Интеграл Римана - Riemann integral

Интеграл как площадь области под кривой.

Последовательность сумм Римана по регулярному разбиению интервала. Число сверху - это общая площадь прямоугольников, которая сходится к интегралу функции.

Перегородка не обязательно должна быть обычной, как показано здесь. Приближение работает до тех пор, пока ширина каждого подразделения стремится к нулю.

В филиале математика известный как реальный анализ, то Интеграл Римана, сделано Бернхард Риманн, было первым строгим определением интеграл из функция на интервал. Он был представлен факультету на Геттингенский университет в 1854 г., но не публиковался в журнале до 1868 г.^[1] Для многих функций и практических приложений интеграл Римана может быть вычислен с помощью основная теорема исчисления или приблизительно численное интегрирование.

Интеграл Римана непригоден для многих теоретических целей. Некоторые технические недостатки интеграции Римана можно исправить с помощью Интеграл Римана – Стилтьеса., и большинство исчезает с Интеграл Лебега, хотя у последнего нет удовлетворительного лечения несобственные интегралы. В калибровочный интеграл является обобщением интеграла Лебега, которое сразу же ближе к интегралу Римана. Эти более общие теории позволяют интегрировать более «зубчатые» или «сильно колеблющиеся» функции, для которых интеграл Римана не существует; но теории дают то же значение, что и интеграл Римана, когда он действительно существует.

В образовательных учреждениях Интеграл Дарбу предлагает более простое определение, с которым легче работать; его можно использовать для введения интеграла Римана. Интеграл Дарбу определяется всякий раз, когда есть интеграл Римана, и всегда дает один и тот же результат. И наоборот, калибровочный интеграл представляет собой простое, но более мощное обобщение интеграла Римана, которое побудило некоторых преподавателей выступить за то, чтобы он заменил интеграл Римана во вводных курсах исчисления.^[2]

Обзор

Позволять ж быть неотрицательным настоящий -значная функция на интервале [а, б], и разреши

${\displaystyle S=\left\{(x,y)\,:\ a\leq x\leq b,0<y<f(x)\right\}}$

- область плоскости под графиком функции ж и выше интервала [а, б] (см. рисунок вверху справа). Мы заинтересованы в измерении площади S. После того, как мы измерили его, мы обозначим площадь следующим образом:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

Основная идея интеграла Римана состоит в использовании очень простых приближений для области S. Принимая все более и более точные приближения, мы можем сказать, что «в пределе» мы получаем точно площадь S под кривой.

Обратите внимание, где ж может быть как положительным, так и отрицательным, определение S модифицируется так, чтобы интеграл соответствовал подписанная область под графиком ж: то есть область над Икс-ось минус область под Икс-ось.

Определение

Перегородки интервала

А разбиение интервала [а, б] конечная последовательность чисел вида

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b}$

Каждый [Икс_я, Икс_{я + 1}] называется подинтервал раздела. В сетка или же норма раздела определяется как длина самого длинного подинтервала, то есть

${\displaystyle \max \left(x_{i+1}-x_{i}\right),\quad i\in [0,n-1].}$

А раздел с тегами п(Икс, т) интервала [а, б] представляет собой разбиение вместе с конечной последовательностью чисел т₀, ..., т_{п − 1} при условии, что для каждого я, т_я ∈ [Икс_я, Икс_{я + 1}]. Другими словами, это раздел с выделенной точкой каждого подинтервала. Сетка помеченного раздела такая же, как у обычного раздела.

Предположим, что два раздела п(Икс, т) и Q(у, s) оба являются разбиениями интервала [а, б]. Мы говорим что Q(у, s) это уточнение из п(Икс, т) если для каждого целого числа я, с я ∈ [0, п], существует целое число р(я) такой, что Икс_я = у_р(я) и такой, что т_я = s_j для некоторых j с j ∈ [р(я), р(я + 1)). Проще говоря, уточнение помеченного раздела разбивает некоторые из подинтервалов и добавляет теги к разделу, где это необходимо, таким образом, это «улучшает» точность раздела.

Мы можем определить частичный заказ на множестве всех помеченных разделов, говоря, что один помеченный раздел больше или равен другому, если первый является уточнением второго.

Суммы Римана

Позволять ж - вещественная функция, определенная на интервале [а, б]. В Сумма Римана из ж относительно помеченного раздела Икс₀, ..., Икс_п вместе с т₀, ..., т_{п − 1} является^[3]

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})\left(x_{i+1}-x_{i}\right).}$

Каждый член суммы является произведением значения функции в данной точке и длины интервала. Следовательно, каждый член представляет собой (подписанную) площадь прямоугольника высотой ж(т_я) и ширина Икс_{я + 1} − Икс_я. Сумма Римана - это (знаковая) площадь всех прямоугольников.

Тесно связанные концепции - это нижняя и верхняя суммы Дарбу. Они похожи на суммы Римана, но теги заменены на инфимум и супремум (соответственно) из ж на каждом подинтервале:

${\displaystyle {\begin{aligned}L(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\inf _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}),\\U(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\sup _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}).\end{aligned}}}$

Если ж непрерывна, то нижняя и верхняя суммы Дарбу для немаркированного раздела равны сумме Римана для этого раздела, где теги выбираются как минимум или максимум (соответственно) из ж на каждом подынтервале. (Когда ж прерывается на подынтервале, может не быть тега, который достигает нижнего или верхнего предела на этом подынтервале.) Интеграл Дарбу, который аналогичен интегралу Римана, но основан на суммах Дарбу, эквивалентен интегралу Римана.

Интеграл Римана

Грубо говоря, интеграл Римана - это предел суммы Римана функции по мере того, как разбиения становятся более тонкими. Если предел существует, то функция называется интегрируемый (или более конкретно Интегрируемый по Риману). Сумма Римана может быть максимально приближена к интегралу Римана, сделав разбиение достаточно тонким.^[4]

Одним из важных требований является то, что сетка перегородок должна становиться все меньше и меньше, чтобы в пределе она была равна нулю. Если бы это было не так, мы не смогли бы получить хорошее приближение функции на определенных подинтервалах. На самом деле этого достаточно, чтобы определить интеграл. Чтобы быть конкретнее, мы говорим, что интеграл Римана от ж равно s если выполняется следующее условие:

Для всех ε > 0, Существует δ > 0 так что для любого помеченного раздела Икс₀, ..., Икс_п и т₀, ..., т_{п − 1} чья сетка меньше чем δ, у нас есть

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})-s\right|<\varepsilon .}$

К сожалению, это определение очень сложно использовать. Это помогло бы разработать эквивалентное определение интеграла Римана, с которым легче работать. Мы развиваем это определение сейчас, после чего докажем эквивалентность. Наше новое определение гласит, что интеграл Римана от ж равно s если выполняется следующее условие:

Для всех ε > 0, существует раздел с тегами у₀, ..., у_м и р₀, ..., р_{м − 1} так что для любого помеченного раздела Икс₀, ..., Икс_п и т₀, ..., т_{п − 1} который является уточнением у₀, ..., у_м и р₀, ..., р_{м − 1}, у нас есть

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})-s\right|<\varepsilon .}$

Оба они означают, что в конечном итоге сумма Римана ж по отношению к любому разделу оказывается в ловушке рядом с s. Поскольку это верно, независимо от того, насколько близко мы требуем, чтобы суммы были захвачены, мы говорим, что суммы Римана сходятся к s. Эти определения на самом деле являются частным случаем более общей концепции, сеть.

Как мы заявляли ранее, эти два определения эквивалентны. Другими словами, s работает в первом определении тогда и только тогда, когда s работает во втором определении. Чтобы показать, что первое определение подразумевает второе, начните с ε, и выберите δ что удовлетворяет условию. Выберите любой раздел с тегами, размер сетки которого меньше δ. Его сумма Римана находится в пределах ε из s, и любое уточнение этого раздела также будет иметь сетку меньше, чем δ, поэтому сумма Римана уточнения также будет в пределах ε из s.

Чтобы показать, что второе определение подразумевает первое, проще всего использовать Интеграл Дарбу. Во-первых, показано, что второе определение эквивалентно определению интеграла Дарбу; для этого см. Интеграл Дарбу статья. Теперь мы покажем, что интегрируемая функция Дарбу удовлетворяет первому определению. Исправить ε, и выберите раздел у₀, ..., у_м такие, что нижняя и верхняя суммы Дарбу по этому разбиению находятся в пределах ε/2 ценности s интеграла Дарбу. Позволять

${\displaystyle r=2\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|.}$

Если р = 0, тогда ж - нулевая функция, которая, очевидно, интегрируема по Дарбу и Риману с целым нулем. Поэтому будем считать, что р > 0. Если м > 1, то выбираем δ такой, что

${\displaystyle \delta <\min \left\{{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},\left(y_{1}-y_{0}\right),\left(y_{2}-y_{1}\right),\cdots ,\left(y_{m}-y_{m-1}\right)\right\}}$

Если м = 1, то выбираем δ быть меньше единицы. Выберите раздел с тегами Икс₀, ..., Икс_п и т₀, ..., т_{п − 1} с ячейкой меньше чем δ. Мы должны показать, что сумма Римана находится в пределах ε из s.

Чтобы увидеть это, выберите интервал [Икс_я, Икс_{я + 1}]. Если этот интервал содержится в некотором [у_j, у_{j + 1}], тогда

${\displaystyle m_{j}<f(t_{i})<M_{j}}$

куда м_j и M_j суть соответственно нижняя и верхняя грань ж на [у_j, у_{j + 1}]. Если бы все интервалы обладали этим свойством, то это завершило бы доказательство, потому что каждый член в сумме Римана был бы ограничен соответствующим членом в суммах Дарбу, и мы выбрали суммы Дарбу, чтобы они были близки s. Это тот случай, когда м = 1, так что в этом случае доказательство окончено.

Поэтому можно считать, что м > 1. В этом случае возможно, что один из [Икс_я, Икс_{я + 1}] не содержится ни в одном [у_j, у_{j + 1}]. Вместо этого он может проходить через два интервала, определяемых у₀, ..., у_м. (Он не может соответствовать трем интервалам, потому что δ считается меньше длины любого одного интервала). В символах может случиться так, что

${\displaystyle y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}<y_{j+2}.}$

(Можно считать, что все неравенства строгие, потому что в противном случае мы попадаем в предыдущий случай в силу нашего предположения о длине δ.) Это может случиться самое большее м − 1 раз.

Чтобы справиться с этим случаем, мы оценим разницу между суммой Римана и суммой Дарбу, разделив разбиение Икс₀, ..., Икс_п в у_{j + 1}. Период, термин ж(т_я)(Икс_{я + 1} − Икс_я) в сумме Римана делится на два члена:

${\displaystyle f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-x_{i}\right)=f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)+f\left(t_{i}\right)\left(y_{j+1}-x_{i}\right).}$

Предположим, без ограничения общности, что т_я ∈ [у_j, у_{j + 1}]. потом

${\displaystyle m_{j}<f(t_{i})<M_{j},}$

поэтому этот член ограничен соответствующим членом в сумме Дарбу для у_j. Чтобы ограничить другой термин, обратите внимание, что

${\displaystyle x_{i+1}-y_{j+1}<\delta <{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},}$

Отсюда следует, что для некоторых (действительно, любых) т^*
_я ∈ [у_{j + 1}, Икс_{я + 1}],

${\displaystyle \left|f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i}^{*}\right)\right|\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)<{\frac {\varepsilon }{2(m-1)}}.}$

Поскольку это происходит самое большее м − 1 раз расстояние между суммой Римана и суммой Дарбу не превышает ε/2. Следовательно, расстояние между суммой Римана и s самое большееε.

Примеры

Позволять ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$ быть функцией, которая принимает значение 1 в каждой точке. Любая сумма Римана ж на [0, 1] будет иметь значение 1, поэтому интеграл Римана от ж на [0, 1] равно 1.

Позволять ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \mathbb {R} }$ быть индикаторная функция рациональных чисел в [0, 1]; то есть, ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$ принимает значение 1 для рациональных чисел и 0 для иррациональных чисел. Эта функция не имеет интеграла Римана. Чтобы доказать это, мы покажем, как построить разбиения с тегами, суммы Римана которых сколь угодно близки как к нулю, так и к единице.

Для начала пусть Икс₀, ..., Икс_п и т₀, ..., т_{п − 1} быть тегированным разделом (каждый т_я между Икс_я и Икс_{я + 1}). выбирать ε > 0. В т_я уже выбраны, и мы не можем изменить значение ж в этих точках. Но если разрезать перегородку на мелкие кусочки вокруг каждой т_я, мы можем минимизировать влияние т_я. Затем, тщательно выбирая новые теги, мы можем добиться, чтобы значение суммы Римана оказалось в пределах ε либо нуля, либо единицы.

Наш первый шаг - разрезать перегородку. Есть п из т_я, и мы хотим, чтобы их общий эффект был меньше ε. Если ограничить каждый из них интервалом длиной менее ε/п, то вклад каждого т_я к сумме Римана будет не менее 0 · ε/п и самое большее 1 · ε/п. Это делает общую сумму не менее нуля и не более ε. Так что давайте δ быть положительным числом меньше чем ε/п. Если случится так, что два т_я находятся в пределах δ друг друга, выберите δ меньше. Если случится, что некоторые т_я внутри δ некоторых Икс_j, и т_я не равно Икс_j, выберите δ меньше. Поскольку существует только конечное число т_я и Икс_j, мы всегда можем выбрать δ достаточно маленький.

Теперь добавляем в перегородку по два разреза для каждого т_я. Один из разрезов будет на т_я − δ/2, а другой будет в т_я + δ/2. Если один из них выходит за пределы интервала [0, 1], мы его пропускаем. т_я будет тегом, соответствующим подынтервалу

${\displaystyle \left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].}$

Если т_я находится прямо на одной из Икс_j, то пусть т_я быть тегом для обоих интервалов:

${\displaystyle \left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},x_{j}\right],\quad {\text{and}}\quad \left[x_{j},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].}$

Нам еще предстоит выбрать теги для остальных подынтервалов. Мы выберем их двумя разными способами. Первый способ - всегда выбирать рациональная точка, чтобы сумма Римана была как можно больше. Это сделает сумму Римана не менее 1 − ε. Второй способ - всегда выбирать иррациональную точку, чтобы сумма Римана была как можно меньше. Это сделает сумму Римана не более ε.

Поскольку мы начали с произвольного раздела и закончили так близко, как хотели, либо к нулю, либо к единице, неверно говорить, что мы в конечном итоге застряли возле некоторого числа s, поэтому эта функция не интегрируема по Риману. Однако это Интегрируемый по Лебегу. В смысле Лебега его интеграл равен нулю, так как функция равна нулю. почти всюду. Но это факт, недоступный для интеграла Римана.

Есть примеры и похуже. ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$ эквивалентна (то есть почти всюду) интегрируемой по Риману функции, но существуют неинтегрируемые по Риману ограниченные функции, которые не эквивалентны любой интегрируемой по Риману функции. Например, пусть C быть Множество Смита – Вольтерры – Кантора, и разреши я_C быть его индикаторной функцией. Потому что C не является Иордания измеримая, я_C не интегрируема по Риману. Более того, нет функции грамм эквивалентно я_C интегрируем по Риману: грамм, подобно я_C, должна быть равна нулю на плотном множестве, так что, как и в предыдущем примере, любая сумма Римана грамм есть утонченность, которая находится внутри ε 0 для любого положительного числаε. Но если интеграл Римана от грамм существует, то он должен быть равен интегралу Лебега от я_C, который 1/2. Следовательно, грамм не интегрируема по Риману.

Подобные концепции

Интеграл Римана принято определять как Интеграл Дарбу. Это связано с тем, что интеграл Дарбу технически проще и потому, что функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она интегрируема по Дарбу.

Некоторые книги по математике не используют общие разделы с тегами, а ограничиваются определенными типами разделов с тегами. Если тип разбиения слишком ограничен, некоторые неинтегрируемые функции могут оказаться интегрируемыми.

Одним из популярных ограничений является использование «левой» и «правой» сумм Римана. В левой сумме Римана т_я = Икс_я для всех я, а в правой сумме Римана т_я = Икс_{я + 1} для всех я. Само по себе это ограничение не создает проблемы: мы можем уточнить любое разбиение таким образом, чтобы оно превратилось в левую или правую сумму, разделив его на каждую т_я. Говоря более формальным языком, множество всех левых сумм Римана и множество всех правых сумм Римана имеет вид финальный в наборе всех помеченных разделов.

Еще одно популярное ограничение - это регулярное деление интервала. Например, пое регулярное подразделение [0, 1] состоит из интервалов

${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{n}}\right],\left[{\frac {1}{n}},{\frac {2}{n}}\right],\ldots ,\left[{\frac {n-1}{n}},1\right].}$

Опять же, само по себе это ограничение не создает проблемы, но рассуждения, необходимые для того, чтобы увидеть этот факт, сложнее, чем в случае левой и правой сумм Римана.

Однако комбинирование этих ограничений, так что можно использовать только левую или правую суммы Римана на регулярно разделенных интервалах, опасно. Если заранее известно, что функция интегрируема по Риману, то этот метод даст правильное значение интеграла. Но в этих условиях индикаторная функция ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$ будет казаться интегрируемым на [0, 1] с интегралом, равным единице: каждая конечная точка каждого подинтервала будет рациональным числом, поэтому функция всегда будет вычисляться с рациональными числами, и, следовательно, она всегда будет казаться равной единице. Проблема с этим определением становится очевидной, когда мы пытаемся разбить интеграл на две части. Должно выполняться следующее уравнение:

${\displaystyle \int _{0}^{{\sqrt {2}}-1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx+\int _{{\sqrt {2}}-1}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx=\int _{0}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx.}$

Если мы используем регулярные подразделения и левую или правую суммы Римана, то два члена слева равны нулю, поскольку каждая конечная точка, кроме 0 и 1, будет иррациональной, но, как мы видели, член справа будет равно 1.

Как определено выше, интеграл Римана позволяет избежать этой проблемы, отказываясь интегрировать ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }.}$ Интеграл Лебега определен таким образом, что все эти интегралы равны 0.

Характеристики

Линейность

Интеграл Римана - это линейное преобразование; то есть, если ж и грамм интегрируемы по Риману на [а, б] и α и β константы, то

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Поскольку интеграл Римана функции является числом, это делает интеграл Римана линейный функционал на векторное пространство функций, интегрируемых по Риману.

Интегрируемость

А ограниченная функция на компактный интервал [а, б] интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она непрерывный почти всюду (множество его точек разрыва имеет измерять ноль, в смысле Мера Лебега ). Это известно как Условие интегрируемости Лебега или же Критерий Лебега интегрируемости Римана или Теорема Римана – Лебега.^[5] Критерий имеет нечего делать с Интеграл Лебега. Это связано с Лебег и использует его измерять ноль, но не использует ни общую меру, ни интеграл Лебега.

Условие интегрируемости можно доказать разными способами:^[5][6][7][8] один из которых показан ниже.

Доказательство

Доказательство проще всего использовать Интеграл Дарбу определение интегрируемости (формально условие Римана для интегрируемости) - функция является интегрируемой по Риману тогда и только тогда, когда верхняя и нижняя суммы могут быть сколь угодно близки путем выбора подходящего разбиения. Одно направление можно проверить, используя колебание определение непрерывности:[9] Для каждого положительного ε, Позволять Иксε быть набором точек в [а, б] с колебанием не менее ε. Поскольку каждая точка, где ж прерывисто имеет положительное колебание, и наоборот, множество точек в [а, б], куда ж разрывно равно объединению над {Икс1/п} для всех натуральных чисел п. Если в этом наборе нет нуля Мера Лебега, затем по счетная аддитивность меры существует хотя бы один такой п так что Икс1/п не имеет нулевой меры. Таким образом, есть некоторое положительное число c так что каждый счетный набор открытых интервалов покрытие Икс1/п имеет общую длину не менее c. В частности, это также верно для любого такого конечного набора интервалов. Обратите внимание, что это остается верным и для Икс1/п за вычетом конечного числа точек (поскольку конечное число точек всегда может быть покрыто конечным набором интервалов с произвольно малой общей длиной). Для каждого разделение [а, б], рассмотрим множество интервалов, внутри которых есть точки из Икс1/п. Эти интерьеры состоят из конечного открытого покрытия Икс1/п, возможно, до конечного числа точек (которые могут попадать на края интервала). Таким образом, эти интервалы имеют общую длину не менее c. Поскольку в этих точках ж имеет колебания не менее 1/п, то инфимум и супремум из ж в каждом из этих интервалов отличаются не менее чем на 1/п. Таким образом, верхняя и нижняя суммы ж отличаться по крайней мере c/п. Поскольку это верно для каждого раздела, ж не интегрируема по Риману. Докажем теперь обратное направление с помощью множеств Иксε определено выше.[10] Обратите внимание, что для каждого ε, Иксε является компактный, так как он ограничен ( а и б) и закрыто: Для каждой серии точек в Иксε что сходится в [а, б], его предел находится в Иксε также. Это потому, что каждая окрестность предельной точки также является окрестностью некоторой точки в Иксε, и поэтому ж имеет колебание не менее ε в теме. Следовательно, предельная точка находится в Иксε. Теперь предположим, что ж непрерывно почти всюду. Тогда для каждого ε, Иксε имеет ноль Мера Лебега. Следовательно, существует счетный набор открытых интервалов в [а, б] который является открытая крышка из Иксε, такие, что сумма по всем длинам сколь угодно мала. С Иксε компактный, существует конечная прикрытие - конечный набор открытых интервалов в [а, б] со сколь угодно малой общей длиной, которые вместе содержат все точки из Иксε. Обозначим эти интервалы {я(ε)я}, за 1 ≤ я ≤ k, для некоторых естественных k. В дополнять объединения этих интервалов представляет собой объединение конечного числа интервалов, которые мы обозначим {J(ε)я} (за 1 ≤ я ≤ k − 1 и, возможно, для я = k, k + 1 также). Теперь покажем, что для каждого ε > 0, Существуют верхняя и нижняя суммы чья разница меньше чем ε, из которого следует интегрируемость по Риману. Для этого построим разделение [а, б] следующее: Обозначить ε1 = ε / 2(б − а) и ε2 = ε / 2(M − м), куда м и M являются инфимум и супремум из ж на [а, б]. Поскольку мы можем выбирать интервалы {я(ε1)я} с произвольно малой общей длиной, мы выбираем их так, чтобы общая длина была меньше, чем ε2. Каждый из интервалов {J(ε1)я} имеет пустое пересечение с Иксε1, поэтому каждая его точка имеет окрестность с колебанием меньше, чем ε1. Эти районы состоят из открытая крышка интервала, и поскольку интервал компактен, у них есть конечное подпокрытие. Это подпокрытие представляет собой конечный набор открытых интервалов, которые являются подынтервалами J(ε1)я (кроме тех, которые включают точку края, для которых мы берем только их пересечение с J(ε1)я). Берем граничные точки подынтервалов для всех J(ε1)я − s, включая краевые точки самих интервалов, как наше разбиение. Таким образом, разбиение делит [а, б] до двух видов интервалов: Интервалы второго типа (сами по себе подынтервалы некоторых J(ε1)я). В каждом из них ж колеблется менее чем на ε1. Поскольку их общая длина не превышает б − а, вместе они вносят не более ε^∗ 1(б − а) = ε/2 к разнице между верхней и нижней суммами раздела. Интервалы {я(ε)я}. Их общая длина меньше, чем ε2, и ж колеблется на них не более чем M − м. Таким образом, вместе они вносят меньше, чем ε^∗ 2(M − м) = ε/2 к разнице между верхней и нижней суммами раздела. В целом разница между верхней и нижней суммами разбиения меньше, чем ε, как требуется.

В частности, любой набор, не более счетный имеет Мера Лебега нуль, а значит, ограниченная функция (на компактном интервале) только с конечным или счетным числом разрывов интегрируема по Риману.

An индикаторная функция ограниченного множества интегрируем по Риману тогда и только тогда, когда множество Иордания измеримая.^[11] Интеграл Римана можно интерпретировать теоретически как интеграл по жордановой мере.

Если действительная функция монотонный на интервале [а, б] оно интегрируемо по Риману, так как его множество разрывов не более чем счетно и, следовательно, имеет нулевую меру Лебега.

Если действительная функция на [а, б] интегрируем по Риману, Интегрируемый по Лебегу. То есть интегрируемость по Риману сильнее (что означает более сложное для выполнения) условие, чем интегрируемость по Лебегу.

Если ж_п это равномерно сходящийся последовательность на [а, б] с лимитом ж, то интегрируемость по Риману всех ж_п влечет интегрируемость по Риману ж, и

${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dx=\int _{a}^{b}{\lim _{n\to \infty }{f_{n}}\,dx}=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx.}$

Тем не менее Теорема о монотонной сходимости Лебега (на монотонном поточечном пределе) не выполняется. При интегрировании Римана принятие пределов под знаком интеграла гораздо сложнее логически обосновать, чем при интегрировании Лебега.^[12]

Обобщения

Интеграл Римана легко распространить на функции со значениями в евклидовом векторном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ для любого п. Интеграл определяется покомпонентно; другими словами, если ж = (ж₁, ..., ж_п) тогда

${\displaystyle \int \mathbf {f} =\left(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n}\right).}$

В частности, поскольку комплексные числа являются действительными векторное пространство, это позволяет интегрировать комплексные функции.

Интеграл Римана определен только на ограниченных интервалах и не распространяется на неограниченные интервалы. Простейшее возможное расширение - определить такой интеграл как предел, другими словами, как несобственный интеграл:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty \atop b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

Это определение несет в себе некоторые тонкости, такие как тот факт, что оно не всегда эквивалентно вычислению Главное значение Коши

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx.}$

Например, рассмотрим функция знака ж(Икс) = sgn (Икс) который равен 0 в Икс = 0, 1 для Икс > 0, и −1 для Икс < 0. По симметрии

${\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\,dx=0}$

всегда, независимо от а. Но есть много способов расширить интервал интеграции, чтобы заполнить реальную линию, и другие способы могут дать разные результаты; другими словами, многомерный предел существует не всегда. Мы можем вычислить

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-a}^{2a}f(x)\,dx&=a,\\\int _{-2a}^{a}f(x)\,dx&=-a.\end{aligned}}}$

В общем случае этот несобственный интеграл Римана не определен. Даже стандартизация способа приближения интервала к реальной линии не работает, поскольку приводит к противоречивым результатам. Если мы согласимся (например), что несобственный интеграл всегда должен быть

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx,}$

тогда интеграл перевода ж(Икс − 1) равно −2, поэтому это определение не инвариантно относительно сдвигов, что является крайне нежелательным свойством. Фактически, эта функция не только не имеет несобственного интеграла Римана, но и ее интеграл Лебега также не определен (он равен ∞ − ∞).

К сожалению, несобственный интеграл Римана недостаточно мощный. Самая серьезная проблема состоит в том, что не существует широко применимых теорем о коммутации несобственных интегралов Римана с пределами функций. В таких приложениях, как Ряд Фурье важно иметь возможность аппроксимировать интеграл функции, используя интегралы приближения к функции. Для собственных интегралов Римана стандартная теорема утверждает, что если ж_п представляет собой последовательность функций, сходятся равномерно к ж на компакте [а, б], тогда

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

На некомпактных интервалах, таких как реальная линия, это неверно. Например, возьмите ж_п(Икс) быть п⁻¹ на [0, п] и ноль в других местах. Для всех п у нас есть:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx=1.}$

Последовательность {ж_п} сходится равномерно к нулевой функции, и, очевидно, интеграл нулевой функции равен нулю. Как следствие,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f\,dx\neq \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx.}$

Это показывает, что для интегралов на неограниченных интервалах равномерная сходимость функции недостаточно сильна, чтобы можно было пройти предел через знак интеграла. Это делает интеграл Римана неработоспособным в приложениях (даже если интеграл Римана присваивает обеим сторонам правильное значение), потому что нет другого общего критерия для замены предела и интеграла Римана, а без такого критерия трудно аппроксимировать интегралы с помощью аппроксимируют их подынтегральные выражения.

Лучше всего отказаться от интеграла Римана в пользу Интеграл Лебега. Определение интеграла Лебега, очевидно, не является обобщением интеграла Римана, но нетрудно доказать, что каждая интегрируемая по Риману функция является интегрируемой по Лебегу и что значения двух интегралов согласуются, когда они оба определены. Более того, функция ж определенная на ограниченном интервале, интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она ограничена и множество точек, где ж разрывно имеет нулевую меру Лебега.

Интеграл, который фактически является прямым обобщением интеграла Римана, - это Интеграл Хенстока – Курцвейла.

Другой способ обобщения интеграла Римана - заменить множители Икс_{k + 1} − Икс_k в определении суммы Римана чем-то еще; грубо говоря, это дает интервалу интегрирования иное понятие длины. Это подход, принятый Интеграл Римана – Стилтьеса..

В многомерное исчисление, интегралы Римана для функций из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ находятся кратные интегралы.

Смотрите также

• Площадь
• Первообразный
• Интеграция Лебега

Примечания

1. Интеграл Римана был введен в статье Бернхарда Римана «Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe» (О представимости функции тригонометрическим рядом; т.е. когда функция может быть представлена ​​тригонометрическим рядом). Эта статья была представлена ​​в Геттингенском университете в 1854 году как работа Римана. Хабилитация (квалификация инструктора). Он был опубликован в 1868 г. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Труды Королевского философского общества в Геттингене), т. 13, страницы 87-132. (Доступно онлайн здесь.) Для определения Римана своего интеграла см. Раздел 4 «Über den Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit» (О концепции определенного интеграла и степени его достоверности), стр. 101–103.
2. «Открытое письмо авторам математических книг». Получено 27 февраля 2014.
3. Кранц, Стивен Г. (1991). Реальный анализ и основы. CRC Press. п. 173.; Издание 2005 г.. ISBN  9781584884835.
4. Тейлор, Майкл Э. (2006). Теория меры и интеграция. Американское математическое общество. п. 1. ISBN  9780821872468.
5. Апостол 1974 г., стр. 169–172
6. Браун, А. Б. (сентябрь 1936 г.). «Доказательство условия Лебега интегрируемости Римана». Американский математический ежемесячник. 43 (7): 396–398. Дои:10.2307/2301737. ISSN  0002-9890. JSTOR  2301737.
7. Базовый реальный анализ, Хушанг Х. Сохраб, раздел 7.3, Наборы нулевой меры и условие интегрируемости Лебега, стр. 264–271
8. Введение в реальный анализ, обновлено: апрель 2010 г., Уильям Ф. Тренч, 3.5 «Более продвинутый взгляд на существование собственного интеграла Римана», стр. 171–177
9. Состояние Лебега, Джон Армстронг, 15 декабря 2009 г., The Unapologetic Mathematician
10. Условие интегрируемости контента Jordan, Джон Армстронг, 9 декабря 2009 г., The Unapologetic Mathematician
11. PlanetMath Volume
12. Каннингем, Фредерик младший (1967). «Принимая пределы под знаком интеграла». Математический журнал. 40: 179–186. Дои:10.2307/2688673.

Рекомендации

• Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л., 1978. Интеграл, мера и производная: единый подход, Ричард А. Сильверман, пер. Dover Publications. ISBN  0-486-63519-8.
• Апостол, Том (1974), Математический анализ, Эддисон-Уэсли

внешняя ссылка

• «Интеграл Римана», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]