Список однородных многогранников по символу Wythoff - List of uniform polyhedra by Wythoff symbol

Многогранник
Учебный класс	Количество и свойства
Платоновы тела	(5, выпуклый, правильный)
Архимедовы тела	(13, выпуклый, равномерный)
Многогранники Кеплера – Пуансо	(4, правильная, невыпуклая)
Равномерные многогранники	(75, униформа)
Призматоид: призмы, антипризмы и Т. Д.	(4 бесконечные однородные классы)
Многогранники мозаики	(11 обычных, в плоскости)
Квазиправильные многогранники	(8)
Твердые тела Джонсона	(92, выпуклая, неравномерная)
Пирамиды и Бипирамиды	(бесконечный)
Звёздчатые	Звёздчатые
Многогранные соединения	(5 обычных)
Дельтаэдра	(Дельтаэдра, равносторонние треугольные грани)
Курносые многогранники	(12 униформа, а не зеркальное отображение)
Зоноэдр	(Зоноэдры, грани имеют симметрию 180 °)
Двойной многогранник
Самодвойственный многогранник	(бесконечный)
Каталонский твердый	(13, Архимедово дуальное)

Между равномерные многогранники.

Здесь они сгруппированы по Символ Wythoff.

Ключ

Изображение Имя Имя питомца Bowers V Количество вершин, E Количество ребер, F Количество граней = Конфигурация граней ?= Эйлерова характеристика, группа = группа симметрии Символ Wythoff - фигура вершины W - число Веннингера, U - унифицированное число, K - число Калейдо, C - число Кокстера альтернативное имя второе альтернативное имя

Обычный

Все грани идентичны, все ребра идентичны и каждая вершина идентична. Все они имеют символ Wythoff вида p | q 2.

Выпуклый

Платоновы тела.

Тетраэдр Тет V 4, E 6, F 4 = 4 {3} χ= 2, группа =Тd, А3, [3,3], (*332) 3 | 2 3 | 2 2 2 - 3.3.3 W1, U01, K06, C15

Октаэдр Октябрь V 6, E 12, F 8 = 8 {3} χ= 2, группа =Очас, ДО Н.Э3, [4,3], (*432) 4 | 2 3 - 3.3.3.3 W2, U05, K10, C17

Шестигранник Куб V 8, E 12, F 6 = 6 {4} χ= 2, группа =Очас, B3, [4,3], (*432) 3 | 2 4 - 4.4.4 W3, U06, K11, C18

Икосаэдр Айк V 12, E 30, F 20 = 20 {3} χ= 2, группа =ячас, H3, [5,3], (*532) 5 | 2 3 - 3.3.3.3.3 W4, U22, K27, C25

Додекаэдр Доу V 20, E 30, F 12 = 12 {5} χ= 2, группа =ячас, H3, [5,3], (*532) 3 | 2 5 - 5.5.5 W5, U23, K28, C26

Невыпуклый

Тела Кеплера-Пуансо.

Большой икосаэдр Gike V 12, E 30, F 20 = 20 {3} χ= 2, группа =ячас, H3, [5,3], (*532) ​^5⁄2 | 2 3 - (3^5)/2 W41, U53, K58, C69

Большой додекаэдр Гад V 12, E 30, F 12 = 12 {5} χ= -6, группа =ячас, H3, [5,3], (*532) ​^5⁄2 | 2 5 - (5^5)/2 W21, U35, K40, C44

Малый звездчатый додекаэдр Сиссид V 12, E 30, F 12 = 12 5 χ= -6, группа =ячас, H3, [5,3], (*532) 5 | 2 ​^5⁄2 - (​^5⁄2)^5 W20, U34, K39, C43

Большой звездчатый додекаэдр Гиссид V 20, E 30, F 12 = 12 5 χ= 2, группа =ячас, H3, [5,3], (*532) 3 | 2 ​^5⁄2 - (​^5⁄2)^3 W22, U52, K57, C68

Квазирегулярный

Все ребра идентичны и каждая вершина идентична. Есть два типа граней, которые попеременно появляются вокруг каждой вершины. полурегулярный с 4 гранями вокруг каждой вершины. У них есть символ Уайтхоффа 2 | p q. Вторая строка - это дитригональный с 6 гранями вокруг каждой вершины. У них есть символ Wythoff 3 | p q или ³/₂| p q.

Кубооктаэдр Co V 12, E 24, F 14 = 8 {3} +6 {4} χ= 2, группа =Очас, B3, [4,3], (* 432), порядок 48 Тd, [3,3], (* 332), порядок 24 2 | 3 4 3 3 | 2 - 3.4.3.4 W11, U07, K12, C19	Икосододекаэдр Идентификатор V 30, E 60, F 32 = 20 {3} +12 {5} χ= 2, группа =ячас, H3, [5,3], (* 532), заказ 120 2 | 3 5 - 3.5.3.5 W12, U24, K29, C28	Большой икосододекаэдр Гид V 30, E 60, F 32 = 20 {3} +12 {5/2} χ= 2, группа = Iчас, [5,3], *532 2 | 3 5/2 2 | 3 5/3 2 | 3/2 5/2 2 | 3/2 5/3 - 3.5/2.3.5/2 W94, U54, K59, C70	Додекадодекаэдр Сделал V 30, E 60, F 24 = 12 {5} +12 {5/2} χ= −6, группа = Iчас, [5,3], *532 2 | 5 5/2 2 | 5 5/3 2 | 5/2 5/4 2 | 5/3 5/4 - 5.5/2.5.5/2 W73, U36, K41, C45
Малый дитригональный икосододекаэдр Сидтид V 20, E 60, F 32 = 20 {3} +12 {5/2} χ= −8, группа = Iчас, [5,3], *532 3 | 5/2 3 - (3.5/2)^3 W70, U30, K35, C39	Дитригональный додекадодекаэдр Дитдид V 20, E 60, F 24 = 12 {5} +12 {5/2} χ= −16, группа = Iчас, [5,3], *532 3 | 5/3 5 3/2 | 5 5/2 3/2 | 5/3 5/4 3 | 5/2 5/4 - (5.5/3)^3 W80, U41, K46, C53	Большой дитригональный икосододекаэдр Гидтид V 20, E 60, F 32 = 20 {3} +12 {5} χ= −8, группа = Iчас, [5,3], *532 3/2 | 3 5 3 | 3/2 5 3 | 3 5/4 3/2 | 3/2 5/4 - ((3.5)^3)/2 W87, U47, K52, C61

Wythoff p q | r

Усеченные регулярные формы

Каждую вершину окружают три грани, две из которых идентичны. Все они имеют символы Уайтхоффа 2 p | q, некоторые из них построены путем усечения правильных тел.

Усеченный тетраэдр Тут V 12, E 18, F 8 = 4 {3} +4 {6} χ= 2, группа =Тd, А3, [3,3], (* 332), порядок 24 2 3 | 3 - 3.6.6 W6, U02, K07, C16	Усеченный октаэдр Палец V 24, E 36, F 14 = 6 {4} +8 {6} χ= 2, группа =Очас, B3, [4,3], (* 432), порядок 48 Тчас, [3,3] и (* 332), порядок 24 2 4 | 3 3 3 2 | - 4.6.6 W7, U08, K13, C20	Усеченный куб Тик V 24, E 36, F 14 = 8 {3} +6 {8} χ= 2, группа =Очас, B3, [4,3], (* 432), порядок 48 2 3 | 4 - 3.8.8 W8, U09, K14, C21 Усеченный шестигранник	Усеченный икосаэдр Ti V 60, E 90, F 32 = 12 {5} +20 {6} χ= 2, группа =ячас, H3, [5,3], (* 532), заказ 120 2 5 | 3 - 5.6.6 W9, U25, K30, C27	Усеченный додекаэдр Tid V 60, E 90, F 32 = 20 {3} +12 {10} χ= 2, группа =ячас, H3, [5,3], (* 532), заказ 120 2 3 | 5 - 3.10.10 W10, U26, K31, C29
Усеченный большой додекаэдр Тигид V 60, E 90, F 24 = 12 {5/2} +12 {10} χ= −6, группа = Iчас, [5,3], *532 2 5/2 | 5 2 5/3 | 5 - 10.10.5/2 W75, U37, K42, C47	Усеченный большой икосаэдр Тигги V 60, E 90, F 32 = 12 {5/2} +20 {6} χ= 2, группа = Iчас, [5,3], *532 2 5/2 | 3 2 5/3 | 3 - 6.6.5/2 W95, U55, K60, C71	Звездчатый усеченный шестигранник Quith V 24, E 36, F 14 = 8 {3} +6 {8/3} χ= 2, группа = Oчас, [4,3], *432 2 3 | 4/3 2 3/2 | 4/3 - 3.8/3.8/3 W92, U19, K24, C66 Квазиусеченный шестигранник, усеченный куб	Малый звездчатый усеченный додекаэдр Выйти из Sissid V 60, E 90, F 24 = 12 {5} +12 {10/3} χ= −6, группа = Iчас, [5,3], *532 2 5 | 5/3 2 5/4 | 5/3 - 5.10/3.10/3 W97, U58, K63, C74 Квазиусеченный малый звездчатый додекаэдрМалый звездчатоусеченный додекаэдр	Большой звездчатый усеченный додекаэдр Выйти из Gissid V 60, E 90, F 32 = 20 {3} +12 {10/3} χ= 2, группа = Iчас, [5,3], *532 2 3 | 5/3 - 3.10/3.10/3 W104, U66, K71, C83 Квазиусеченный большой звездчатый додекаэдр Большой звездчатоусеченный додекаэдр

Гемиполиэдры

Все гемиполиэдры имеют грани, проходящие через начало координат. Их символы Wythoff имеют вид p p / m | q или p / m p / n | q. За исключением тетрагемигексаэдра, они встречаются парами и тесно связаны с полурегулярными многогранниками, такими как кубооктоэдр.

Тетрагемигексаэдр Thah V 6, E 12, F 7 = 4 {3} +3 {4} χ= 1, группа = Td, [3,3], *332 3/2 3 | 2 (двойное покрытие) - 3.4.3 / 2.4 W67, U04, K09, C36	Октагемиоктаэдр Охо V 12, E 24, F 12 = 8 {3} +4 {6} χ= 0, группа = Oчас, [4,3], *432 3/2 3 | 3 - 3.6.3/2.6 W68, U03, K08, C37	Кубогемиоктаэдр Чо V 12, E 24, F 10 = 6 {4} +4 {6} χ= −2, группа = Oчас, [4,3], *432 4/3 4 | 3 (двойное покрытие) - 4.6.4 / 3.6 W78, U15, K20, C51	Малый икосигемидодекаэдр Сейхид V 30, E 60, F 26 = 20 {3} +6 {10} χ= −4, группа = Iчас, [5,3], *532 3/2 3 | 5 (двойное покрытие) - 3.10.3 / 2.10 W89, U49, K54, C63	Малый додекагемидодекаэдр Сидхид V 30, E 60, F 18 = 12 {5} +6 {10} χ= −12, группа = Iчас, [5,3], *532 5/4 5 | 5 - 5.10.5/4.10 W91, U51, K56, C65
Большой икосигемидодекаэдр Гейхид V 30, E 60, F 26 = 20 {3} +6 {10/3} χ= −4, группа = Iчас, [5,3], *532 3/2 3 | 5/3 - 3.10/3.3/2.10/3 W106, U71, K76, C85	Большой додекагемидодекаэдр Гидхид V 30, E 60, F 18 = 12 {5/2} +6 {10/3} χ= −12, группа = Iчас, [5,3], *532 5/3 5/2 | 5/3 (двойное покрытие) - 5 / 2.10 / 3.5 / 3.10 / 3 W107, U70, K75, C86	Большой додекагемикосаэдр Гидхей V 30, E 60, F 22 = 12 {5} +10 {6} χ= −8, группа = Iчас, [5,3], *532 5/4 5 | 3 (двойное покрытие) - 5,6,5 / 4,6 W102, U65, K70, C81	Малый додекагемикосаэдр Сидхей V 30, E 60, F 22 = 12 {5/2} +10 {6} χ= −8, группа = Iчас, [5,3], *532 5/3 5/2 | 3 (двойное покрытие) - 6.5 / 2.6.5 / 3 W100, U62, K67, C78

Ромбический квазирегулярный

Четыре грани вокруг вершины в шаблоне p.q.r.q. Название ромбическое происходит от вставки квадрата в кубооктаэдр и икосододекаэдр. Символ Wythoff имеет вид p q | r.

Ромбокубооктаэдр Sirco V 24, E 48, F 26 = 8 {3} + (6 + 12) {4} χ= 2, группа =Очас, B3, [4,3], (* 432), порядок 48 3 4 | 2 - 3.4.4.4 W13, U10, K15, C22 Ромбокубооктаэдр	Малый кубокубооктаэдр Socco V 24, E 48, F 20 = 8 {3} +6 {4} +6 {8} χ= −4, группа = Oчас, [4,3], *432 3/2 4 | 4 3 4/3 | 4 - 4.8.3/2.8 W69, U13, K18, C38	Большой кубокубооктаэдр Gocco V 24, E 48, F 20 = 8 {3} +6 {4} +6 {8/3} χ= −4, группа = Oчас, [4,3], *432 3 4 | 4/3 4 3/2 | 4 - 3.8/3.4.8/3 W77, U14, K19, C50	Невыпуклый большой ромбокубооктаэдр Querco V 24, E 48, F 26 = 8 {3} + (6 + 12) {4} χ= 2, группа = Oчас, [4,3], *432 3/2 4 | 2 3 4/3 | 2 - 4.4.4.3/2 W85, U17, K22, C59 Квазиромбокубооктаэдр
Ромбикосододекаэдр Srid V 60, E 120, F 62 = 20 {3} +30 {4} +12 {5} χ= 2, группа =ячас, H3, [5,3], (* 532), заказ 120 3 5 | 2 - 3.4.5.4 W14, U27, K32, C30 Ромбикосододекаэдр	Малый додецикосододекаэдр Саддид V 60, E 120, F 44 = 20 {3} +12 {5} +12 {10} χ= −16, группа = Iчас, [5,3], *532 3/2 5 | 5 3 5/4 | 5 - 5.10.3/2.10 W72, U33, K38, C42	Большой додецикосододекаэдр Гаддид V 60, E 120, F 44 = 20 {3} +12 {5/2} +12 {10/3} χ= −16, группа = Iчас, [5,3], *532 5/2 3 | 5/3 5/3 3/2 | 5/3 - 3.10/3.5/2.10/7 W99, U61, K66, C77	Невыпуклый большой ромбоикосододекаэдр Qrid V 60, E 120, F 62 = 20 {3} +30 {4} +12 {5/2} χ= 2, группа = Iчас, [5,3], *532 5/3 3 | 2 5/2 3/2 | 2 - 3.4.5/3.4 W105, U67, K72, C84 Квазиромбикосододекаэдр
Малый икосикосододекаэдр Siid V 60, E 120, F 52 = 20 {3} +12 {5/2} +20 {6} χ= −8, группа = Iчас, [5,3], *532 5/2 3 | 3 - 6.5/2.6.3 W71, U31, K36, C40	Малый дитригональный додецикосододекаэдр Сиддитдид V 60, E 120, F 44 = 20 {3} +12 {5/2} +12 {10} χ= −16, группа = Iчас, [5,3], *532 5/3 3 | 5 5/2 3/2 | 5 - 3.10.5/3.10 W82, U43, K48, C55	Ромбидодекадодекаэдр Raded V 60, E 120, F 54 = 30 {4} +12 {5} +12 {5/2} χ= −6, группа = Iчас, [5,3], *532 5/2 5 | 2 - 4.5/2.4.5 W76, U38, K43, C48	Икосододекадодекаэдр Идед V 60, E 120, F 44 = 12 {5} +12 {5/2} +20 {6} χ= −16, группа = Iчас, [5,3], *532 5/3 5 | 3 5/2 5/4 | 3 - 5.6.5/3.6 W83, U44, K49, C56
Большой дитригональный додецикосододекаэдр Гиддитдид V 60, E 120, F 44 = 20 {3} +12 {5} +12 {10/3} χ= −16, группа = Iчас, [5,3], *532 3 5 | 5/3 5/4 3/2 | 5/3 - 3.10/3.5.10/3 W81, U42, K47, C54	Большой икосикосододекаэдр Гиид V 60, E 120, F 52 = 20 {3} +12 {5} +20 {6} χ= −8, группа = Iчас, [5,3], *532 3/2 5 | 3 3 5/4 | 3 - 5.6.3/2.6 W88, U48, K53, C62

Четные формы

Wythoff p q r |

У них есть три разные грани вокруг каждой вершины, и вершины не лежат ни в одной плоскости симметрии. У них есть символ Уайтхоффа p q r | и вершины фигур 2p.2q.2r.

Усеченный кубооктаэдр Girco V 48, E 72, F 26 = 12 {4} +8 {6} +6 {8} χ= 2, группа =Очас, B3, [4,3], (* 432), порядок 48 2 3 4 | - 4.6.8 W15, U11, K16, C23 Ромбусеченный кубооктаэдр усеченный кубооктаэдр	Большой усеченный кубооктаэдр Quitco V 48, E 72, F 26 = 12 {4} +8 {6} +6 {8/3} χ= 2, группа = Oчас, [4,3], *432 2 3 4/3 | - 4.6/5.8/3 W93, U20, K25, C67 Квазиусеченный кубооктаэдр	Кубитусеченный кубооктаэдр Котко V 48, E 72, F 20 = 8 {6} +6 {8} +6 {8/3} χ= −4, группа = Oчас, [4,3], *432 3 4 4/3 | - 6.8.8/3 W79, U16, K21, C52 Кубооктаэдр усеченный кубооктаэдр
Усеченный икосододекаэдр Сетка V 120, E 180, F 62 = 30 {4} +20 {6} +12 {10} χ= 2, группа =ячас, H3, [5,3], (* 532), заказ 120 2 3 5 | - 4.6.10 W16, U28, K33, C31 Ромбоусеченный икосододекаэдрУсеченный икосододекаэдр	Большой усеченный икосододекаэдр Гакватид V 120, E 180, F 62 = 30 {4} +20 {6} +12 {10/3} χ= 2, группа = Iчас, [5,3], *532 2 3 5/3 | - 4.6.10/3 W108, U68, K73, C87 Большой квазиусеченный икосододекаэдр	Икоситроусеченный додекадодекаэдр Идтид V 120, E 180, F 44 = 20 {6} +12 {10} +12 {10/3} χ= −16, группа = Iчас, [5,3], *532 3 5 5/3 | - 6.10.10/3 W84, U45, K50, C57 Икосододекаэдр	Усеченный додекадодекаэдр Quitdid V 120, E 180, F 54 = 30 {4} +12 {10} +12 {10/3} χ= −6, группа = Iчас, [5,3], *532 2 5 5/3 | - 4.10/9.10/3 W98, U59, K64, C75 Квазиусеченный додекаэдр

Wythoff p q (r s) |

Фигура вершины p.q.-p.-q. Wythoff p q (r s) |, смешивая pqr | и pqs |,

Малый ромбогексаэдр Сро V 24, E 48, F 18 = 12 {4} +6 {8} χ= −6, группа = Oчас, [4,3], *432 2 4 (3/2 4/2) | - 4.8.4/3.8/7 W86, U18, K23, C60	Большой ромбогексаэдр Groh V 24, E 48, F 18 = 12 {4} +6 {8/3} χ= −6, группа = Oчас, [4,3], *432 2 4/3 (3/2 4/2) | - 4.8/3.4/3.8/5 W103, U21, K26, C82	Ромбикосаэдр Ri V 60, E 120, F 50 = 30 {4} +20 {6} χ= −10, группа = Iчас, [5,3], *532 2 3 (5/4 5/2) | - 4.6.4/3.6/5 W96, U56, K61, C72	Большой ромбидодекаэдр Пояс V 60, E 120, F 42 = 30 {4} +12 {10/3} χ= −18, группа = Iчас, [5,3], *532 2 5/3 (3/2 5/4) | - 4.10/3.4/3.10/7 W109, U73, K78, C89
Большой додецикосаэдр Головокружение V 60, E 120, F 32 = 20 {6} +12 {10/3} χ= −28, группа = Iчас, [5,3], *532 3 5/3 (3/2 5/2) | - 6.10/3.6/5.10/7 W101, U63, K68, C79	Малый ромбидодекаэдр Sird V 60, E 120, F 42 = 30 {4} +12 {10} χ= −18, группа = Iчас, [5,3], *532 2 5 (3/2 5/2) | - 4.10.4/3.10/9 W74, U39, K44, C46	Малый додецикосаэдр Сидди V 60, E 120, F 32 = 20 {6} +12 {10} χ= −28, группа = Iчас, [5,3], *532 3 5 (3/2 5/4) | - 6.10.6/5.10/9 W90, U50, K55, C64

Курносые многогранники

У них есть символ Уайтхоффа | p q r, и один не уайтоффианец дана конструкция | p q r s.

Wythoff | p q r

Группа симметрии
О	Курносый куб Snic V 24, E 60, F 38 = (8 + 24) {3} +6 {4} χ= 2, группа =О, 1/2B3, [4,3]^+, (432), заказ 24 | 2 3 4 - 3.3.3.3.4 W17, U12, K17, C24
ячас	Малый курносый икосикосододекаэдр Сбоку V 60, E 180, F 112 = (40 + 60) {3} +12 {5/2} χ= −8, группа = Iчас, [5,3], *532 | 5/2 3 3 - 3^5.5/2 W110, U32, K37, C41	Малый ретроснуб икосикосододекаэдр Сирсид V 60, E 180, F 112 = (40 + 60) {3} +12 {5/2} χ= −8, группа = Iчас, [5,3], *532 | 3/2 3/2 5/2 - (3^5.5/3)/2 W118, U72, K77, C91 Маленький перевернутый ретроснуб икосикосододекаэдр
я	Курносый додекаэдр Snid V 60, E 150, F 92 = (20 + 60) {3} +12 {5} χ= 2, группа =я, 1/2ЧАС3, [5,3]^+, (532), заказ 60 | 2 3 5 - 3.3.3.3.5 W18, U29, K34, C32	Курносый додекадодекаэдр Сиддид V 60, E 150, F 84 = 60 {3} +12 {5} +12 {5/2} χ= −6, группа = I, [5,3]^+, 532 | 2 5/2 5 - 3.3.5/2.3.5 W111, U40, K45, C49	Перевернутый курносый додекадодекаэдр Исдид V 60, E 150, F 84 = 60 {3} +12 {5} +12 {5/2} χ= −6, группа = I, [5,3]^+, 532 | 5/3 2 5 - 3.3.5.3.5/3 W114, U60, K65, C76
я	Большой курносый икосододекаэдр Госид V 60, E 150, F 92 = (20 + 60) {3} +12 {5/2} χ= 2, группа = I, [5,3]^+, 532 | 2 5/2 3 - 3^4.5/2 W113, U57, K62, C88	Большой перевернутый курносый икосододекаэдр Гисид V 60, E 150, F 92 = (20 + 60) {3} +12 {5/2} χ= 2, группа = I, [5,3]^+, 532 | 5/3 2 3 - 3^4.5/3 W116, U69, K74, C73	Большой ретроснуб икосододекаэдр Гирсид V 60, E 150, F 92 = (20 + 60) {3} +12 {5/2} χ= 2, группа = I, [5,3]^+, 532 | 2 3/2 5/3 - (3^4.5/2)/2 W117, U74, K79, C90 Большой перевернутый ретроснуб икосододекаэдр
я	Курносый икосододекадодекаэдр Односторонний V 60, E 180, F 104 = (20 + 60) {3} +12 {5} +12 {5/2} χ= −16, группа = I, [5,3]^+, 532 | 5/3 3 5 - 3.3.3.5.3.5/3 W112, U46, K51, C58	Большой курносый додецикосододекаэдр Гисдид V 60, E 180, F 104 = (20 + 60) {3} + (12 + 12) {5/2} χ= −16, группа = I, [5,3]^+, 532 | 5/3 5/2 3 - 3.3.3.5/2.3.5/3 W115, U64, K69, C80

Wythoff | p q r s

Группа симметрии
Я	Большой диромбикосододекаэдр Gidrid V 60, E 240, F 124 = 40 {3} +60 {4} +24 {5/2} χ= −56, группа = Iчас, [5,3], *532 | 3/2 5/3 3 5/2 - 4.5/3.4.3.4.5/2.4.3/2 W119, U75, K80, C92