Эксцентрическая аномалия - Eccentric anomaly

В орбитальная механика, то эксцентрическая аномалия является угловой параметр который определяет положение тела, движущегося по эллиптический Орбита Кеплера. Эксцентрическая аномалия - это один из трех угловых параметров («аномалий»), которые определяют положение на орбите, два других - это истинная аномалия и средняя аномалия.

Графическое представление

Эксцентрическая аномалия острия п угол E. Центр эллипса - точка C, а фокус - точка F.

Рассмотрим эллипс с уравнением:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

куда а это полу-мажор ось и б это полу-минор ось.

Для точки на эллипсе п = п(Икс, у), представляя положение вращающегося тела на эллиптической орбите, эксцентрическая аномалия - это угол E на рисунке. Эксцентрическая аномалия E является одним из углов прямоугольного треугольника с одной вершиной в центре эллипса, прилегающая к нему сторона лежит на основной ось, имеющая гипотенузу а (равно полу-мажор оси эллипса), и противоположной стороны (перпендикулярно оси эллипса). основной ось и касаясь точки П' на вспомогательной окружности радиуса а), который проходит через точку п. Эксцентрическая аномалия измеряется в том же направлении, что и истинная аномалия, показанная на рисунке как ж. Эксцентрическая аномалия E в терминах этих координат определяется выражением:^[1]

${\displaystyle \cos E={\frac {x}{a}},}$

и

${\displaystyle \sin E={\frac {y}{b}}}$

Второе уравнение устанавливается с помощью соотношения

${\displaystyle \left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1-\cos ^{2}E=\sin ^{2}E}$,

откуда следует, что грех E = ±у/б. Уравнение грех E = −у/б может быть немедленно исключен, так как пересекает эллипс в неправильном направлении. Также можно отметить, что второе уравнение можно рассматривать как исходящее из аналогичного треугольника, у которого противоположная сторона имеет одинаковую длину. у как расстояние от п к основной ось, а ее гипотенуза б равно полу-минор ось эллипса.

Формулы

Радиус и эксцентрическая аномалия

В эксцентриситет е определяется как:

${\displaystyle e={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\ .}$

Из Теорема Пифагора применяется к треугольнику с р (расстояние FP) как гипотенуза:

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=b^{2}\sin ^{2}E+(ae-a\cos E)^{2}\\&=a^{2}\left(1-e^{2}\right)\left(1-\cos ^{2}E\right)+a^{2}\left(e^{2}-2e\cos E+\cos ^{2}E\right)\\&=a^{2}-2a^{2}e\cos E+a^{2}e^{2}\cos ^{2}E\\&=a^{2}\left(1-e\cos E\right)^{2}\\\end{aligned}}}$

Таким образом, радиус (расстояние от фокуса до точки п) связана с эксцентрической аномалией формулой

${\displaystyle r=a\left(1-e\cos {E}\right)\ .}$

С этим результатом эксцентрическая аномалия может быть определена по истинной аномалии, как показано ниже.

От истинной аномалии

В истинная аномалия это угол, обозначенный ж на рисунке находится в фокусе эллипса. В приведенных ниже расчетах он обозначается как θ. Истинная аномалия и эксцентрическая аномалия связаны следующим образом.^[2]

Используя формулу для р выше синус и косинус E находятся с точки зрения θ:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos E&={\frac {x}{a}}={\frac {ae+r\cos \theta }{a}}=e+(1-e\cos E)\cos \theta \\\Rightarrow \cos E&={\frac {e+\cos \theta }{1+e\cos \theta }}\\\sin E&={\sqrt {1-\cos ^{2}E}}={\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\,\sin \theta }{1+e\cos \theta }}\ .\end{aligned}}}$

Следовательно,

${\displaystyle \tan E={\frac {\sin E}{\cos E}}={\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta }{e+\cos \theta }}\ .}$

Угол E следовательно, является смежным углом прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 + е потому что θ, прилегающая сторона е + cos θ, и противоположная сторона √1 − е² грех θ.

Также,

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\frac {E}{2}}}$

Подставляя cosE как указано выше в выражение для р, радиальное расстояние от фокальной точки до точки п, можно найти и с точки зрения истинной аномалии:^[2]

${\displaystyle r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos \theta }}\ .}$

От средней аномалии

Эксцентрическая аномалия E относится к средняя аномалия M к Уравнение Кеплера:^[3]

${\displaystyle M=E-e\sin E}$

Это уравнение не имеет закрытое решение за E данный M. Обычно это решается численные методы, например то Метод Ньютона – Рафсона.

Смотрите также

• Вектор эксцентриситета
• Орбитальный эксцентриситет

Примечания и ссылки

1. Джордж Альберт Вентворт (1914). «Эллипс §126». Элементы аналитической геометрии (2-е изд.). Ginn & Co. стр.141.
2. Джеймс Бао-янь Цуй (2000). Основы приемников глобальной системы позиционирования: программный подход (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 48. ISBN  0-471-38154-3.
3. Мишель Капдеру (2005). «Определение средней аномалии, уравнение 1.68». Спутники: орбиты и миссии. Springer. п. 21. ISBN  2-287-21317-1.

Источники

• Мюррей, Карл Д .; И Дермотт, Стэнли Ф. (1999); Динамика солнечной системы, Cambridge University Press, Кембридж, Великобритания
• Пламмер, Генри К. К. (1960); Введение в динамическую астрономию, Dover Publications, New York, NY (перепечатка издания Cambridge University Press 1918 года)