Орбита Кеплера - Kepler orbit

Для более широкого освещения этой темы см. Орбита.

Эллиптическая орбита Кеплера с эксцентриситетом 0,7, параболическая орбита Кеплера и гиперболическая орбита Кеплера с эксцентриситетом 1,3. Расстояние до фокальной точки является функцией полярного угла относительно горизонтальной линии, как это определяется уравнением (13)

В небесная механика, а Орбита Кеплера (или же Кеплеровская орбита, названный в честь немецкого астронома Иоганн Кеплер ) - движение одного тела относительно другого, как эллипс, парабола, или же гипербола, который образует двумерный орбитальный самолет в трехмерном пространстве. Орбита Кеплера также может образовывать прямая линия. Он учитывает только точечное гравитационное притяжение двух тел, пренебрегая возмущения из-за гравитационного взаимодействия с другими объектами, атмосферное сопротивление, давление солнечного излучения, не-сферический центральный корпус и так далее. Таким образом, говорят, что это решение частного случая проблема двух тел, известный как Проблема Кеплера. Как теория в классическая механика, также не учитываются эффекты общая теория относительности. Кеплеровы орбиты могут быть параметризованный на шесть орбитальные элементы разными способами.

В большинстве случаев используется большое центральное тело, центр масс которого считается центром масс всей системы. Путем разложения орбиты двух объектов одинаковой массы можно описать как орбиты Кеплера вокруг их общего центра масс, их барицентр.

Вступление

С древних времен до XVI и XVII веков движение планет считалось идеально круговым. геоцентрический пути, как учили древнегреческие философы Аристотель и Птолемей. Вариации в движении планет объяснялись меньшими круговыми траекториями, наложенными на больший путь (см. эпицикл ). По мере того как измерения планет становились все более точными, были предложены поправки к теории. В 1543 г. Николай Коперник опубликовал гелиоцентрический модель Солнечная система, хотя он все еще считал, что планеты движутся по идеально круговым траекториям с центром на Солнце.^[1]

История Кеплера и телескопа

Кеплер переехал в Прага и начал работать с Тихо Браге. Тихо поручил ему просмотреть всю информацию, которую Тихо имел о Марсе. Кеплер отметил, что положение Марса было подвержено большим ошибкам и создавало проблемы для многих моделей. Это побудило Кеплера настроить 3 закона движения планет.

Первый закон: планеты движутся по эллипсу с Солнцем в одном фокусе

Закон изменил бы эксцентриситет на 0,0. и фокусировка больше эксцентриситета 0,8. которые показывают, что круговая и эллиптическая орбиты имеют одинаковый период и фокус, но разные размеры области, определяемой Солнцем.

Это приводит ко второму закону: радиус-вектор описывает равные площади в равное время.

Эти два закона были опубликованы в книге Кеплера. Astronomia Nova в 1609 г.

Для кругового движения равномерное, однако для эллиптического, чтобы охватить область с равномерной скоростью, объект перемещается быстро, когда радиус-вектор короткий, и медленнее, когда радиус-вектор длинный.

Кеплер опубликовал свой Третий закон движения планет в 1619 году в своей книге. Harmonices Mundi. Ньютон использовал третий закон для определения своих законов тяготения.

Третий закон: квадраты периодических времен относятся друг к другу как кубы средних расстояний.^[2]

Развитие законов

В 1601 г. Иоганн Кеплер приобрел обширные, тщательные наблюдения за планетами, сделанные Тихо Браге. Кеплер потратит следующие пять лет, пытаясь согласовать наблюдения за планетой. Марс к различным кривым. В 1609 году Кеплер опубликовал первые два из трех своих законы движения планет. Первый закон гласит:

"The орбита каждой планеты эллипс с солнцем в фокус."

В более общем смысле, путь объекта, претерпевающего кеплеровское движение, также может следовать парабола или гипербола, которые вместе с эллипсами принадлежат группе кривых, известной как конические секции. Математически расстояние между центральным телом и вращающимся телом можно выразить как:

${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos(\theta )}}}$

куда:

• ${\displaystyle r}$ это расстояние
• ${\displaystyle a}$ это большая полуось, который определяет размер орбиты
• ${\displaystyle e}$ это эксцентриситет, определяющий форму орбиты
• ${\displaystyle \theta }$ это истинная аномалия, который представляет собой угол между текущим положением орбитального объекта и местом на орбите, в котором он находится ближе всего к центральному телу (так называемый перицентр ).

В качестве альтернативы уравнение можно выразить как:

${\displaystyle r(\theta )={\frac {p}{1+e\cos(\theta )}}}$

Где ${\displaystyle p}$ называется полу-латусная прямая кишка кривой. Эта форма уравнения особенно полезна при работе с параболическими траекториями, у которых большая полуось бесконечна.

Несмотря на то, что эти законы были разработаны на основе наблюдений, Кеплер так и не смог разработать теорию, объясняющую эти движения.^[3]

Исаак Ньютон

Между 1665 и 1666 гг. Исаак Ньютон разработал несколько концепций, связанных с движением, гравитацией и дифференциальным исчислением. Однако эти концепции не были опубликованы до 1687 г. Начала, в котором он изложил законы движения и его закон всемирного тяготения. Его второй из трех законов движения гласит:

В ускорение тела параллельна и прямо пропорциональна сетке сила действующая на тело, направлена ​​в направлении результирующей силы и обратно пропорциональна силе масса тела:

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}$

Где:

• ${\displaystyle \mathbf {F} }$ вектор силы
• ${\displaystyle m}$ масса тела, на которое действует сила
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$ - вектор ускорения, вторая производная по времени вектора положения ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Строго говоря, эта форма уравнения применима только к объекту постоянной массы, что верно на основе упрощающих предположений, сделанных ниже.

Механизмы закона всемирного тяготения Ньютона; точечная масса м₁ привлекает другую точечную массу м₂ силой F₂ который пропорционален произведению двух масс и обратно пропорционален квадрату расстояния (р) между ними. Независимо от массы или расстояния, величины |F₁| и |F₂| всегда будет равным. грамм это гравитационная постоянная.

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит:

Каждый точечная масса притягивает любую другую точечную массу сила указывая вдоль линии, пересекающей обе точки. Сила пропорциональный к произведению двух масс и обратно пропорционально квадрату расстояния между точечными массами:

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

куда:

• ${\displaystyle F}$ величина силы тяжести между двумя точечными массами
• ${\displaystyle G}$ это гравитационная постоянная
• ${\displaystyle m_{1}}$ масса первой точечной массы
• ${\displaystyle m_{2}}$ масса второй точечной массы
• ${\displaystyle r}$ это расстояние между двумя точечными массами

Из законов движения и закона всемирного тяготения Ньютон смог вывести законы Кеплера, характерные для орбитального движения в астрономии. Поскольку законы Кеплера были хорошо подтверждены данными наблюдений, эта последовательность обеспечила сильную поддержку справедливости обобщенной теории Ньютона и единой небесной и обычной механики. Эти законы движения легли в основу современных небесная механика до того как Альберт Эйнштейн представил концепции специальный и Общее относительность в начале 20 века. Для большинства приложений кеплеровское движение приближает движения планет и спутников с относительно высокой степенью точности и широко используется в астрономия и астродинамика.

Упрощенная проблема двух тел

Смотрите также Анализ орбиты

Чтобы найти движение объекта в система двух тел, можно сделать два упрощающих предположения:

1. Тела сферически симметричны и могут рассматриваться как точечные массы.

2. На тела не действуют никакие внешние или внутренние силы, кроме их взаимного тяготения.

По форме крупные небесные тела близки к сферам. По симметрии чистая гравитационная сила, притягивающая материальную точку к однородной сфере, должна быть направлена ​​к ее центру. В теорема оболочек (также доказано Исааком Ньютоном) утверждает, что величина этой силы такая же, как если бы вся масса была сосредоточена в середине сферы, даже если плотность сферы изменяется с глубиной (как это происходит для большинства небесных тел). Отсюда сразу следует, что притяжение между двумя однородными сферами происходит так, как если бы масса обоих была сосредоточена в центре.

Более мелкие объекты, например астероиды или же космический корабль часто имеют форму, сильно отклоняющуюся от шара. Но гравитационные силы, создаваемые этими неоднородностями, обычно невелики по сравнению с силой тяжести центрального тела. Разница между неправильной формой и идеальной сферой также уменьшается с увеличением расстояния, и большинство орбитальных расстояний очень большие по сравнению с диаметром небольшого орбитального тела. Таким образом, для некоторых приложений неравномерностью формы можно пренебречь без значительного влияния на точность. Этот эффект весьма заметен для искусственных спутников Земли, особенно на низких орбитах.

Планеты вращаются с разной скоростью и, следовательно, могут принимать слегка сжатую форму из-за центробежной силы. При такой сжатой форме гравитационное притяжение будет несколько отличаться от притяжения однородной сферы. На больших расстояниях эффект сжатия становится незначительным. Движение планет в Солнечной системе можно вычислить с достаточной точностью, если рассматривать их как точечные массы.

Объекты с двумя точечными массами с массами ${\displaystyle m_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}}$ и векторы положения ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ относительно некоторых инерциальная система отсчета испытать гравитационные силы:

${\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

${\displaystyle m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

куда ${\displaystyle \mathbf {r} }$ - вектор относительного положения массы 1 относительно массы 2, выраженный как:

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$

и ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ это единичный вектор в этом направлении и ${\displaystyle r}$ это длина этого вектора.

Деление на их соответствующие массы и вычитание второго уравнения из первого дает уравнение движения для ускорения первого объекта относительно второго:

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

(1)

куда ${\displaystyle \alpha }$ - гравитационный параметр и равен

${\displaystyle \alpha =G(m_{1}+m_{2})}$

Во многих приложениях можно сделать третье упрощающее предположение:

3. По сравнению с центральным телом масса вращающегося тела незначительна. Математически, м₁ >> м₂, так α = грамм (м₁ + м₂) ≈ Gm₁.

Это предположение не является необходимым для решения упрощенной задачи двух тел, но оно упрощает вычисления, особенно со спутниками на орбите Земли и планетами, вращающимися вокруг Солнца. Четное Юпитер масса меньше Солнца в 1047 раз,^[4] что составило бы ошибку 0,096% в значении α. Заметные исключения включают систему Земля-Луна (отношение масс 81,3), систему Плутон-Харон (отношение масс 8,9) и двойные звездные системы.

При этих предположениях дифференциальное уравнение для случая двух тел может быть полностью решено математически, а результирующая орбита, которая следует законам движения планет Кеплера, называется «орбитой Кеплера». Орбиты всех планет с высокой точностью соответствуют орбитам Кеплера вокруг Солнца. Небольшие отклонения связаны с гораздо более слабым гравитационным притяжением между планетами, а в случае Меркурий, из-за общая теория относительности. Орбиты искусственных спутников вокруг Земли в хорошем приближении представляют собой орбиты Кеплера с небольшими возмущениями из-за гравитационного притяжения Солнца, Луны и сжатия Земли. В приложениях с высокой точностью, для которых уравнение движения должно быть численно интегрировано со всеми гравитационными и негравитационными силами (такими как давление солнечного излучения и атмосферное сопротивление ) принимая во внимание, концепции орбиты Кеплера имеют первостепенное значение и широко используются.

Кеплеровские элементы

Кеплеровский орбитальные элементы.

Основная статья: Кеплеровские элементы

Любую кеплеровскую траекторию можно определить шестью параметрами. Движение объекта, движущегося в трехмерном пространстве, характеризуется вектором положения и вектором скорости. Каждый вектор состоит из трех компонентов, поэтому общее количество значений, необходимых для определения траектории в пространстве, равно шести. Орбита обычно определяется шестью элементами (известными как Кеплеровские элементы), которые можно вычислить по положению и скорости, три из которых уже обсуждались. Эти элементы удобны тем, что их шесть, пять неизменны для невозмущенной орбиты (резкий контраст с двумя постоянно меняющимися векторами). Будущее местоположение объекта на его орбите может быть предсказано, а его новое положение и скорость могут быть легко получены с помощью элементов орбиты.

Два определяют размер и форму траектории:

• Большая полуось (${\displaystyle a}$)
• Эксцентриситет (${\displaystyle e}$)

Три определяют ориентацию орбитальный самолет:

• Наклон (${\displaystyle i}$) определяет угол между плоскостью орбиты и плоскостью отсчета.
• Долгота восходящего узла (${\displaystyle \Omega }$) Определяет угол между опорным направлением и восходящим пересечением орбиты на опорной плоскости (восходящий узел).
• Аргумент периапсиса (${\displaystyle \omega }$) определяет угол между восходящим узлом и перицентром.

И наконец:

• Истинная аномалия (${\displaystyle \nu }$) определяет положение орбитального тела вдоль траектории, отсчитываемой от перицентра. Вместо истинной аномалии можно использовать несколько альтернативных значений, наиболее распространенным из которых является ${\displaystyle M}$ в средняя аномалия и ${\displaystyle T}$, время, прошедшее с периапсиса.

Потому что ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle \Omega }$ и ${\displaystyle \omega }$ представляют собой просто угловые измерения, определяющие ориентацию траектории в системе отсчета, они не являются строго необходимыми при обсуждении движения объекта в плоскости орбиты. Они были упомянуты здесь для полноты, но не требуются для доказательства ниже.

Математическое решение дифференциального уравнения (1) над

Для движения под любой центральной силой, т. Е. Силой, параллельной р, то удельный относительный угловой момент ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}}$ остается постоянным:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {H} }}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0} }$

Поскольку векторное произведение вектора положения и его скорости остается постоянным, они должны лежать в одной плоскости, ортогональной к ${\displaystyle \mathbf {H} }$. Это означает, что вектор-функция является плоская кривая.

Поскольку уравнение симметрично относительно его источника, его легче решить в полярных координатах. Однако важно отметить, что уравнение (1) относится к линейному ускорению ${\displaystyle \left({\ddot {\mathbf {r} }}\right),}$ в отличие от угловых ${\displaystyle \left({\ddot {\theta }}\right)}$ или радиальный ${\displaystyle \left({\ddot {r}}\right)}$ ускорение. Поэтому при преобразовании уравнения следует проявлять осторожность. Введение декартовой системы координат ${\displaystyle ({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }})}$ и полярные единичные векторы ${\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\boldsymbol {\theta }}})}$ в плоскости, ортогональной ${\displaystyle \mathbf {H} }$:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}}$

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}}$

Теперь мы можем переписать вектор-функцию ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и его производные как:

${\displaystyle \mathbf {r} =r(\cos \theta {\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta {\hat {\mathbf {y} }})=r{\hat {\mathbf {r} }}}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

(видеть "Векторное исчисление "). Подставив их в (1), мы нашли:

${\displaystyle ({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}=\left(-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {r} }}+(0){\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

Это дает необычное полярное дифференциальное уравнение:

${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$

(2)

Чтобы решить это уравнение, необходимо исключить все производные по времени. Это приносит:

${\displaystyle H=|\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}|=|(r\cos(\theta ),r\sin(\theta ),0)\times ({\dot {r}}\cos(\theta )-r\sin(\theta ){\dot {\theta }},{\dot {r}}\sin(\theta )+r\cos(\theta ){\dot {\theta }},0)|=|(0,0,r^{2}{\dot {\theta }})|=r^{2}{\dot {\theta }}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {H}{r^{2}}}}$

(3)

Взяв производную по времени от (3) получает

${\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}}$

(4)

Уравнения (3) и (4) позволяют исключить производные по времени от ${\displaystyle \theta }$. Чтобы исключить производные по времени от ${\displaystyle r}$, цепное правило используется для поиска подходящих замен:

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\dot {\theta }}}$

(5)

${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot {\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\ddot {\theta }}}$

(6)

Используя эти четыре замены, все производные по времени в (2) можно исключить, давая обыкновенное дифференциальное уравнение за ${\displaystyle r}$ как функция ${\displaystyle \theta .}$

${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot {\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\ddot {\theta }}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot \left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot \left(-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}\right)-r\left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{r^{4}}}\cdot \left({\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-2\cdot {\frac {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}{r}}-r\right)=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$

(7)

Дифференциальное уравнение (7) можно решить аналитически заменой переменных

${\displaystyle r={\frac {1}{s}}}$

(8)

Используя цепное правило для дифференциации, получаем:

${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}=-{\frac {1}{s^{2}}}\cdot {\frac {ds}{d\theta }}}$

(9)

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}={\frac {2}{s^{3}}}\cdot \left({\frac {ds}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{s^{2}}}\cdot {\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}}$

(10)

Используя выражения (10) и (9) за ${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$ и ${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}}$получает

${\displaystyle H^{2}\cdot \left({\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}+s\right)=\alpha }$

(11)

с общим решением

${\displaystyle s={\frac {\alpha }{H^{2}}}\cdot \left(1+e\cdot \cos(\theta -\theta _{0})\right)}$

(12)

куда е и ${\displaystyle \theta _{0}}$ - константы интегрирования, зависящие от начальных значений для s и ${\displaystyle {\tfrac {ds}{d\theta }}.}$

Вместо использования постоянной интегрирования ${\displaystyle \theta _{0}}$ явно вводится соглашение о том, что единичные векторы ${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$ определяющие систему координат в плоскости орбиты выбираются так, чтобы ${\displaystyle \theta _{0}}$ принимает нулевое значение и е положительный. Это значит, что ${\displaystyle \theta }$ равен нулю в точке, где ${\displaystyle s}$ является максимальным и поэтому ${\displaystyle r={\tfrac {1}{s}}}$ минимально. Определение параметра п в качестве ${\displaystyle {\tfrac {H^{2}}{\alpha }}}$ у одного есть это

${\displaystyle r={\frac {1}{s}}={\frac {p}{1+e\cdot \cos \theta }}}$

Альтернативное происхождение

Другой способ решить это уравнение без использования полярных дифференциальных уравнений:

Определите единичный вектор ${\displaystyle \mathbf {u} }$ такой, что ${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {u} }$ и ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=-{\tfrac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u} }$. Следует, что

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=r\mathbf {u} \times {\frac {d}{dt}}(r\mathbf {u} )=r\mathbf {u} \times (r{\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {r}}\mathbf {u} )=r^{2}(\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})+r{\dot {r}}(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )=r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }}}$

Теперь рассмотрим

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u} \times (r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha \mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha [(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }})\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ){\dot {\mathbf {u} }}]}$

(видеть Векторное тройное произведение ). Заметь

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =|\mathbf {u} |^{2}=1}$

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}={\frac {1}{2}}(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {\mathbf {u} }}\cdot \mathbf {u} )={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )=0}$

Подстановка этих значений в предыдущее уравнение дает:

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\alpha {\dot {\mathbf {u} }}}$

Объединение обеих сторон:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\alpha \mathbf {u} +\mathbf {c} }$

куда c - постоянный вектор. Расставляя это с р дает интересный результат:

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )=\mathbf {r} \cdot (\alpha \mathbf {u} +\mathbf {c} )=\alpha \mathbf {r} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {r} \cdot \mathbf {c} =\alpha r(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )+rc\cos(\theta )=r(\alpha +c\cos(\theta ))}$

куда ${\displaystyle \theta }$ угол между ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$. Решение для р:

${\displaystyle r={\frac {\mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )}{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }})\cdot \mathbf {H} }{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {|\mathbf {H} |^{2}}{\alpha +c\cos(\theta )}}.}$

Заметь ${\displaystyle (r,\theta )}$ фактически являются полярными координатами вектор-функции. Делаем замены ${\displaystyle p={\tfrac {|\mathbf {H} |^{2}}{\alpha }}}$ и ${\displaystyle e={\tfrac {c}{\alpha }}}$, мы снова приходим к уравнению

${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cdot \cos \theta }}}$

(13)

Это уравнение в полярных координатах для коническая секция с началом в фокусе. Аргумент ${\displaystyle \theta }$ называется «истинной аномалией».

Свойства уравнения траектории

За ${\displaystyle e=0}$ это круг с радиусом п.

За ${\displaystyle 0<e<1,}$ это эллипс с

${\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2}}}}$

(14)

${\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {1-e^{2}}}}=a\cdot {\sqrt {1-e^{2}}}}$

(15)

За ${\displaystyle e=1}$ это парабола с фокусным расстоянием ${\displaystyle {\tfrac {p}{2}}}$

За ${\displaystyle e>1}$ это гипербола с

${\displaystyle a={\frac {p}{e^{2}-1}}}$

(16)

${\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {e^{2}-1}}}=a\cdot {\sqrt {e^{2}-1}}}$

(17)

На следующем изображении показаны круг (серый), эллипс (красный), парабола (зеленый) и гипербола (синий).

Схема различных форм Кеплер Орбита и их эксцентричности. Синий - гиперболическая траектория (е > 1). Зеленый - параболическая траектория (е = 1). Красный - эллиптическая орбита (0 < е <1). Серый - круговая орбита (е = 0).

Точка на горизонтальной линии, идущей вправо от точки фокусировки, - это точка с ${\displaystyle \theta =0}$ при котором расстояние до фокуса принимает минимальное значение ${\displaystyle {\tfrac {p}{1+e}},}$ перицентр. Для эллипса также существует апоцентр, для которого расстояние до фокуса принимает максимальное значение ${\displaystyle {\tfrac {p}{1-e}}.}$ Для гиперболы диапазон для ${\displaystyle \theta }$ является

${\displaystyle \left[-\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)\right]}$

а для параболы диапазон равен

${\displaystyle \left[-\pi <\theta <\pi \right]}$

Используя цепное правило для дифференцирования (5), уравнение (2) и определение п в качестве ${\displaystyle {\frac {H^{2}}{\alpha }}}$ получается, что радиальная составляющая скорости равна

${\displaystyle V_{r}={\dot {r}}={\frac {H}{p}}\cdot e\cdot \sin \theta ={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}\cdot e\cdot \sin \theta }$

(18)

и что тангенциальная составляющая (составляющая скорости, перпендикулярная к ${\displaystyle V_{r}}$) является

${\displaystyle V_{t}=r\cdot {\dot {\theta }}={\frac {H}{r}}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}\cdot (1+e\cdot \cos \theta )}$

(19)

Связь полярного аргумента ${\displaystyle \theta }$ и время т немного отличается для эллиптических и гиперболических орбит.

Для эллиптической орбиты переключают на "эксцентрическая аномалия " E для которого

${\displaystyle x=a\cdot \cos E}$

(20)

${\displaystyle y=b\cdot \sin E}$

(21)

и следовательно

${\displaystyle {\dot {x}}=-a\cdot \sin E\cdot {\dot {E}}}$

(22)

${\displaystyle {\dot {y}}=b\cdot \cos E\cdot {\dot {E}}}$

(23)

и угловой момент ЧАС является

${\displaystyle H=x\cdot {\dot {y}}-y\cdot {\dot {x}}=a\cdot b\cdot (1-e\cdot \cos E)\cdot {\dot {E}}}$

(24)

Интегрируя по времени т дает

${\displaystyle H\cdot t=a\cdot b\cdot (E-e\cdot \sin E)}$

(25)

в предположении, что время ${\displaystyle t=0}$ выбирается так, чтобы постоянная интегрирования была равна нулю.

По определению п надо

${\displaystyle H={\sqrt {\alpha \cdot p}}}$

(26)

это можно написать

${\displaystyle t=a\cdot {\sqrt {\frac {a}{\alpha }}}(E-e\cdot \sin E)}$

(27)

Для гиперболической орбиты используется гиперболические функции для параметризации

${\displaystyle x=a\cdot (e-\cosh E)}$

(28)

${\displaystyle y=b\cdot \sinh E}$

(29)

для чего есть

${\displaystyle {\dot {x}}=-a\cdot \sinh E\cdot {\dot {E}}}$

(30)

${\displaystyle {\dot {y}}=b\cdot \cosh E\cdot {\dot {E}}}$

(31)

и угловой момент ЧАС является

${\displaystyle H=x\cdot {\dot {y}}-y\cdot {\dot {x}}=a\cdot b\cdot (e\cdot \cosh E-1)\cdot {\dot {E}}}$

(32)

Интегрируя по времени т получает

${\displaystyle H\cdot t=a\cdot b\cdot (e\cdot \sinh E-E)}$

(33)

т.е.

${\displaystyle t=a\cdot {\sqrt {\frac {a}{\alpha }}}(e\cdot \sinh E-E)}$

(34)

Чтобы узнать, какое время t соответствует определенной истинной аномалии ${\displaystyle \theta }$ один вычисляет соответствующий параметр E связано со временем соотношением (27) для эллиптического и с соотношением (34) для гиперболической орбиты.

Отметим, что отношения (27) и (34) определить отображение между диапазонами

${\displaystyle \left[-\infty <t<\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}$

Некоторые дополнительные формулы

Для эллиптическая орбита один получает от (20) и (21) который

${\displaystyle r=a\cdot (1-e\cdot \cos E)}$

(35)

и поэтому

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}}={\frac {\cos E-e}{1-e\cdot \cos E}}}$

(36)

Из (36) то следует, что

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-{\frac {\cos E-e}{1-e\cdot \cos E}}}{1+{\frac {\cos E-e}{1-e\cdot \cos E}}}}={\frac {1-e\cdot \cos E-\cos E+e}{1-e\cdot \cos E+\cos E-e}}={\frac {1+e}{1-e}}\cdot {\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1+e}{1-e}}\cdot \tan ^{2}{\frac {E}{2}}}$

Из геометрической конструкции, определяющей эксцентрическая аномалия ясно, что векторы ${\displaystyle (\cos E,\sin E)}$ и ${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$ находятся на одной стороне Икс-ось. Отсюда следует, что векторы ${\displaystyle \left(\cos {\tfrac {E}{2}},\sin {\tfrac {E}{2}}\right)}$ и ${\displaystyle \left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)}$ находятся в одном квадранте. Следовательно, есть

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}}$

(37)

и это

${\displaystyle \theta =2\cdot \arg \left({\sqrt {1-e}}\cdot \cos {\frac {E}{2}},{\sqrt {1+e}}\cdot \sin {\frac {E}{2}}\right)+n\cdot 2\pi }$

(38)

${\displaystyle E=2\cdot \arg \left({\sqrt {1+e}}\cdot \cos {\frac {\theta }{2}},{\sqrt {1-e}}\cdot \sin {\frac {\theta }{2}}\right)+n\cdot 2\pi }$

(39)

куда "${\displaystyle \arg(x,y)}$"- полярный аргумент вектора ${\displaystyle (x,y)}$ и п выбирается так, что ${\displaystyle |E-\theta |<\pi }$

Для численного расчета ${\displaystyle \arg(x,y)}$ стандартная функция ATAN2 (у, х) (или в двойная точность DATAN2 (y, x)) доступен, например, на языке программирования FORTRAN может быть использован.

Обратите внимание, что это отображение между диапазонами

${\displaystyle \left[-\infty <\theta <\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}$

Для гиперболическая орбита один получает от (28) и (29) который

${\displaystyle r=a\cdot (e\cdot \cosh E-1)}$

(40)

и поэтому

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}}={\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}$

(41)

В качестве

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-{\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}{1+{\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}}={\frac {e\cdot \cosh E-e+\cosh E}{e\cdot \cosh E+e-\cosh E}}={\frac {e+1}{e-1}}\cdot {\frac {\cosh E-1}{\cosh E+1}}={\frac {e+1}{e-1}}\cdot \tanh ^{2}{\frac {E}{2}}}$

и, как ${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}}$ и ${\displaystyle \tanh {\frac {E}{2}}}$ того же знака следует, что

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\cdot \tanh {\frac {E}{2}}}$

(42)

Это соотношение удобно для перехода между «истинной аномалией» и параметром E, причем последнее связано со временем соотношением (34). Обратите внимание, что это отображение между диапазонами

${\displaystyle \left[-\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)\right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}$

и это ${\displaystyle {\tfrac {E}{2}}}$ можно вычислить, используя соотношение

${\displaystyle \tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}$

Из соотношения (27) следует, что период обращения п для эллиптической орбиты

${\displaystyle P=2\pi \cdot a\cdot {\sqrt {\frac {a}{\alpha }}}}$

(43)

Как потенциальная энергия, соответствующая силовому полю соотношения (1) является

${\displaystyle -{\frac {\alpha }{r}}}$

следует из (13), (14), (18) и (19), что сумма кинетической и потенциальной энергии

${\displaystyle {\frac {{V_{r}}^{2}+{V_{t}}^{2}}{2}}-{\frac {\alpha }{r}}}$

для эллиптической орбиты

${\displaystyle -{\frac {\alpha }{2\cdot a}}}$

(44)

и из (13), (16), (18) и (19), что сумма кинетической и потенциальной энергии для гиперболической орбиты равна

${\displaystyle {\frac {\alpha }{2\cdot a}}}$

(45)

Относительно инерциальной системы координат

${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$

в орбитальной плоскости с ${\displaystyle {\hat {x}}}$ в сторону перицентра идет от (18) и (19), что компоненты скорости равны

${\displaystyle V_{x}=\cos \theta \cdot V_{r}-\sin \theta \cdot V_{t}=-{\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}\cdot \sin \theta }$

(46)

${\displaystyle V_{y}=\sin \theta \cdot V_{r}+\cos \theta \cdot V_{t}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}\cdot (e+\cos \theta )}$

(47)

Смотрите также Уравнение центра - Аналитические разложения

Уравнение центра связывает среднюю аномалию с истинной аномалией для эллиптических орбит при небольшом числовом эксцентриситете.

Определение кеплеровской орбиты, соответствующей заданному начальному состоянию

Это "проблема начального значения "для дифференциального уравнения (1), которое является уравнением первого порядка для 6-мерного "вектора состояния" ${\displaystyle ({\bar {r}},{\bar {v}})}$ когда написано как

${\displaystyle {\dot {\bar {v}}}=-\alpha \cdot {\frac {\hat {r}}{r^{2}}}}$

(48)

${\displaystyle {\dot {\bar {r}}}={\bar {v}}}$

(49)

Для любых значений исходного «вектора состояния» ${\displaystyle ({\bar {r_{0}}},{\bar {v_{0}}})}$ Кеплеровская орбита, соответствующая решению этой начальной задачи, может быть найдена с помощью следующего алгоритма:

Определите ортогональные единичные векторы ${\displaystyle ({\hat {r}},{\hat {t}})}$ через

${\displaystyle {\bar {r_{0}}}=r\cdot {\hat {r}}}$

(50)

${\displaystyle {\bar {v_{0}}}=V_{r}\cdot {\hat {r}}+V_{t}\cdot {\hat {t}}}$

(51)

с ${\displaystyle r>0}$ и ${\displaystyle V_{t}>0}$

Из (13), (18) и (19) следует, что, полагая

${\displaystyle p={\frac {{(r\cdot V_{t})}^{2}}{\alpha }}}$

(52)

и определив ${\displaystyle e\geq 0}$ и ${\displaystyle \theta }$ такой, что

${\displaystyle e\cdot \cos \theta ={\frac {V_{t}}{V_{0}}}-1}$

(53)

${\displaystyle e\cdot \sin \theta ={\frac {V_{r}}{V_{0}}}}$

(54)

куда

${\displaystyle V_{0}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}}$

(55)

получается орбита Кеплера, которая для истинной аномалии ${\displaystyle \theta }$ имеет то же самое р, ${\displaystyle V_{r}}$ и ${\displaystyle V_{t}}$ значения, определенные в (50) и (51).

Если эта орбита Кеплера, то тоже ${\displaystyle ({\hat {r}},{\hat {t}})}$ векторы для этой истинной аномалии ${\displaystyle \theta }$ как определенные (50) и (51) вектор состояния ${\displaystyle ({\bar {r}},{\bar {v}})}$ орбиты Кеплера принимает желаемые значения ${\displaystyle ({\bar {r_{0}}},{\bar {v_{0}}})}$ для истинной аномалии ${\displaystyle \theta }$.

Стандартная инерционно неподвижная система координат ${\displaystyle ({\hat {x}},{\hat {y}})}$ в плоскости орбиты (с ${\displaystyle {\hat {x}}}$ направленный от центра однородной сферы к перицентру), определяющий ориентацию конического сечения (эллипс, парабола или гипербола), затем можно определить с помощью соотношения

${\displaystyle {\hat {x}}=\cos \theta \cdot {\hat {r}}-\sin \theta \cdot {\hat {t}}}$

(56)

${\displaystyle {\hat {y}}=\sin \theta \cdot {\hat {r}}+\cos \theta \cdot {\hat {t}}}$

(57)

Отметим, что отношения (53) и (54) имеет особенность, когда ${\displaystyle V_{r}=0}$ и

${\displaystyle V_{t}=V_{0}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}={\sqrt {\frac {\alpha }{\frac {{(r\cdot V_{t})}^{2}}{\alpha }}}}}$

т.е.

${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {\alpha }{r}}}}$

(58)

это тот случай, когда это круговая орбита, которая соответствует начальному состоянию ${\displaystyle ({\bar {r_{0}}},{\bar {v_{0}}})}$

Оскулирующая орбита Кеплера

Основная статья: Оскулирующая орбита

Для любого вектора состояния ${\displaystyle ({\bar {r}},{\bar {v}})}$ орбита Кеплера, соответствующая этому состоянию, может быть вычислена с помощью алгоритма, определенного выше. Сначала параметры ${\displaystyle p,e,\theta }$ определяются из ${\displaystyle r,V_{r},V_{t}}$ а затем ортогональные единичные векторы в плоскости орбиты ${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$ используя соотношения (56) и (57).

Если теперь уравнение движения

${\displaystyle {\ddot {\bar {r}}}=\operatorname {\bar {F}} ({\bar {r}},{\dot {\bar {r}}},t)}$

(59)

куда

${\displaystyle \operatorname {\bar {F}} ({\bar {r}},{\dot {\bar {r}}},t)}$

это функция, отличная от

${\displaystyle -\alpha \cdot {\frac {\hat {r}}{r^{2}}}}$

итоговые параметры

${\displaystyle p,e,\theta ,{\hat {x}},{\hat {y}}}$

определяется ${\displaystyle {\bar {r}},{\dot {\bar {r}}}}$ все будет меняться со временем, в отличие от орбиты Кеплера, для которой только параметр${\displaystyle \theta }$ будет отличаться

Вычисленная таким образом орбита Кеплера имеет тот же «вектор состояния», что и решение «уравнения движения» (59) вовремя т is said to be "osculating" at this time.

This concept is for example useful in case

${\displaystyle \operatorname {\bar {F}} ({\bar {r}},{\dot {\bar {r}}},t)=-\alpha \cdot {\frac {\hat {r}}{r^{2}}}+\operatorname {\bar {f}} ({\bar {r}},{\dot {\bar {r}}},t)}$

куда

${\displaystyle \operatorname {\bar {f}} ({\bar {r}},{\dot {\bar {r}}},t)}$

is a small "perturbing force" due to for example a faint gravitational pull from other celestial bodies. The parameters of the osculating Kepler orbit will then only slowly change and the osculating Kepler orbit is a good approximation to the real orbit for a considerable time period before and after the time of osculation.

This concept can also be useful for a rocket during powered flight as it then tells which Kepler orbit the rocket would continue in case the thrust is switched off.

For a "close to circular" orbit the concept "eccentricity vector " defined as ${\displaystyle {\bar {e}}=e\cdot {\hat {x}}}$ is useful. Из (53), (54) и (56) follows that

${\displaystyle {\bar {e}}={\frac {(V_{t}-V_{0})\cdot {\hat {r}}-V_{r}\cdot {\hat {t}}}{V_{0}}}}$

(60)

т.е. ${\displaystyle {\bar {e}}}$ is a smooth differentiable function of the state vector ${\displaystyle ({\bar {r}},{\bar {v}})}$ also if this state corresponds to a circular orbit.

Смотрите также

• Физический портал

• Two-body problem
• Gravitational two-body problem
• Проблема Кеплера
• Законы движения планет Кеплера
• Эллиптическая орбита
• Гиперболическая траектория
• Параболическая траектория
• Радиальная траектория
• Orbit modeling

Цитаты

1. Copernicus. pp 513–514
2. Gould, Alan (2016-09-24). "Johannes Kepler: His Life, His Laws and Times". НАСА. Получено 2018-12-03.
3. Bate, Mueller, White. pp 177–181
4. http://ssd.jpl.nasa.gov

Рекомендации

• El'Yasberg "Theory of flight of artificial earth satellites", Israel program for Scientific Translations (1967)
• Bate, Roger; Mueller, Donald; White, Jerry (1971). Fundamentals of Astrodynamics. Dover Publications, Inc., New York. ISBN  0-486-60061-0.
• Коперник, Николай (1952), "Book I, Chapter 4, The Movement of the Celestial Bodies Is Regular, Circular, and Everlasting-Or Else Compounded of Circular Movements", О вращении небесных сфер, Great Books of the Western World, 16, translated by Charles Glenn Wallis, Chicago: William Benton, pp. 497–838

внешняя ссылка

• JAVA applet animating the orbit of a satellite in an elliptic Kepler orbit around the Earth with any value for semi-major axis and eccentricity.