Уравнение Vis-viva - Vis-viva equation

В астродинамика, то vis-viva уравнение, также называемый закон инвариантности орбитальной энергии, является одним из уравнений, моделирующих движение из вращающийся по орбите тела. Это прямой результат принципа сохранение механической энергии который применяется, когда единственной силой, действующей на объект, является его собственный вес.

Vis viva (На латыни «живая сила») - термин из истории механики, и он выживает только в этом контексте. Он представляет собой принцип, согласно которому разница между общим работай из ускорение силы из система а сила замедляющих сил равна половине vis viva накапливаются или теряются в системе во время выполнения работы.

Уравнение

Для любого Кеплеровская орбита (эллиптический, параболический, гиперболический, или же радиальный ), vis-viva уравнение^[1] как следует:^[2]

${\displaystyle v^{2}=GM\left({2 \over r}-{1 \over a}\right)}$

куда:

• v относительная скорость двух тел
• р это расстояние между двумя телами
• а это длина большая полуось (а > 0 для эллипсы, а = ∞ или 1 /а = 0 для параболы, и а <0 для гиперболы )
• г это гравитационная постоянная
• M это масса центрального тела

Продукт GM также можно выразить как стандартный гравитационный параметр используя греческую букву μ.

Вывод для эллиптических орбит (0 ≤ эксцентриситет <1)

В уравнении vis-viva масса м орбитального тела (например, космического корабля) считается незначительным по сравнению с массой M центрального тела (например, Земли). Центральное тело и вращающееся тело также часто называют первичным и частицей соответственно. В конкретных случаях эллиптической или круговой орбиты уравнение vis-viva может быть легко выведено из закона сохранения энергии и количества движения.

Удельная полная энергия постоянна на всей орбите. Таким образом, используя индексы а и п для обозначения апоапсиса (апогея) и периапсиса (перигея), соответственно,

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{a}}}={\frac {v_{p}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$

Перестановка,

${\displaystyle {\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {v_{p}^{2}}{2}}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$

Напоминая, что для эллиптической орбиты (и, следовательно, также круговой орбиты) векторы скорости и радиуса перпендикулярны апоапсису и перицентру, сохранение углового момента требует определенного углового момента ${\displaystyle h=r_{p}v_{p}=r_{a}v_{a}={\text{constant}}}$, таким образом ${\displaystyle v_{p}={\frac {r_{a}}{r_{p}}}v_{a}}$:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {r_{a}^{2}}{r_{p}^{2}}}\right)v_{a}^{2}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}{r_{p}^{2}}}\right)v_{a}^{2}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$

Выделение кинетической энергии при апоапсисе и упрощение,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}v_{a}^{2}=\left({\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}\right)\cdot {\frac {r_{p}^{2}}{r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}v_{a}^{2}=GM\left({\frac {r_{p}-r_{a}}{r_{a}r_{p}}}\right){\frac {r_{p}^{2}}{r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}v_{a}^{2}=GM{\frac {r_{p}}{r_{a}(r_{p}+r_{a})}}}$

Из геометрии эллипса, ${\displaystyle 2a=r_{p}+r_{a}}$ где а - длина большой полуоси. Таким образом,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}v_{a}^{2}=GM{\frac {2a-r_{a}}{r_{a}(2a)}}=GM\left({\frac {1}{r_{a}}}-{\frac {1}{2a}}\right)={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{2a}}}$

Подставляя это в наше исходное выражение для удельной орбитальной энергии,

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}={\frac {v_{p}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{p}}}={\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{a}}}=-{\frac {GM}{2a}}}$

Таким образом, ${\displaystyle \varepsilon =-{\frac {GM}{2a}}}$ и уравнение vis-viva можно записать

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}=-{\frac {GM}{2a}}}$

или

${\displaystyle v^{2}=GM\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}$

Следовательно, сохраненный угловой момент L = mh можно получить, используя ${\displaystyle r_{a}+r_{p}=2a}$ и ${\displaystyle r_{a}r_{p}=b^{2}}$,

где а большая полуось и b малая полуось эллиптической орбиты следующим образом -

${\displaystyle v_{a}^{2}=GM\left({\frac {2}{r_{a}}}-{\frac {1}{a}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {2a-r_{a}}{r_{a}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {r_{p}}{r_{a}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {b}{r_{a}}}\right)^{2}}$

и поочередно,

${\displaystyle v_{p}^{2}=GM\left({\frac {2}{r_{p}}}-{\frac {1}{a}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {2a-r_{p}}{r_{p}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {r_{a}}{r_{p}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {b}{r_{p}}}\right)^{2}}$

Следовательно, удельный угловой момент ${\displaystyle h=r_{p}v_{p}=r_{a}v_{a}=b{\sqrt {\frac {GM}{a}}}}$, и

Полный угловой момент ${\displaystyle L=mh=mb{\sqrt {\frac {GM}{a}}}}$

Практическое применение

Учитывая общую массу и скаляры р и v в одной точке орбиты можно вычислить р и v в любой другой точке орбиты.^{[примечания 1]}

Учитывая общую массу и скаляры р и v в одной точке орбиты можно вычислить удельная орбитальная энергия ${\displaystyle \varepsilon \,\!}$, что позволяет классифицировать объект, вращающийся вокруг более крупного объекта, как имеющий недостаточно энергии для того, чтобы оставаться на орбите, следовательно, "суборбитальный "(баллистическая ракета, например), имеющая достаточно энергии, чтобы быть" орбитальной ", но без возможности завершить полный оборот в любом случае, потому что она в конечном итоге сталкивается с другим телом, или имеющая достаточно энергии для выхода и / или полета бесконечность (например, как метеор).

Формула для скорость убегания можно получить из уравнения Vis-viva, взяв предел как ${\displaystyle a}$ подходы ${\displaystyle \infty }$:

${\displaystyle v_{e}^{2}=GM\left({\frac {2}{r}}-0\right)\rightarrow v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}$

Примечания

1. Для проблема трех тел вряд ли существует сопоставимое уравнение vis-viva: сохранение энергии уменьшает большее количество степени свободы только одним.

Рекомендации

1. Том Логсдон (1998). Орбитальная механика: теория и приложения. Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0-471-14636-0.
2. Лиссауэр, Джек Дж .; де Патер, Имке (2019). Фундаментальные планетарные науки: физика, химия и обитаемость. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Издательство Кембриджского университета. С. 29–31. ISBN  9781108411981.

внешняя ссылка

• Калькуляторы Vis-viva уравнения