Дробное броуновское движение - Fractional Brownian motion

В теория вероятности, дробное броуновское движение (fBm), также называемый фрактальное броуновское движение, является обобщением Броуновское движение. В отличие от классического броуновского движения, приращения fBm не обязательно должны быть независимыми. fBm - это непрерывное время Гауссовский процесс B_ЧАС(т) на [0,Т], который начинается с нуля, имеет ожидание ноль для всех т в [0,Т] и имеет следующие ковариационная функция:

${\displaystyle E[B_{H}(t)B_{H}(s)]={\tfrac {1}{2}}(|t|^{2H}+|s|^{2H}-|t-s|^{2H}),}$

где ЧАС вещественное число в (0, 1), называемое Индекс Херста или параметр Херста, связанный с дробным броуновским движением. Показатель Херста описывает неровность результирующего движения, при этом более высокое значение приводит к более плавному движению. Он был представлен Мандельброт и ван Несс (1968).

Значение ЧАС определяет, какой процесс fBm является:

• если ЧАС = 1/2, то фактически процесс Броуновское движение или Винеровский процесс;
• если ЧАС > 1/2, то приращения процесса положительно коррелированный;
• если ЧАС <1/2, то приращения процесса отрицательно коррелированы.

Процесс приращения, Икс(т) = B_ЧАС(т+1) − B_ЧАС(т), известен как дробный гауссов шум.

Существует также обобщение дробного броуновского движения: пДробное броуновское движение -го порядка, сокращенно n-fBm.^[1] n-fBm - это Гауссовский, автомодельный, нестационарный процесс, приращения которого порядка п стационарные. Для п = 1, n-fBm - классический fBm.

Как и броуновское движение, которое оно обобщает, дробное броуновское движение названо в честь биолога 19 века. Роберт Браун; дробный гауссов шум назван в честь математика Карл Фридрих Гаусс.

Предпосылки и определение

До введения дробного броуновского движения Леви (1953) использовал Дробный интеграл Римана – Лиувилля определить процесс

${\displaystyle B_{H}(t)={\frac {1}{\Gamma (H+1/2)}}\int _{0}^{t}(t-s)^{H-1/2}\,dB(s)}$

где интегрирование ведется по измерение белого шума дБ(s). Этот интеграл оказывается мало подходящим для приложений дробного броуновского движения из-за чрезмерного акцента на происхождение (Мандельброт и ван Несс 1968, п. 424).

Вместо этого идея состоит в том, чтобы использовать другой дробный интеграл белого шума для определения процесса: Интеграл Вейля

${\displaystyle B_{H}(t)=B_{H}(0)+{\frac {1}{\Gamma (H+1/2)}}\left\{\int _{-\infty }^{0}\left[(t-s)^{H-1/2}-(-s)^{H-1/2}\right]\,dB(s)+\int _{0}^{t}(t-s)^{H-1/2}\,dB(s)\right\}}$

для т > 0 (и аналогично для т < 0).

Основное различие между дробным броуновским движением и обычным броуновским движением состоит в том, что, хотя приращения броуновского движения независимы, приращения дробного броуновского движения нет. Если H> 1/2, то имеется положительная автокорреляция: если на предыдущих этапах есть возрастающий паттерн, то вероятно, что текущий шаг также будет увеличиваться. Если H <1/2, автокорреляция отрицательная.

Свойства

Самоподобие

Процесс самоподобный, поскольку с точки зрения распределения вероятностей:

${\displaystyle B_{H}(at)\sim |a|^{H}B_{H}(t).}$

Это свойство связано с тем, что ковариационная функция однородна порядка 2H и может рассматриваться как фрактал свойство. FBm также можно определить как единственное нулевое среднее значение Гауссовский процесс, null в начале координат со стационарными и автомодельными приращениями.

Стационарные приращения

Имеет стационарные приращения:

${\displaystyle B_{H}(t)-B_{H}(s)\;\sim \;B_{H}(t-s).}$

Дальняя зависимость

Для ЧАС > ½ процесса дальнодействующая зависимость,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }E[B_{H}(1)(B_{H}(n+1)-B_{H}(n))]=\infty .}$

Регулярность

Примеры путей почти нигде не дифференцируемый. Однако, почти все траектории локально Гёльдер непрерывный любого порядка строго меньше чем ЧАС: для каждой такой траектории, для каждой Т > 0 и для каждогоε > 0 существует (случайная) постоянная c такой, что

${\displaystyle |B_{H}(t)-B_{H}(s)|\leq c|t-s|^{H-\varepsilon }}$

для 0 <s,т < Т.

Размер

С вероятностью 1 график B_ЧАС(т) имеет оба Хаусдорфово измерение^[2] и размер коробки^{[нужна цитата ]} из 2−ЧАС.

Интеграция

Что касается регулярного броуновского движения, можно определить стохастические интегралы относительно дробного броуновского движения, обычно называемого «дробными стохастическими интегралами». Однако в целом, в отличие от интегралов относительно регулярного броуновского движения, дробные стохастические интегралы не являются семимартингалы.

Интерпретация в частотной области

Так же, как броуновское движение можно рассматривать как белый шум, отфильтрованный ${\displaystyle s^{-1}}$ (т.е. интегрированное), дробное броуновское движение - это белый шум, отфильтрованный ${\displaystyle s^{-H-1/2}}$ (соответствует дробное интегрирование ).

Примеры путей

Практические компьютерные реализации fBm могут быть созданы,^[3] хотя они являются лишь конечным приближением. Выбранные пути выборки можно представить как отображение дискретных точек выборки на fBm обработать. Ниже показаны три реализации, каждая из которых содержит 1000 точек fBm с параметром Херста 0,75.

«H» = 0,75 реализация 1

«H» = 0,75 реализация 2

«H» = 0,75 реализация 3

Реализации трех различных типов fBm показаны ниже, каждая из которых показывает 1000 точек, первая с параметром Херста 0,15, вторая с параметром Херста 0,55 и третья с параметром Херста 0,95. Чем выше параметр Херста, тем плавнее будет кривая.

«H» = 0,15

«H» = 0,55

«H» = 0,95

Метод 1 моделирования

Можно смоделировать траектории проб fBm использование методов генерации стационарных гауссовских процессов с известной ковариационной функцией. Самый простой метод основан на Метод разложения Холецкого ковариационной матрицы (поясняется ниже), которая на сетке размера ${\displaystyle n}$имеет сложность заказа ${\displaystyle O(n^{3})}$. Более сложный, но более быстрый в вычислительном отношении метод - это циркуляционное вложение метод Дитрих и Ньюзэм (1997).

Предположим, мы хотим смоделировать значения fBM во время ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$ с использованием Метод разложения Холецкого.

• Сформировать матрицу ${\displaystyle \Gamma ={\bigl (}R(t_{i},\,t_{j}),i,j=1,\ldots ,\,n{\bigr )}}$ где ${\displaystyle \,R(t,s)=(s^{2H}+t^{2H}-|t-s|^{2H})/2}$.
• Вычислить ${\displaystyle \,\Sigma }$ матрица квадратного корня из ${\displaystyle \,\Gamma }$, т.е. ${\displaystyle \,\Sigma ^{2}=\Gamma }$. Грубо говоря, ${\displaystyle \,\Sigma }$ это матрица "стандартного отклонения", связанная с матрицей дисперсии-ковариации ${\displaystyle \,\Gamma }$.
• Построить вектор ${\displaystyle \,v}$ из п числа, нарисованные независимо в соответствии со стандартным распределением Гаусса,
• Если мы определим ${\displaystyle \,u=\Sigma v}$ тогда ${\displaystyle \,u}$ дает образец пути fBm.

Чтобы вычислить ${\displaystyle \,\Sigma }$, мы можем использовать, например, Метод разложения Холецкого. Альтернативный метод использует собственные значения из ${\displaystyle \,\Gamma }$:

• поскольку ${\displaystyle \,\Gamma }$ является симметричный, положительно определенный матрица, следует, что все собственные значения ${\displaystyle \,\lambda _{i}}$ из ${\displaystyle \,\Gamma }$ удовлетворить ${\displaystyle \,\lambda _{i}\geq 0}$, (${\displaystyle i=1,\dots ,n}$).
• Позволять ${\displaystyle \,\Lambda }$ - диагональная матрица собственных значений, т.е. ${\displaystyle \Lambda _{ij}=\lambda _{i}\,\delta _{ij}}$ где ${\displaystyle \delta _{ij}}$ это Дельта Кронекера. Мы определяем ${\displaystyle \Lambda ^{1/2}}$ как диагональная матрица с элементами ${\displaystyle \lambda _{i}^{1/2}}$, т.е. ${\displaystyle \Lambda _{ij}^{1/2}=\lambda _{i}^{1/2}\,\delta _{ij}}$.

Обратите внимание, что результат действительный, потому что ${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$.

• Позволять ${\displaystyle \,v_{i}}$ собственный вектор, связанный с собственным значением ${\displaystyle \,\lambda _{i}}$. Определить ${\displaystyle \,P}$ как матрица, ${\displaystyle i}$-й столбец - это собственный вектор ${\displaystyle \,v_{i}}$.

Обратите внимание: поскольку собственные векторы линейно независимы, матрица ${\displaystyle \,P}$ обратимо.

• Отсюда следует, что ${\displaystyle \Sigma =P\,\Lambda ^{1/2}\,P^{-1}}$ потому что ${\displaystyle \Gamma =P\,\Lambda \,P^{-1}}$.

Метод 2 моделирования

Также известно, что ^[4]

${\displaystyle B_{H}(t)=\int _{0}^{t}K_{H}(t,s)\,dB(s)}$

где B стандартное броуновское движение и

${\displaystyle K_{H}(t,s)={\frac {(t-s)^{H-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (H+{\frac {1}{2}})}}\;_{2}F_{1}\left(H-{\frac {1}{2}};\,{\frac {1}{2}}-H;\;H+{\frac {1}{2}};\,1-{\frac {t}{s}}\right).}$

куда ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ это Гипергеометрический интеграл Эйлера.

Скажем, мы хотим смоделировать fBm в точках ${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=T}$.

• Построить вектор п числа, нарисованные согласно стандартному распределению Гаусса.
• Умножьте его покомпонентно на √Т/п чтобы получить приращения броуновского движения на [0,Т]. Обозначим этот вектор как ${\displaystyle (\delta B_{1},\ldots ,\delta B_{n})}$.
• Для каждого ${\displaystyle t_{j}}$, вычислить

${\displaystyle B_{H}(t_{j})={\frac {n}{T}}\sum _{i=0}^{j-1}\int _{t_{i}}^{t_{i+1}}K_{H}(t_{j},\,s)\,ds\ \delta B_{i}.}$

Интеграл может быть эффективно вычислен с помощью Квадратура Гаусса. Гипергеометрические функции являются частью Научная библиотека GNU.

Смотрите также

• Броуновская поверхность
• Авторегрессионное дробно-интегрированное скользящее среднее
• Мультифрактал: Обобщенная система дробных броуновских движений.
• Розовый шум
• Распределения твиди

Заметки

1. Перрин и др., 2001.
2. Орей, 1970.
3. Крезе, Д.; Ботев, З. (2014). «Генерация пространственного процесса». Лекции по стохастической геометрии, пространственной статистике и случайным полям, Том II: Анализ, моделирование и моделирование сложных структур, Springer-Verlag, Берлин. arXiv:1308.0399. Bibcode:2013arXiv1308.0399K.
4. Стохастический анализ дробного броуновского движения, [1]

использованная литература

• Беран, Дж. (1994), Статистика для процессов с длинной памятью, Чепмен и Холл, ISBN  0-412-04901-5.
• Крейгмил П.Ф. (2003), «Моделирование класса стационарных гауссовских процессов с использованием алгоритма Дэвиса – Харта с применением к процессам с длинной памятью», Журнал анализа временных рядов, 24: 505–511.
• Дикер, Т. (2004). Моделирование дробного броуновского движения (PDF) (Магистерская диссертация). Получено 29 декабря 2012.
• Dietrich, C. R .; Ньюзэм, Г. Н. (1997), "Быстрое и точное моделирование стационарных гауссовских процессов посредством циркулянтного вложения ковариационной матрицы.", Журнал SIAM по научным вычислениям, 18 (4): 1088–1107, Дои:10.1137 / s1064827592240555.
• Леви, П. (1953), Случайные функции: общая теория со специальными ссылками на лапласовские случайные функции, Статистические публикации Калифорнийского университета, 1, стр. 331–390.
• Мандельброт, Б.; ван Несс, Дж. (1968), "Дробные броуновские движения, дробные шумы и приложения", SIAM Обзор, 10 (4): 422–437, Bibcode:1968SIAMR..10..422M, Дои:10.1137/1010093, JSTOR  2027184.
• Ори, Стивен (1970), "Гауссовские выборочные функции и размерность Хаусдорфа пересечений уровней", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 15 (3): 249–256, Дои:10.1007 / BF00534922.
• Perrin E. et al. (2001), "Дробное броуновское движение n-го порядка и дробные гауссовские шумы ", Транзакции IEEE при обработке сигналов, 49: 1049-1059. Дои:10.1109/78.917808
• Самородницкий Г., Такку М.С. (1994), Устойчивые негауссовские случайные процессы., Глава 7: «Самоподобные процессы» (Chapman & Hall).

дальнейшее чтение

• Сейнти, П. (1992), "Построение комплекснозначного дробного броуновского движения порядка N", Журнал математической физики, 33 (9): 3128, Bibcode:1992JMP .... 33.3128S, Дои:10.1063/1.529976.