Гипотеза Пенлеве - Painlevé conjecture

Конфигурация пяти тел Джеффа Ся состоит из пяти точечных масс, причем две пары движутся по эксцентрическим эллиптическим орбитам друг вокруг друга, а одна масса движется по линии симметрии. Ся доказал, что при определенных начальных условиях конечная масса будет ускорена до бесконечной скорости за конечное время. Это доказывает гипотезу Пенлеве для пяти тел и более.

В физика, то Гипотеза Пенлеве это теорема о особенности среди решений ппроблема тела: есть неколлизионные особенности дляп ≥ 4.^[1][2]

Теорема доказана для п ≥ 5 в 1988 г. Джефф Ся и для n = 4 в 2018 году Джинксин Сюэ.^[3][4][5]

Предпосылки и заявление

Решения ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ из ппроблема тела ${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=M^{-1}\mathbf {p} ,\;{\dot {\mathbf {p} }}=\nabla U(\mathbf {q} )}$ (где M - массы, а U - гравитационный потенциал ) имеют особенность, если существует последовательность времен ${\displaystyle t_{n}}$ сходящийся к конечному ${\displaystyle t^{*}}$ где ${\displaystyle \nabla U\left(\mathbf {q} \left(t_{n}\right)\right)\rightarrow \infty }$. То есть силы и ускорения становятся бесконечными в какой-то конечный момент времени.

А коллизионная особенность происходит, если ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$ стремится к определенному пределу, когда ${\displaystyle t\rightarrow t^{*},t<t^{*}}$. Если предел не существует, особенность называется псевдоколлизия или отсутствие столкновений необычность.

Поль Пенлеве показал, что для п = 3 любое решение с сингулярностью за конечное время испытывает столкновительную особенность. Однако ему не удалось расширить этот результат за пределы трех тел. Его лекции в Стокгольме 1895 года заканчиваются предположением, что

Для п ≥ 4 ппроблема тела допускает неколлизионные особенности.^[6][7]

Развитие

Эдвард Гюго фон Цайпель в 1908 г. доказал, что если существует особенность столкновения, то ${\displaystyle J(\mathbf {q} (t))}$ стремится к определенному пределу при ${\displaystyle t\rightarrow t^{*}}$, где ${\displaystyle J(\mathbf {q} )=\sum _{i}m_{i}|\mathbf {q} _{i}|^{2}}$ это момент инерции.^[8] Отсюда следует, что необходимым условием отсутствия столкновений сингулярности является то, что скорость хотя бы одной частицы становится неограниченной (поскольку положения ${\displaystyle \mathbf {q} }$ остаются конечными до этого момента).^[1]

Мезеру и МакГихи удалось в 1975 году доказать, что неколлинеарная сингулярность может возникнуть в коллинейной задаче четырех тел (то есть со всеми телами на прямой), но только после бесконечного числа (регуляризованных) бинарных столкновений.^[9]

Дональд Г. Саари в 1977 г. доказал, что для почти все (в том смысле Мера Лебега ) начальные условия на плоскости или пространстве для задач из 2, 3 и 4 тел существуют решения без сингулярностей.^[10]

В 1984 году Джо Гервер привел аргумент в пользу отсутствия столкновений сингулярности в плоской задаче пяти тел без столкновений.^[11] Позже он нашел доказательство 3п чехол для тела.^[12]

Наконец, в своей докторской диссертации 1988 года Джефф Ся продемонстрировал конфигурацию из пяти тел, которая испытывает сингулярность без столкновений.^[3][4]

Джо Гервер предложил эвристическую модель существования сингулярностей из четырех тел.^[13].

В своей докторской диссертации в Университете Мэриленда в 2013 году Джинксинь Сюэ рассмотрел упрощенную модель для случая плоской задачи четырех тел гипотезы Пенлеве. Основываясь на модели Гервера, он доказал, что существует канторовский набор начальных условий, которые приводят к решениям гамильтоновой системы, скорости которых ускоряются до бесконечности за конечное время, избегая всех предыдущих столкновений. В 2018 году Сюэ расширил свою предыдущую работу и доказал гипотезу для n = 4.^[14]

использованная литература

1. Дьяку, Флорин Н. (1993). «Гипотеза Пенлеве». Математический интеллект. 13 (2).
2. Дьяку, Флорин; Холмс, Филип (1996). Небесные встречи: истоки хаоса и стабильности. Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-02743-9.
3. Ся, Чжихун (1992). «Существование особенностей неколлизия в ньютоновских системах». Анналы математики. Вторая серия. 135 (3): 411–468. Дои:10.2307/2946572. JSTOR  2946572.
4. Саари, Дональд Дж .; Ся, Чжихун (Джефф) (1993). «В бесконечность за конечное время». Уведомления AMS. 42 (5): 538–546.
5. Сюэ, Цзиньсинь (2018). «ОСОБЕННОСТИ НЕСКОЛЛИЗИИ В ПЛОСКОЙ ПРОБЛЕМЕ ЧЕТЫРЕХ ТЕЛ». arXiv:1409.0048.
6. Пенлеве, П. (1897). Lecons sur la théorie analytique des équations différentielles. Пэрис: Германн.
7. Oeuvres de Paul Painlevé. Том I. Пэрис: Ред. Centr. Nat. Речь. Sci. 1972 г.
8. фон Зейпель, Х. (1908). "Sur les singularités du problème des corps". Arkiv för Mat. Astron. Fys. 4: 1–4.
9. Mather, J .; МакГихи, Р. (1975). «Решения коллинеарной задачи четырех тел, которые становятся неограниченными за конечное время». В Мозер, Дж. (ред.). Теория динамических систем и приложения. Берлин: Springer-Verlag. стр.573 –589. ISBN  3-540-07171-7.
10. Саари, Дональд Г. (1977). «Глобальная теорема существования для проблемы четырех тел в механике Ньютона». J. Дифференциальные уравнения. 26 (1): 80–111. Bibcode:1977JDE .... 26 ... 80-е годы. Дои:10.1016/0022-0396(77)90100-0.
11. Гервер, Дж. Л. (1984). «Возможная модель сингулярности без столкновений в задаче пяти тел». J. Diff. Уравнение. 52 (1): 76–90. Bibcode:1984JDE .... 52 ... 76G. Дои:10.1016/0022-0396(84)90136-0.
12. Гервер, Дж. Л. (1991). «Существование псевдоколлизий в плоскости». J. Diff. Уравнение. 89 (1): 1–68. Bibcode:1991JDE .... 89 .... 1G. Дои:10.1016 / 0022-0396 (91) 90110-У.
13. Гервер, Джозеф Л. (2003). «Неколлизионные сингулярности: достаточно ли четырех тел?». Exp. Математика. 12 (2): 187–198. Дои:10.1080/10586458.2003.10504491. S2CID  23816314.
14. Xue, J .; Долгопят Д. (2016). «Неконфликтные особенности в плоской задаче двух центров и двух тел». Commun. Математика. Phys. 345 (3): 797–879. arXiv:1307.2645. Bibcode:2016CMaPh.345..797X. Дои:10.1007 / s00220-016-2688-6. S2CID  119274578.