Гексагональные черепичные соты Order-4 - Order-4 hexagonal tiling honeycomb

Гексагональные черепичные соты Order-4
Перспективная проекция Посмотреть в Модель диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические обычные соты Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	{6,3,4} {6,3^1,1} т0,1{(3,6)^2}
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔
Клетки	{6,3}
Лица	шестиугольник {6}
Край фигура	квадрат {4}
Фигура вершины	октаэдр
Двойной	Заказать-6 соты куб.
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {BV}}_{3}}$, [4,3,6] ${\displaystyle {\overline {DV}}_{3}}$, [6,3^1,1] ${\displaystyle {\widehat {VV}}_{3}}$, [(6,3)^[2]]
Характеристики	Обычный, квазирегулярный

В области гиперболическая геометрия, то гексагональные черепичные соты порядка 4 возникает как один из 11 обычные паракомпактные соты в 3-х мерном гиперболическое пространство. это паракомпакт поскольку она имеет клетки состоит из бесконечного числа лиц. Каждая ячейка - это шестиугольная черепица чьи вершины лежат на горосфера: плоская плоскость в гиперболическом пространстве, которая приближается к одной идеальная точка на бесконечности.

А геометрические соты это заполнение пространства из многогранник или многомерный клетки, чтобы не было зазоров. Это пример более общего математического черепица или же мозаика в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся из обычных Евклидово ("плоское") пространство, как и выпуклые однородные соты. Они также могут быть построены в неевклидовы пространства, Такие как гиперболические однородные соты. Любой конечный равномерный многогранник можно спроецировать на его окружающая сфера образовывать однородные соты в сферическом пространстве.

В Символ Шлефли шестиугольной черепичной сотовой конструкции порядка 4 составляет {6,3,4}. Так как шестиугольная черепица равно {6,3}, у этой соты есть четыре таких шестиугольных мозаики, пересекающихся на каждом краю. Поскольку символ Шлефли октаэдр равно {3,4}, фигура вершины этой соты - октаэдр. Таким образом, восемь шестиугольных мозаик пересекаются в каждой вершине этой соты, а шесть ребер, пересекающихся в каждой вершине, лежат вдоль трех ортогональных осей.^[1]

Изображений

Перспективная проекция	Одна ячейка, если смотреть снаружи сферы Пуанкаре
Вершины а т {(3, ∞, 3)}, мозаика существует как 2-гиперцикл в этой соте	Соты аналогичны H^2 апейрогональная мозаика порядка 4, {∞, 4}, показаны здесь одним зеленым апейрогон изложенный в орицикл

Симметрия

Отношения подгруппы

Гексагональные мозаичные соты четвертого порядка имеют три отражающие конструкции симплексной симметрии.

Равномерная конструкция полусимметрии {6,3^1,1} имеет два типа (цвета) шестиугольных мозаик, причем Диаграмма Кокстера ↔ . Также существует конструкция с четвертью симметрии с четырьмя цветами шестиугольных мозаик: .

Существуют две дополнительные отражающие симметрии с непростыми фундаментальными областями: [6,3^*, 4], что является индексом 6, с Диаграмма Кокстера ; и [6, (3,4)^*], который является индексом 48. Последний имеет кубический фундаментальная область и восьмигранный Диаграмма Кокстера с тремя осевыми бесконечными ветвями: . Можно увидеть, что для окрашивания шестиугольных плиток соты используются восемь цветов.

Гексагональные черепичные соты порядка 4 содержат , какая плитка 2-гиперцикл поверхности и похожи на усеченная треугольная мозаика бесконечного порядка, :

Связанные многогранники и соты

Гексагональные черепичные соты порядка 4 представляют собой обычные гиперболические соты в 3-м пространстве и один из 11 паракомпактных.

11 паракомпактных обычных сот
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Есть пятнадцать однородных сот в [6,3,4] Группа Кокстера семья, включая эту регулярную форму, и ее двойной, то порядка-6 кубических сот.

[6,3,4] семейные соты
{6,3,4}	г {6,3,4}	т {6,3,4}	рр {6,3,4}	т0,3{6,3,4}	tr {6,3,4}	т0,1,3{6,3,4}	т0,1,2,3{6,3,4}
{4,3,6}	г {4,3,6}	т {4,3,6}	рр {4,3,6}	2т {4,3,6}	tr {4,3,6}	т0,1,3{4,3,6}	т0,1,2,3{4,3,6}

Гексагональные черепичные соты порядка 4 имеют связанные чередовались соты ↔ , с треугольная черепица и октаэдр клетки.

Это часть последовательности регулярных сот формы {6,3, p}, каждая из которых состоит из шестиугольная черепица клетки:

{6,3, п} соты [ v т е ]
Космос	ЧАС^3
Форма	Паракомпакт				Некомпактный
Имя	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	... {6,3,∞}
Coxeter
Изображение
Вершина фигура {3, п}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Эти соты также относятся к 16 ячеек, кубические соты и додекаэдрические соты порядка 4, все из которых имеют восьмигранные вершины.

{p, 3,4} обычные соты
Космос	S^3	E^3	ЧАС^3
Форма	Конечный	Аффинный	Компактный	Паракомпакт	Некомпактный
Имя	{3,3,4}	{4,3,4}	{5,3,4}	{6,3,4}	{7,3,4}	{8,3,4}	... {∞,3,4}
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Вышеупомянутые соты также квазирегулярны:

Обычные и квазирегулярные соты: {p, 3,4} и {p, 3^1,1}
Космос	Евклидово 4-мерное пространство	Евклидово 3-пространство	Гиперболическое 3-пространство
Имя	{3,3,4} {3,3^1,1} = ${\displaystyle \left\{3,{3 \atop 3}\right\}}$	{4,3,4} {4,3^1,1} = ${\displaystyle \left\{4,{3 \atop 3}\right\}}$	{5,3,4} {5,3^1,1} = ${\displaystyle \left\{5,{3 \atop 3}\right\}}$	{6,3,4} {6,3^1,1} = ${\displaystyle \left\{6,{3 \atop 3}\right\}}$
Coxeter диаграмма	=	=	=	=
Изображение
Клетки {p, 3}

Ректифицированная гексагональная черепица порядка 4 соты

Ректифицированные гексагональные черепичные соты порядка 4
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	r {6,3,4} или t1{6,3,4}
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔
Клетки	{3,4} г {6,3}
Лица	треугольник {3} шестиугольник {6}
Фигура вершины	квадратная призма
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {BV}}_{3}}$, [4,3,6] ${\displaystyle {\overline {BP}}_{3}}$, [4,3^[3]] ${\displaystyle {\overline {DV}}_{3}}$, [6,3^1,1] ${\displaystyle {\overline {DP}}_{3}}$, [3^[]×[]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберный транзитивный

В выпрямленные гексагональные черепичные соты порядка 4, т₁{6,3,4}, имеет восьмигранный и трехгексагональная черепица грани, с квадратная призма вершина фигуры.

Он похож на двумерный гиперболический тетраапейрогональная черепица, г {∞, 4}, в котором чередуются апейрогональные и квадратные грани:

Усеченный гексагональный черепичный сотовый заполнитель порядка 4

Усеченный гексагональный черепичный сотовый заполнитель порядка 4
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т {6,3,4} или т0,1{6,3,4}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	{3,4} т {6,3}
Лица	треугольник {3} двенадцатигранник {12}
Фигура вершины	квадратная пирамида
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {BV}}_{3}}$, [4,3,6] ${\displaystyle {\overline {DV}}_{3}}$, [6,3^1,1]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В усеченные гексагональные черепичные соты порядка 4, т_0,1{6,3,4}, имеет октаэдр и усеченная шестиугольная мозаика грани, с квадратная пирамида вершина фигуры.

Он похож на двумерный гиперболический усеченная апейрогональная мозаика порядка 4, t {∞, 4}, с апейрогональным и квадратным гранями:

Гексагональные черепичные соты с усеченной бородкой порядка 4

Гексагональные черепичные соты с усеченной бородкой порядка 4
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	2 т {6,3,4} или т1,2{6,3,4}
Диаграмма Кокстера	↔ ↔ ↔
Клетки	т {4,3} т {3,6}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6}
Фигура вершины	дигональный дисфеноид
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {BV}}_{3}}$, [4,3,6] ${\displaystyle {\overline {BP}}_{3}}$, [4,3^[3]] ${\displaystyle {\overline {DV}}_{3}}$, [6,3^1,1] ${\displaystyle {\overline {DP}}_{3}}$, [3^[]×[]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В усеченные гексагональные сотовые соты порядка 4, т_1,2{6,3,4}, имеет усеченный октаэдр и шестиугольная черепица ячейки, с дигональный дисфеноид вершина фигуры.

Гексагональные черепичные соты Cantellated порядка 4

Гексагональные черепичные соты Cantellated порядка 4
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	rr {6,3,4} или t0,2{6,3,4}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	г {3,4} {} x {4} рр {6,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6}
Фигура вершины	клин
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {BV}}_{3}}$, [4,3,6] ${\displaystyle {\overline {DV}}_{3}}$, [6,3^1,1]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В скошенные гексагональные черепичные соты порядка 4, т_0,2{6,3,4}, имеет кубооктаэдр, куб, и ромбитогексагональная черепица ячейки, с клин вершина фигуры.

Гексагональные черепичные соты гексагональной формы 4-го порядка

Гексагональные черепичные соты гексагональной формы 4-го порядка
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	tr {6,3,4} или t0,1,2{6,3,4}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	т {3,4} {} x {4} tr {6,3}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатигранник {12}
Фигура вершины	зеркальная клиновидная кость
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {BV}}_{3}}$, [4,3,6] ${\displaystyle {\overline {DV}}_{3}}$, [6,3^1,1]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В усеченные гексагональные черепичные соты порядка 4, т_0,1,2{6,3,4}, имеет усеченный октаэдр, куб, и усеченная трехгексагональная мозаика ячейки, с зеркальная клиновидная кость вершина фигуры.

Гексагональные черепичные соты Runcinated order-4

Гексагональные черепичные соты Runcinated order-4
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т0,3{6,3,4}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	{4,3} {} x {4} {6,3} {} x {6}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6}
Фигура вершины	нерегулярный треугольная антипризма
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {BV}}_{3}}$, [4,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В гексагональные черепичные соты runcinated order-4, т_0,3{6,3,4}, имеет куб, шестиугольная черепица и шестиугольная призма ячейки, с нерегулярным треугольная антипризма фигура вершины.

Он содержит двумерный гиперболический ромбайтегексагональная черепица, rr {4,6}, с квадратными и шестиугольными гранями. Тайлинг также имеет конструкцию полусимметрии .

	=

Гексагональные черепичные соты Runcitruncated порядка 4

Гексагональные черепичные соты Runcitruncated порядка 4
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т0,1,3{6,3,4}
Диаграмма Кокстера
Клетки	рр {3,4} {} x {4} {} x {12} т {6,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} двенадцатигранник {12}
Фигура вершины	равнобедренно-трапециевидный пирамида
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {BV}}_{3}}$, [4,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В усеченная гексагональная черепица порядка 4 соты, т_0,1,3{6,3,4}, имеет ромбокубооктаэдр, куб, двенадцатигранная призма, и усеченная шестиугольная мозаика ячеек, с равнобедренно-трапециевидный пирамида вершина фигуры.

Гексагональные черепичные соты с гексагональной мозаикой порядка 4-го порядка

В гексагональные черепичные соты с гексагональной черепицей такой же, как усеченный порядок-6 кубических сот.

Многослойные гексагональные черепичные соты порядка 4

Многослойные гексагональные черепичные соты порядка 4
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т0,1,2,3{6,3,4}
Диаграмма Кокстера
Клетки	tr {4,3} tr {6,3} {} x {12} {} x {8}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6} восьмиугольник {8} двенадцатигранник {12}
Фигура вершины	нерегулярный тетраэдр
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {BV}}_{3}}$, [4,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В многослойные гексагональные черепичные соты порядка 4, т_0,1,2,3{6,3,4}, имеет усеченный кубооктаэдр, усеченная трехгексагональная мозаика, двенадцатигранная призма, и восьмиугольная призма ячейки, с нерегулярным тетраэдр вершина фигуры.

Гексагональные черепичные соты альтернативного порядка-4

Гексагональные черепичные соты альтернативного порядка-4
Тип	Паракомпактные однородные соты Полуправильные соты
Символы Шлефли	ч {6,3,4}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	{3^[3]} {3,4}
Лица	треугольник {3}
Фигура вершины	усеченный октаэдр
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {BP}}_{3}}$, [4,3^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный, квазирегулярный

В гексагональные черепичные соты с чередованием порядка 4, ↔ , состоит из треугольная черепица и октаэдр клетки, в усеченный октаэдр фигура вершины.

Cantic order-4 гексагональные черепичные соты

Cantic order-4 гексагональные черепичные соты
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	час2{6,3,4}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	час2{6,3} т {3,4} г {3,4}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6}
Фигура вершины	клин
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {BP}}_{3}}$, [4,3^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В cantic order-4 гексагональные черепичные соты, ↔ , состоит из трехгексагональная черепица, усеченный октаэдр, и кубооктаэдр ячейки, с клин фигура вершины.

Гексагональная черепица runcic order-4 с сотами

Гексагональная черепица runcic order-4 с сотами
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	час3{6,3,4}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	{3^[3]} р-р {3,4} {4,3} {} x {3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Фигура вершины	треугольный купол
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {BP}}_{3}}$, [4,3^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В гексагональная черепица runcic order-4 с сотовой структурой, ↔ , состоит из треугольная черепица, ромбокубооктаэдр, куб, и треугольная призма ячейки, с треугольный купол вершина фигуры.

Гексагональные черепичные соты runcicantic order-4

Гексагональные черепичные соты runcicantic order-4
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	час2,3{6,3,4}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	час2{6,3} tr {3,4} т {4,3} {} x {3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} восьмиугольник {8}
Фигура вершины	прямоугольный пирамида
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {BP}}_{3}}$, [4,3^[3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В гексагональные черепичные соты runcicantic order-4, ↔ , состоит из трехгексагональная черепица, усеченный кубооктаэдр, усеченный куб, и треугольная призма ячейки, с прямоугольный пирамида вершина фигуры.

Четверть-четыре шестиугольных черепичных сотовых

Четверть порядка-4 гексагональные черепичные соты
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	q {6,3,4}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	{3^[3]} {3,3} т {3,3} час2{6,3}
Лица	треугольник {3} шестиугольник {6}
Фигура вершины	треугольный купол
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {DP}}_{3}}$, [3^[]Икс[]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В четверть порядка-4 гексагональной черепичной сотовой конструкции, q {6,3,4}, или же , состоит из треугольная черепица, трехгексагональная черепица, тетраэдр, и усеченный тетраэдр ячейки, с треугольный купол фигура вершины.

Смотрите также

• Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
• Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
• Паракомпактные однородные соты

Рекомендации

1. Coxeter Красота геометрии, 1999, Глава 10, Таблица III

• Coxeter, Правильные многогранники, 3-й. изд., Dover Publications, 1973. ISBN  0-486-61480-8. (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
• Красота геометрии: двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN  99-35678, ISBN  0-486-40919-8 (Глава 10, Регулярные соты в гиперболическом пространстве ) Таблица III
• Джеффри Р. Уикс Форма космоса, 2-е издание ISBN  0-8247-0709-5 (Глава 16-17: Геометрии на трехмерных многообразиях I, II)
• Норман Джонсон Равномерные многогранники, Рукопись
  • N.W. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот, Кандидат наук. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
  • N.W. Джонсон: Геометрии и преобразования, (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера