Шестигранный черепичный сотовый заполнитель Order-6 - Order-6 hexagonal tiling honeycomb

Шестигранный черепичный сотовый заполнитель Order-6
Перспективная проекция Посмотреть из центра Модель диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические обычные соты Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	{6,3,6} {6,3^[3]}
Диаграмма Кокстера	↔ ↔
Клетки	{6,3}
Лица	шестиугольник {6}
Край фигура	шестиугольник {6}
Фигура вершины	{3,6} или {3^[3]}
Двойной	Самодвойственный
Группа Кокстера	${\displaystyle {\overline {Z}}_{3}}$, [6,3,6] ${\displaystyle {\overline {VP}}_{3}}$, [6,3^[3]]
Свойства	Обычный, квазирегулярный

В области гиперболическая геометрия, то гексагональные черепичные соты порядка 6 один из 11 обычные паракомпактные соты в 3-х мерном гиперболическое пространство. это паракомпакт поскольку она имеет клетки с бесконечным количеством граней. Каждая ячейка - это шестиугольная черепица вершины которого лежат на горосфера: плоская плоскость в гиперболическом пространстве, которая приближается к одной идеальная точка на бесконечности.

В Символ Шлефли шестиугольной черепичной сотовой конструкции составляет {6,3,6}. Так как шестиугольная черепица плоскости {6,3}, эта сотовая структура имеет шесть таких шестиугольных мозаик, пересекающихся на каждом краю. Поскольку символ Шлефли треугольная черепица равно {3,6}, вершина фигуры Эти соты представляют собой треугольную плитку. Таким образом, бесконечное количество шестиугольных мозаик пересекаются в каждой вершине этой соты.^[1]

А геометрические соты это заполнение пространства из многогранник или многомерный клетки, чтобы не было зазоров. Это пример более общего математического черепица или мозаика в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся из обычных Евклидово ("плоское") пространство, как и выпуклые однородные соты. Они также могут быть построены в неевклидовы пространства, такие как гиперболические однородные соты. Любой конечный равномерный многогранник можно спроецировать на его окружающая сфера образовывать однородные соты в сферическом пространстве.

Связанные мозаики

Гексагональные мозаичные соты порядка 6 аналогичны двумерным гиперболическим сотам. апейрогональная мозаика бесконечного порядка, {∞, ∞}, с бесконечным апейрогональный грани и со всеми вершинами на идеальной поверхности.

Это содержит и эта плитка 2-гиперцикл поверхности, похожие на паракомпактные мозаики и (в усеченная треугольная мозаика бесконечного порядка и апейрогональная мозаика порядка 3, соответственно):

Симметрия

Отношения подгруппы:
↔

Гексагональные мозаичные соты порядка 6 имеют конструкцию полусимметрии: .

Он также имеет подгруппу индекса-6, [6,3^*, 6], с не симплексной фундаментальной областью. Эта подгруппа соответствует Диаграмма Кокстера с шестью ветвями третьего порядка и тремя ветвями бесконечного порядка в форме треугольной призмы: .

Связанные многогранники и соты

Гексагональные черепичные соты порядка 6 представляют собой обычные гиперболические соты в 3-м пространстве и одна из одиннадцати паракомпактных сот в 3-м пространстве.

11 паракомпактных обычных сот
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Есть девять однородных сот в [6,3,6] Группа Кокстера семья, включая эту обычную форму.

[6,3,6] семейные соты

{6,3,6}	г {6,3,6}	т {6,3,6}	рр {6,3,6}	т0,3{6,3,6}	2т {6,3,6}	tr {6,3,6}	т0,1,3{6,3,6}	т0,1,2,3{6,3,6}

У этой соты есть родственная чередовались соты, треугольная черепичная сотовая конструкция, но с более низкой симметрией: ↔ .

Гексагональные мозаичные соты порядка 6 являются частью последовательности регулярных полихора и соты с треугольная черепица фигуры вершин:

Гиперболические однородные соты: {p, 3,6}

Форма	Паракомпакт				Некомпактный
имя	{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{6,3,6}	{7,3,6}	{8,3,6}	... {∞,3,6}
Образ
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Это также часть последовательности регулярных полихора и соты с шестиугольная черепица клетки:

{6,3, п} соты [ v т е ]
Космос	ЧАС^3
Форма	Паракомпакт				Некомпактный
имя	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	... {6,3,∞}
Coxeter
Образ
Вершина фигура {3, п}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Это также часть последовательности регулярных полихора и соты с обычными дельтаэдрический фигуры вершин:

{p, 3, p} обычные соты
Космос	S^3	Евклидово E^3	ЧАС^3
Форма	Конечный	Аффинный	Компактный	Паракомпакт	Некомпактный
имя	{3,3,3}	{4,3,4}	{5,3,5}	{6,3,6}	{7,3,7}	{8,3,8}	...{∞,3,∞}
Образ
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}
Вершина фигура	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Ректифицированная гексагональная черепица порядка 6 сот

Ректифицированная гексагональная черепица порядка 6 сот
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	г {6,3,6} или т1{6,3,6}
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔ ↔
Клетки	{3,6} г {6,3}
Лица	треугольник {3} шестиугольник {6}
Фигура вершины	шестиугольная призма
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {Z}}_{3}}$, [6,3,6] ${\displaystyle {\overline {VP}}_{3}}$, [6,3^[3]] ${\displaystyle {\overline {PP}}_{3}}$, [3^[3,3]]
Свойства	Вершинно-транзитивный, реберный транзитивный

В выпрямленные гексагональные черепичные соты порядка 6, т₁{6,3,6}, имеет треугольная черепица и трехгексагональная черепица грани, с шестиугольная призма вершина фигуры.

это также можно рассматривать как гексагональные черепичные соты четверти порядка 6, q {6,3,6}, ↔ .

Это аналог 2D гиперболического апейрогональная мозаика порядка 4, r {∞, ∞} с бесконечным апейрогональный грани и со всеми вершинами на идеальной поверхности.

Связанные соты

Гексагональные черепичные соты порядка 6 являются частью серии сот с шестиугольная призма фигуры вершин:

г {р, 3,6}

[

• v
• т
• е

]

Космос	ЧАС^3
Форма	Паракомпакт				Некомпактный
имя	г {3,3,6}	г {4,3,6}	г {5,3,6}	г {6,3,6}	г {7,3,6}	... г {∞, 3,6}
Образ
Клетки {3,6}	г {3,3}	г {4,3}	г {5,3}	г {6,3}	г {7,3}	г {∞, 3}

Он также является частью матрицы трехмерных четвертных сот: q {2p, 4,2q}

Евклидово/ гиперболический (паракомпакт/некомпактный) четверть сот q {p, 3, q}
р д	4	6	8	... ∞
4	q {4,3,4} ↔ ↔	q {4,3,6} ↔ ↔	q {4,3,8} ↔	д {4,3, ∞} ↔
6	q {6,3,4} ↔ ↔	q {6,3,6} ↔	q {6,3,8} ↔	д {6,3, ∞} ↔
8	q {8,3,4} ↔	q {8,3,6} ↔	q {8,3,8} ↔	д {8,3, ∞} ↔
... ∞	q {∞, 3,4} ↔	д {∞, 3,6} ↔	д {∞, 3,8} ↔	q {∞, 3, ∞} ↔

Усеченный шестиугольный черепичный сотовый заполнитель порядка 6

Усеченный шестиугольный черепичный сотовый заполнитель порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т {6,3,6} или т0,1{6,3,6}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	{3,6} т {6,3}
Лица	треугольник {3} двенадцатигранник {12}
Фигура вершины	шестиугольная пирамида
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {Z}}_{3}}$, [6,3,6] ${\displaystyle {\overline {VP}}_{3}}$, [6,3^[3]]
Свойства	Вершинно-транзитивный

В усеченный шестиугольный черепичный сотовый заполнитель порядка 6, т_0,1{6,3,6}, имеет треугольная черепица и усеченная шестиугольная мозаика грани, с шестиугольная пирамида вершина фигуры.^[2]

Шестигранные черепичные соты с усеченной бородкой порядка 6

Шестигранные черепичные соты с усеченной бородкой порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	bt {6,3,6} или t1,2{6,3,6}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	т {3,6}
Лица	шестиугольник {6}
Фигура вершины	тетраэдр
Группы Кокстера	${\displaystyle 2\times {\overline {Z}}_{3}}$, [[6,3,6]] ${\displaystyle {\overline {VP}}_{3}}$, [6,3^[3]] ${\displaystyle {\overline {V}}_{3}}$, [3,3,6]
Свойства	Обычный

В усеченная шестиугольная черепичная сотовая структура порядка 6 является конструкцией нижней симметрии регулярного шестиугольная черепичная сотовая конструкция, ↔ . Это содержит шестиугольная черепица грани, с тетраэдр вершина фигуры.

Гексагональные черепичные соты Cantellated порядка 6

Гексагональные черепичные соты Cantellated порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	rr {6,3,6} или t0,2{6,3,6}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	г {3,6} рр {6,3} {} x {6}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6}
Фигура вершины	клин
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {Z}}_{3}}$, [6,3,6] ${\displaystyle {\overline {VP}}_{3}}$, [6,3^[3]]
Свойства	Вершинно-транзитивный

В гексагональные черепичные соты со скошенными краями порядка 6, т_0,2{6,3,6}, имеет трехгексагональная черепица, ромбитогексагональная черепица, и шестиугольная призма ячейки, с клин вершина фигуры.

Гексагональные черепичные соты с усеченными формами порядка 6

Гексагональные черепичные соты с усеченными формами порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	tr {6,3,6} или t0,1,2{6,3,6}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	tr {3,6} т {3,6} {} x {6}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатигранник {12}
Фигура вершины	зеркальная клиновидная кость
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {Z}}_{3}}$, [6,3,6] ${\displaystyle {\overline {VP}}_{3}}$, [6,3^[3]]
Свойства	Вершинно-транзитивный

В усеченные гексагональные черепичные соты порядка 6, т_0,1,2{6,3,6}, имеет шестиугольная черепица, усеченная трехгексагональная мозаика, и шестиугольная призма ячейки, с зеркальная клиновидная кость вершина фигуры.

Гексагональные черепичные соты Runcinated order-6

Гексагональные черепичные соты Runcinated order-6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т0,3{6,3,6}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	{6,3} {}×{6}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6}
Фигура вершины	треугольная антипризма
Группы Кокстера	${\displaystyle 2\times {\overline {Z}}_{3}}$, [[6,3,6]]
Свойства	Вершинно-транзитивный, реберный транзитивный

В шестиугольная черепица runcinated order-6 с сотовой структурой, т_0,3{6,3,6}, имеет шестиугольная черепица и шестиугольная призма ячейки, с треугольная антипризма вершина фигуры.

Это аналог 2D гиперболического ромбогексагональная черепица, rr {6,6}, с квадратными и шестиугольными гранями:

Гексагональные черепичные соты Runcitruncated порядка 6

Гексагональные черепичные соты Runcitruncated порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т0,1,3{6,3,6}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т {6,3} рр {6,3} {} x {6} {} x {12}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатигранник {12}
Фигура вершины	равнобедренно-трапециевидный пирамида
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {Z}}_{3}}$, [6,3,6]
Свойства	Вершинно-транзитивный

В усеченный шестиугольный черепичный сотовый заполнитель порядка 6, т_0,1,3{6,3,6}, имеет усеченная шестиугольная мозаика, ромбитогексагональная черепица, шестиугольная призма, и двенадцатигранная призма ячейки, с равнобедренно-трапециевидный пирамида вершина фигуры.

Гексагональные черепичные соты омнитусеченного типа порядка 6

Гексагональные черепичные соты омнитусеченного типа порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т0,1,2,3{6,3,6}
Диаграмма Кокстера
Клетки	tr {6,3} {} x {12}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатигранник {12}
Фигура вершины	филлический дисфеноид
Группы Кокстера	${\displaystyle 2\times {\overline {Z}}_{3}}$, [[6,3,6]]
Свойства	Вершинно-транзитивный

В многослойные гексагональные мозаичные соты порядка 6, т_0,1,2,3{6,3,6}, имеет усеченная трехгексагональная мозаика и двенадцатигранная призма ячейки, с филлический дисфеноид вершина фигуры.

Шестигранная черепица с чередованием порядка 6

Шестигранная черепица с чередованием порядка 6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	ч {6,3,6}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	{3,6} {3^[3]}
Лица	треугольник {3}
Фигура вершины	шестиугольная черепица
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {VP}}_{3}}$, [6,3^[3]]
Свойства	Обычный, квазирегулярный

В гексагональные черепичные соты с чередованием порядка 6 является конструкцией более низкой симметрии регулярного треугольная черепичная сотовая конструкция, ↔ . Это содержит треугольная черепица грани в шестиугольная черепица вершина фигуры.

Гексагональные черепичные соты cantic order-6

Гексагональные черепичные соты cantic order-6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	час2{6,3,6}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	т {3,6} г {6,3} час2{6,3}
Лица	треугольник {3} шестиугольник {6}
Фигура вершины	треугольная призма
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {VP}}_{3}}$, [6,3^[3]]
Свойства	Вершинно-транзитивный, реберный транзитивный

В cantic order-6 шестиугольная черепичная сотовая конструкция является конструкцией более низкой симметрии ректифицированные треугольные черепичные соты, ↔ , с участием трехгексагональная черепица и шестиугольная черепица грани в треугольная призма вершина фигуры.

Гексагональная черепица runcic order-6 с сотовой структурой

Гексагональная черепица runcic order-6 с сотовой структурой
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	час3{6,3,6}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	р-р {3,6} {6,3} {3^[3]} {3} x {}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6}
Фигура вершины	треугольный купол
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {VP}}_{3}}$, [6,3^[3]]
Свойства	Вершинно-транзитивный

В сотовый заполнитель с шестиугольной черепицей, ч₃{6,3,6}, , или , имеет шестиугольная черепица, ромбитогексагональная черепица, треугольная черепица, и треугольная призма грани, с треугольный купол вершина фигуры.

Гексагональные черепичные соты рунического ордена-6

Гексагональные черепичные соты runcicantic order-6
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	час2,3{6,3,6}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	tr {6,3} т {6,3} час2{6,3} {} x {3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатигранник {12}
Фигура вершины	прямоугольный пирамида
Группы Кокстера	${\displaystyle {\overline {VP}}_{3}}$, [6,3^[3]]
Свойства	Вершинно-транзитивный

В runcicantic order-6 гексагональные черепичные соты, ч_2,3{6,3,6}, , или , содержит усеченная трехгексагональная мозаика, усеченная шестиугольная мозаика, трехгексагональная черепица, и треугольная призма граней, с прямоугольным пирамида вершина фигуры.

Смотрите также

• Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
• Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
• Паракомпактные однородные соты

использованная литература

1. Coxeter Красота геометрии, 1999, Глава 10, Таблица III
2. Twitter Вращение вокруг 3-кратной оси

• Coxeter, Правильные многогранники, 3-й. изд., Dover Publications, 1973. ISBN  0-486-61480-8. (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
• Красота геометрии: двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN  99-35678, ISBN  0-486-40919-8 (Глава 10, Регулярные соты в гиперболическом пространстве ) Таблица III
• Джеффри Р. Уикс Форма космоса, 2-е издание ISBN  0-8247-0709-5 (Глава 16-17: Геометрии на трехмерных многообразиях I, II)
• Норман Джонсон Равномерные многогранники, Рукопись
  • N.W. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот, Кандидат наук. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
  • N.W. Джонсон: Геометрии и преобразования, (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера