Биэллиптический перенос - Bi-elliptic transfer

Биэллиптический переход с низкой круговой стартовой орбиты (синий) на более высокую круговую орбиту (красный). Повышение на 1 заставляет корабль двигаться по зеленому полуэллипсу. Еще одно повышение на 2 приводит к оранжевому полуэллипсу. Отрицательное усиление на 3 заставляет его двигаться по красной орбите.

В космонавтика и аэрокосмическая техника, то двухэллиптический перенос является орбитальный маневр это перемещает космический корабль от одного орбита другому и может в определенных ситуациях потребовать меньше дельта-v чем Передача Хоманна маневр.

Биэллиптическая передача состоит из двух полуэллиптическихэллиптические орбиты. С начальной орбиты при первом включении дельта-v расходуется для вывода космического корабля на первую переходную орбиту с апоапсис в какой-то момент ${\displaystyle r_{b}}$ подальше от центральный орган. В этот момент второй ожог отправляет космический корабль на вторую эллиптическую орбиту с перицентр на радиусе конечной желаемой орбиты, где выполняется третий ожог, выводящий космический аппарат на желаемую орбиту.^[1]

Хотя они требуют на один цикл двигателя больше, чем передача Хомана, и, как правило, требуют большего времени в пути, некоторые биэллиптические передачи требуют меньшего общего дельта-v, чем передача Хомана, когда отношение конечной к начальной большая полуось составляет 11,94 или больше, в зависимости от выбранной промежуточной большой полуоси.^[2]

Идея двухэллиптической транспортной траектории была первой.^{[нужна цитата ]} опубликовано Ари Штернфельд в 1934 г.^[3]

Расчет

Дельта-v

Три необходимых изменения скорости можно получить непосредственно из уравнение vis-viva

${\displaystyle v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),}$

куда

• ${\displaystyle v}$ скорость движущегося по орбите тела,
• ${\displaystyle \mu =GM}$ это стандартный гравитационный параметр основного тела,
• ${\displaystyle r}$ - расстояние орбитального тела от первичной обмотки, т.е. радиус,
• ${\displaystyle a}$ это большая полуось орбиты тела.

В дальнейшем

• ${\displaystyle r_{1}}$ - радиус начальной круговой орбиты,
• ${\displaystyle r_{2}}$ - радиус конечной круговой орбиты,
• ${\displaystyle r_{b}}$ - общий радиус апоапсиса двух переносных эллипсов и является свободным параметром маневра,
• ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$ являются большими полуосями двух эллиптических переходных орбит, которые задаются

  ${\displaystyle a_{1}={\frac {r_{1}+r_{b}}{2}}}$,

  ${\displaystyle a_{2}={\frac {r_{2}+r_{b}}{2}}}$.

Начиная с начального круговая орбита с радиусом ${\displaystyle r_{1}}$ (темно-синий кружок на рисунке справа), продвигать Burn (отметка 1 на рисунке) переводит КА на первую эллиптическую переходную орбиту (акваполуэллипс). Величина требуемой дельта-v для этого ожога составляет

${\displaystyle \Delta v_{1}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{1}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}.}$

Когда апоапсис первого переносного эллипса достигается на расстоянии ${\displaystyle r_{b}}$ от основного, второй прямой прожиг (отметка 2) поднимает перицентр до радиуса целевой круговой орбиты, переводя космический аппарат на вторую эллиптическую траекторию (оранжевый полуэллипс). Величина требуемой дельта-v для второго ожога составляет

${\displaystyle \Delta v_{2}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}.}$

Наконец, когда последняя круговая орбита с радиусом ${\displaystyle r_{2}}$ достигнуто ретроградный burn (отметка 3) делает траекторию по кругу на конечную целевую орбиту (красный круг). Окончательный ретроградный ожог требует дельта-v величины

${\displaystyle \Delta v_{3}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{2}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}.}$

Если ${\displaystyle r_{b}=r_{2}}$, то маневр сводится к передаче Гомана (в этом случае ${\displaystyle \Delta v_{3}}$ можно проверить, чтобы он стал нулем). Таким образом, биэллиптический перенос представляет собой более общий класс орбитальных переходов, из которых передача Хомана является частным случаем с двумя импульсами.

Бипараболический переход с низкой круговой стартовой орбиты (темно-синий) на более высокую круговую орбиту (красный)

Максимально возможную экономию можно рассчитать, если предположить, что ${\displaystyle r_{b}=\infty }$, в этом случае общая ${\displaystyle \Delta v}$ упрощается до ${\displaystyle {\sqrt {\mu /r_{1}}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\left(1+{\sqrt {r_{1}/r_{2}}}\right)}$. В этом случае также говорят о бипараболический передачи, потому что две траектории перехода больше не эллипсы, а параболы. Время передачи тоже увеличивается до бесконечности.

Время передачи

Как и в случае перехода Хомана, обе переходные орбиты, используемые в биэллиптическом переходе, составляют ровно половину эллиптической орбиты. Это означает, что время, необходимое для выполнения каждой фазы перехода, составляет половину орбитального периода каждого эллипса перехода.

Используя уравнение для орбитальный период и обозначение сверху,

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.}$

Общее время передачи ${\displaystyle t}$ - это сумма времени, необходимого для каждого полуоборота. Следовательно:

${\displaystyle t_{1}=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}\quad {\text{and}}\quad t_{2}=\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}},}$

и наконец:

${\displaystyle t=t_{1}+t_{2}.}$

Сравнение с трансфером Хомана

Дельта-v

Дельта-v, необходимая для Гомана (толстая черная кривая) и биэллиптических переходов (цветные кривые) между двумя круговыми орбитами, как функция отношения их радиусов

На рисунке показано общее ${\displaystyle \Delta v}$ требуется для перехода с круговой орбиты радиуса ${\displaystyle r_{1}}$ на другую круговую орбиту радиуса ${\displaystyle r_{2}}$. В ${\displaystyle \Delta v}$ показана нормализованная к орбитальной скорости на начальной орбите, ${\displaystyle v_{1}}$, и строится как функция отношения радиусов конечной и начальной орбит, ${\displaystyle R\equiv r_{2}/r_{1}}$; это сделано для того, чтобы сравнение было общим (т.е.не зависело от конкретных значений ${\displaystyle r_{1}}$ и ${\displaystyle r_{2}}$, только по их соотношению).^[2]

Толстая черная кривая указывает на ${\displaystyle \Delta v}$ для переноса Хомана, а более тонкие цветные кривые соответствуют биэллиптическим переносам с различными значениями параметра ${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$, определяемый как радиус апоапсиса ${\displaystyle r_{b}}$ эллиптической вспомогательной орбиты, нормированной на радиус начальной орбиты и указанной рядом с кривыми. На вставке крупным планом показана область, где биэллиптические кривые впервые пересекают кривую Гомана.

Видно, что перенос Хомана всегда более эффективен, если отношение радиусов ${\displaystyle R}$ меньше 11,94. С другой стороны, если радиус конечной орбиты более чем в 15,58 раз больше, чем радиус начальной орбиты, то любой биэллиптический перенос, независимо от его апоапсисного радиуса (при условии, что он больше, чем радиус конечной орбиты). орбита), требует меньше ${\displaystyle \Delta v}$ чем передача Хомана. Между соотношениями 11,94 и 15,58, какая передача лучше всего зависит от расстояния апоапсиса. ${\displaystyle r_{b}}$. Для любого данного ${\displaystyle R}$ в этом диапазоне есть значение ${\displaystyle r_{b}}$ выше которого биэллиптический перенос лучше, а ниже которого лучше - перенос Хомана. В следующей таблице перечислены значения ${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$ что приводит к тому, что в некоторых выбранных случаях двухэллиптический перенос лучше.^[4]

Минимальный ${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$ так что для двухэллиптической передачи требуется меньше ${\displaystyle \Delta v}$^[5]

Соотношение радиусов, ${\displaystyle {\frac {r_{2}}{r_{1}}}}$	Минимальный ${\displaystyle \alpha \equiv {\frac {r_{b}}{r_{1}}}}$	Комментарии
<11.94	Нет данных	Передача Хомана всегда лучше
11.94	${\displaystyle \infty }$	Бипараболическая передача
12	815.81
13	48.90
14	26.10
15	18.19
15.58	15.58
>15.58	${\displaystyle >{\frac {r_{2}}{r_{1}}}}$	Любая биэллиптическая передача лучше

Время передачи

Длительное время передачи биэллиптического переноса,

${\displaystyle t=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}+\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}},}$

является серьезным недостатком этого маневра. Оно даже становится бесконечным для предельного случая бипараболического переноса.

Перенос Хомана занимает менее половины времени, потому что существует только один полуэллипс переноса, если быть точным,

${\displaystyle t=\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.}$

Универсальность в комбинированных маневрах

Хотя биэллиптический перенос имеет небольшое окно параметров, где он строго превосходит передачу Хомана с точки зрения дельты V для плоского перехода между круговыми орбитами, экономия довольно мала, а двухэллиптический перенос намного больше помогает, когда используется в сочетании с некоторыми другими маневрами.

В апоапсисе космический аппарат движется с низкой орбитальной скоростью, и значительные изменения перицентра могут быть достигнуты при небольших затратах на дельта V. Переходы, которые напоминают биэллиптические, но которые включают маневр смены плоскости на апоапсисе, могут значительно сэкономить дельта-V в миссиях, где необходимо отрегулировать самолет, а также высоту, по сравнению с изменением самолета на низкой круговой орбите поверх передача Хомана.

Точно так же сброс периапсиса в атмосферу планетарного тела для аэробиологического разрушения является недорогим по скорости на апоапсисе, но позволяет использовать «свободное» перетаскивание, чтобы помочь в окончательном кольцевом ожоге для сброса апоапсиса; Хотя он добавляет дополнительный этап миссии по подъему периапсиса обратно из атмосферы, при некоторых параметрах это может стоить значительно меньше дельта V, чем простое падение перицентра за один проход с круговой орбиты.

Пример

Для перехода с круговой низкой околоземной орбиты с р₀ = 6700 км на новую круговую орбиту с р₁ = 93800 км используя Переходная орбита Хомана требуется Δv из 2825,02 + 1308,70 = 4133,72 м / с. Однако, поскольку р₁ = 14р₀ > 11.94р₀, можно добиться большего с помощью биэллиптической передачи. Если космический корабль сначала разогнался до 3061,04 м / с, выйдя на эллиптическую орбиту с апогеем на р₂ = 40р₀ = 268 000 км, затем в апогее разогнался еще на 608,825 м / с на новую орбиту с перигеем в р₁ = 93800 кми, наконец, в перигее этой второй переходной орбиты, которая замедлилась на 447,662 м / с, выйдя на конечную круговую орбиту, то полное Δv будет всего 4117,53 м / с, что на 16,19 м / с (0,4%) меньше.

Δv экономия может быть дополнительно улучшена за счет увеличения промежуточного апогея за счет более длительного времени передачи. Например, апогей 75.8р₀ = 507 688 км (В 1,3 раза больше расстояния до Луны) даст 1% Δv экономия по сравнению с переводом Hohmann, но требуется транзитное время 17 дней. Как непрактичный крайний пример, апогей 1757р₀ = 11 770 000 км (Расстояние до Луны в 30 раз) приведет к 2% Δv экономия по сравнению с переносом Хомана, но для переноса потребуется 4,5 года (и на практике он будет нарушен гравитационными эффектами других тел Солнечной системы). Для сравнения, на передачу Хомана требуется 15 часов 34 минуты.

Δv для различных орбитальных перелетов

Тип		Hohmann	Биэллиптический
Апогей (км)		93 800	268 000	507 688	11 770 000	∞
Гореть (РС)	1	2825.02	3061.04	3123.62	3191.79	3194.89
	2	1308.70	608.825	351.836	16.9336	0
	3	0	447.662	616.926	842.322	853.870
Итого (м / с)		4133.72	4117.53	4092.38	4051.04	4048.76
Гомана		100%	99.6%	99.0%	98.0%	97.94%

• Δv применяемый продвигать
• Δv применяемый ретроградный

Очевидно, биэллиптическая орбита тратит больше своей дельта-v на ранней стадии (при первом включении). Это дает больший вклад в удельная орбитальная энергия и, благодаря Эффект Оберта, отвечает за чистое сокращение требуемой дельта-v.

Смотрите также

• Космический портал

• Бюджет Delta-v
• Эффект Оберта

Рекомендации

1. Кертис, Ховард (2005). Орбитальная механика для студентов инженерных специальностей. Эльзевир. п. 264. ISBN  0-7506-6169-0.
2. Валладо, Дэвид Энтони (2001). Основы астродинамики и приложений. Springer. п. 318. ISBN  0-7923-6903-3.
3. Стернфельд, Ари Дж. [sic ] (1934-02-12), "Sur les trajectoires permettant d'approcher d'un corps, привлекает центральную часть единой орбиты keplérienne donnée" [О разрешенных траекториях приближения к центральному притягивающему телу с заданной кеплеровской орбиты], Comptes rendus de l'Académie des Sciences (на французском языке), Париж, 198 (1): 711–713.
4. Gobetz, F.W .; Долл, Дж. Р. (май 1969 г.). «Обзор импульсных траекторий». Журнал AIAA. Американский институт аэронавтики и астронавтики. 7 (5): 801–834. Bibcode:1969AIAAJ ... 7..801D. Дои:10.2514/3.5231.
5. Эскобаль, Педро Р. (1968). Методы астродинамики. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-24528-5.