Экспоненциально модифицированное распределение Гаусса - Exponentially modified Gaussian distribution

ЭМГ

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	μ ∈ р - среднее значение гауссовой составляющей σ^2 > 0 - дисперсия гауссовой составляющей λ > 0 - коэффициент экспоненциальной составляющей
Поддерживать	Икс ∈ р
PDF	${\displaystyle {\frac {\lambda }{2}}e^{{\frac {\lambda }{2}}(2\mu +\lambda \sigma ^{2}-2x)}\operatorname {erfc} \left({\frac {\mu +\lambda \sigma ^{2}-x}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)}$
CDF	${\displaystyle \Phi (u,0,v)-e^{-u+v^{2}/2+\log(\Phi (u,v^{2},v))}}$, куда ${\displaystyle \Phi (x,\mu ,\sigma )}$ - CDF гауссова распределения, ${\displaystyle u=\lambda (x-\mu )}$, ${\displaystyle v=\lambda \sigma }$
Иметь в виду	${\displaystyle \mu +1/\lambda }$
Режим	${\displaystyle x_{m}=\mu -\operatorname {sgn} \left(\tau \right){\sqrt {2}}\sigma \operatorname {erfcxinv} \left({\frac {{|}\tau {|}}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+{\frac {\sigma ^{2}}{\tau }}}$ ${\displaystyle f(x_{m})=h\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mu -x_{m}}{\sigma }}\right)^{2}\right)}$
Дисперсия	${\displaystyle \sigma ^{2}+1/\lambda ^{2}}$
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {2}{\sigma ^{3}\lambda ^{3}}}\left(1+{\frac {1}{\sigma ^{2}\lambda ^{2}}}\right)^{-3/2}}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle {\frac {3(1+{\frac {2}{\sigma ^{2}\lambda ^{2}}}+{\frac {3}{\lambda ^{4}\sigma ^{4}}})}{\left(1+{\frac {1}{\lambda ^{2}\sigma ^{2}}}\right)^{2}}}-3}$
MGF	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}\,\exp \left(\mu t+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)}$
CF	${\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}\,\exp \left(i\mu t-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)}$

В теория вероятности, экспоненциально модифицированное гауссово распределение (ЭМГ, также известный как exGaussian распределение) описывает сумму независимых нормальный и экспоненциальный случайные переменные. Бывшая гауссовская случайная величина Z может быть выражено как Z = Икс + Y, куда Икс и Y независимы, Икс гауссово со средним μ и дисперсия σ², и Y экспоненциально от скорости λ. Он имеет характерный положительный перекос от экспоненциальной составляющей.

Его также можно рассматривать как взвешенную функцию сдвинутой экспоненты, причем вес является функцией нормального распределения.

Определение

В функция плотности вероятности (pdf) экспоненциально измененного нормальное распределение является^[1]

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ,\lambda )={\frac {\lambda }{2}}e^{{\frac {\lambda }{2}}(2\mu +\lambda \sigma ^{2}-2x)}\operatorname {erfc} \left({\frac {\mu +\lambda \sigma ^{2}-x}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}$

где erfc - это дополнительная функция ошибок определяется как

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&=1-\operatorname {erf} (x)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt.\end{aligned}}}$

Эта функция плотности выводится через свертка нормального и экспоненциальный функции плотности вероятности.

Альтернативные формы вычислений

Альтернативная, но эквивалентная форма распределения ЭМГ используется для описания формы пика в хроматография.^[2] Это выглядит следующим образом

${\displaystyle f(x;h,\mu ,\sigma ,\tau )={\frac {h\sigma }{\tau }}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\exp \left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\sigma }{\tau }}\right)^{2}-{\frac {x-\mu }{\tau }}\right)\operatorname {erfc} \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\ \left({\frac {\sigma }{\tau }}-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right),}$ (1)

куда

${\displaystyle h}$ - амплитуда гауссиана,

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}}$ - время релаксации экспоненты.

Эта функция не может быть вычислена для некоторых значений параметров (например, τ = 0) из-за арифметического переполнения. Альтернативная, но эквивалентная форма записи функции была предложена Делли:^[3]

${\displaystyle f(x;h,\mu ,\sigma ,\tau )=h\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right){\frac {\sigma }{\tau }}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {erfcx} \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\ \left({\frac {\sigma }{\tau }}-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right),}$ (2)

куда ${\displaystyle \operatorname {erfcx} t=\exp t^{2}\cdot \operatorname {erfc} t}$ это масштабированная дополнительная функция ошибок

В случае этой формулы также возможно арифметическое переполнение, область переполнения отличается от первой формулы, за исключением очень малого τ.

При малых τ целесообразно использовать асимптотику второй формулы:

${\displaystyle f(x;h,\mu ,\sigma ,\tau )={\frac {h\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)}{1+{\frac {\left(x-\mu \right)\tau }{\sigma ^{2}}}}},}$ (3)

Решение об использовании формулы принимается на основании параметра ${\displaystyle z={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {\sigma }{\tau }}-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$:

за z <0 должно быть выполнено вычисление^[2] по первой формуле,

для 0 ≤ z ≤ 6.71·10⁷ (в случае формат с плавающей запятой двойной точности ) по второй формуле,

и для z > 6.71·10⁷ по третьей формуле.

Режим (положение вершины, наиболее вероятное значение) вычисляется^[2] с использованием производной формулы 2; противоположность масштабированная дополнительная функция ошибок erfcxinv () используется для расчета. Приблизительные значения также предлагает Калембет.^[2] Хотя значение моды выше, чем у исходного гауссиана, вершина всегда находится на исходном (неизмененном) гауссиане.

Оценка параметров

Есть три параметра: иметь в виду нормального распределения (μ), стандартное отклонение нормального распределения (σ) и экспоненциальный спад параметр (τ = 1 / λ). Форма K = τ / σ также иногда используется для характеристики распределения. В зависимости от значений параметров распределение может иметь форму от почти нормальной до почти экспоненциальной.

Параметры распределения можно оценить по выборочным данным с помощью метод моментов следующее:^[4][5]

${\displaystyle m=\mu +\tau ,}$

${\displaystyle s^{2}=\sigma ^{2}+\tau ^{2},}$

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2\tau ^{3}}{(\sigma ^{2}+\tau ^{2})^{3/2}}},}$

куда м выборочное среднее, s - стандартное отклонение выборки, а γ₁ это перекос.

Решение этих параметров дает:

${\displaystyle {\hat {\mu }}=m-s\left({\frac {\gamma _{1}}{2}}\right)^{1/3},}$

${\displaystyle {\hat {\sigma ^{2}}}=s^{2}\left[1-\left({\frac {\gamma _{1}}{2}}\right)^{2/3}\right],}$

${\displaystyle {\hat {\tau }}=s\left({\frac {\gamma _{1}}{2}}\right)^{1/3}.}$

Рекомендации

Ратклифф предположил, что в выборке должно быть не менее 100 точек данных, прежде чем оценки параметров следует считать надежными.^[6] Винсент усреднение может использоваться с меньшими выборками, так как эта процедура лишь незначительно искажает форму распределения.^[7] Эти точечные оценки могут использоваться в качестве начальных значений, которые могут быть уточнены более мощными методами, включая максимальная вероятность.

Доверительные интервалы

В настоящее время нет опубликованных таблиц, доступных для тестирования значимости с этим распределением. Распределение может быть смоделировано путем формирования суммы двух случайных величин, одна из которых получена из нормального распределения, а другая - из экспоненты.

Перекос

Ценность непараметрический перекос

${\displaystyle {\frac {{\text{mean}}-{\text{median}}}{\text{standard deviation}}}}$

этого распределения лежит между 0 и 0,31.^[8][9] К нижнему пределу приближаются, когда преобладает нормальный компонент, и к верхнему, когда доминирует экспоненциальный компонент.

Вхождение

Распределение используется в качестве теоретической модели формы хроматографический пики.^[1][2][10] Это было предложено в качестве статистической модели перемежающееся время в делящихся клетках.^[11][12] Он также используется при моделировании кластерных ионных пучков.^[13] Он обычно используется в психологии и других науках о мозге для изучения времени реакции.^[14][15] В небольшом варианте, когда среднее значение Нормального компонента установлено на ноль, оно также используется в Стохастический пограничный анализ, как одна из спецификаций распределения для составного члена ошибки, моделирующего неэффективность. ^[16]

Связанные дистрибутивы

Это семейство дистрибутивов - частный или предельный случай нормально-экспоненциально-гамма-распределение. Это также можно рассматривать как трехпараметрическое обобщение нормального распределения для добавления перекоса; другой подобный дистрибутив - асимметричное нормальное распределение, у которого более тонкие хвосты. Распределение сложное распределение вероятностей в котором среднее значение нормальное распределение изменяется случайным образом как смещенный экспоненциальное распределение.

А Гауссов минус экспоненциальный распределение было предложено для моделирования цен опционов.^[17] Если такая случайная величина Y имеет параметры μ, σ, λ, то его отрицательный -Y имеет экспоненциально модифицированное гауссово распределение с параметрами -μ, σ, λ, и поэтому Y имеет в виду ${\displaystyle \mu -{\tfrac {1}{\lambda }}}$ и дисперсия ${\displaystyle \sigma ^{2}+{\tfrac {1}{\lambda ^{2}}}}$.

Рекомендации

1. Грушка, Эли (1972). «Характеристика экспоненциально модифицированных гауссовых пиков в хроматографии». Аналитическая химия. 44 (11): 1733–1738. Дои:10.1021 / ac60319a011. PMID  22324584.
2. Kalambet, Y .; Козьмин, Ю .; Михайлова, К .; Нагаев, И .; Тихонов, П. (2011). «Реконструкция хроматографических пиков с использованием экспоненциально модифицированной функции Гаусса». Журнал хемометрики. 25 (7): 352. Дои:10.1002 / cem.1343. S2CID  121781856.
3. Делли, Р. (1985). «Ряды для экспоненциально модифицированной формы гауссова пика». Анальный. Chem. 57: 388. Дои:10.1021 / ac00279a094.
4. Дайсон, Н.А. (1998). Методы хроматографической интеграции. Королевское химическое общество, информационные службы. п. 27. ISBN  9780854045105. Получено 2015-05-15.
5. Оливье Дж. И Норберг М. М. (2010) Положительно искаженные данные: пересмотр степенного преобразования Бокса-Кокса. Int. J. Psych. Res. 3 (1) 68-75.
6. Ратклифф, Р. (1979). «Распределение времени реакции группы и анализ статистики распределения». Psychol. Бык. 86 (3): 446–461. CiteSeerX  10.1.1.409.9863. Дои:10.1037/0033-2909.86.3.446. PMID  451109.
7. Винсент, С. Б. (1912). «Функции вибрисс в поведении белой крысы». Монографии по поведению животных. 1 (5): 7–81.
8. Хиткот, А (1996). «RTSYS: DOS-приложение для анализа данных о времени реакции». Методы, инструменты и компьютеры исследования поведения. 28 (3): 427–445. Дои:10.3758 / bf03200523.
9. Ulrich, R .; Миллер, Дж. (1994). «Влияние исключения выбросов на анализ времени реакции». J. Exp. Психология: Общие. 123: 34–80. Дои:10.1037/0096-3445.123.1.34.
10. Глэдни, HM; Дауден, Б.Ф .; Свален, JD (1969). «Компьютерная газожидкостная хроматография». Анальный. Chem. 41 (7): 883–888. Дои:10.1021 / ac60276a013.
11. Голубев, А. (2010). «Экспоненциально модифицированная гауссова (ЭМГ) актуальность для распределений, связанных с пролиферацией и дифференцировкой клеток». Журнал теоретической биологии. 262 (2): 257–266. Дои:10.1016 / j.jtbi.2009.10.005. PMID  19825376.
12. Тайсон, Д. Р .; Garbett, S.P .; Frick, P.L .; Каранта, В. (2012). «Фракционная пролиферация: метод деконволюции динамики популяции клеток из данных отдельных клеток». Природные методы. 9 (9): 923–928. Дои:10.1038 / nmeth.2138. ЧВК  3459330. PMID  22886092.
13. Nicolaescu, D .; Takaoka, G.H .; Исикава Дж. (2006). «Многопараметрическая характеристика пучков кластерных ионов». Журнал Vacuum Science & Technology B: Microelectronics and Nanometer Structures. 24 (5): 2236. Bibcode:2006JVSTB..24.2236N. Дои:10.1116/1.2335433.
14. Палмер, EM; Горовиц Тодд, S; Торральба, А; Вулф, JM (2011). «Каковы формы распределения времени отклика при визуальном поиске?». J Exp Psychol. 37 (1): 58–71. Дои:10.1037 / a0020747. ЧВК  3062635. PMID  21090905.
15. Рорер, D; Wixted, JT (1994). «Анализ задержки и времени между ответами при свободном отзыве». Память и познание. 22 (5): 511–524. Дои:10.3758 / BF03198390. PMID  7968547.
16. Ловелл, Нокс Калифорния; С.С. Кумбхакар (2000). Стохастический пограничный анализ. Издательство Кембриджского университета. С. 80–82.
17. Питер Карр и Дилип Б. Мадан, Методы перевала для ценообразования опционов, Журнал вычислительных финансов (49–61), том 13 / номер 1, осень 2009 г.