cccc}0&0&0&0&1&{\frac {9}{8}}&{\frac {3}{8}}\\{\frac {32}{15}}&0&0&{\frac {28}{5}}&-{\frac {23}{5}}&-4&-{\frac {26}{15}}\\{\frac {64}{93}}&{\frac {5}{31}}&0&{\frac {32}{31}}&-{\frac {1}{31}}&{\frac {4}{31}}&-{\frac {1}{93}}\\\hline {\frac {64}{93}}&{\frac {5}{31}}&0&{\frac {32}{31}}&-{\frac {1}{31}}&{\frac {4}{31}}&-{\frac {1}{93}}\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\\end{array}}\right].}$

Смотрите также

• Методы Рунге – Кутты
• Линейные многоступенчатые методы
• Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Примечания

1. Мясник, Джон К. (февраль – март 1996 г.). «Общие линейные методы». Компьютеры и математика с приложениями. 31 (4–5): 105–112. Дои:10.1016/0898-1221(95)00222-7.
2. Мясник, Джон (май 2006 г.). «Общие линейные методы». Acta Numerica. 15: 157–256. Bibcode:2006AcNum..15..157B. Дои:10.1017 / S0962492906220014.
3. Мясник, Джон (февраль 2009 г.). «Общие линейные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений». Математика и компьютеры в моделировании. 79 (6): 1834–1845. Дои:10.1016 / j.matcom.2007.02.006.
4. Мясник, Джон (2005). «Общие линейные методы». Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.. John Wiley & Sons, Ltd., стр. 357–413. Дои:10.1002 / 0470868279.ch5. ISBN  9780470868270. S2CID  2334002.
5. Мясник, Джон (1987). Численный анализ обыкновенных дифференциальных уравнений: Рунге – Кутта и общие линейные методы.. Wiley-Interscience. ISBN  978-0-471-91046-6.
6. Jackiewicz, Zdzislaw (2009). Общие линейные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений. Вайли. ISBN  978-0-470-40855-1.
7. Мясник 1996, п. 107

Рекомендации

• Мясник, Джон К. (январь 1965 г.). «Модифицированный многоступенчатый метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений». Журнал ACM. 12 (1): 124–135. Дои:10.1145/321250.321261.
• Gear, C.W. (1965). «Гибридные методы решения задач начального значения в обыкновенных дифференциальных уравнениях». Журнал Общества промышленной и прикладной математики, серия B: Численный анализ. 2 (1): 69–86. Bibcode:1965SJNA .... 2 ... 69G. Дои:10.1137/0702006. HDL:2027 / uiuo.ark: / 13960 / t4rj60q8s.
• Грэгг, Уильям Б .; Ханс Дж. Стеттер (апрель 1964 г.). «Обобщенные многошаговые методы предсказания-корректора». Журнал ACM. 11 (2): 188–209. Дои:10.1145/321217.321223.
• Хайрер, Эрнст; Ваннер, Ваннер (1973), "Многоступенчатые, многоступенчатые и множественные производные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений", Вычисление, 11 (3): 287–303, Дои:10.1007 / BF02252917.

внешняя ссылка

• Общие линейные методы