Конверт Снелла - Snell envelope

В Конверт Снелла, используется в стохастик и математические финансы, самый маленький супермартингейл доминирование над случайный процесс. Конверт Снелла назван в честь Джеймс Лори Снелл.

Определение

Учитывая фильтрованное вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},\mathbb {P} )}$ и абсолютно непрерывный вероятностная мера ${\displaystyle \mathbb {Q} \ll \mathbb {P} }$ затем адаптированный процесс ${\displaystyle U=(U_{t})_{t\in [0,T]}}$ огибающая Снеллиуса относительно ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ процесса ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in [0,T]}}$ если

1. ${\displaystyle U}$ это ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-супермартингейл
2. ${\displaystyle U}$ доминирует ${\displaystyle X}$, т.е. ${\displaystyle U_{t}\geq X_{t}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-почти наверняка на все времена ${\displaystyle t\in [0,T]}$
3. Если ${\displaystyle V=(V_{t})_{t\in [0,T]}}$ это ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-супермартингейл, который доминирует ${\displaystyle X}$, тогда ${\displaystyle V}$ доминирует ${\displaystyle U}$.^[1]

Строительство

Учитывая (дискретный) фильтрованное вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{n})_{n=0}^{N},\mathbb {P} )}$ и абсолютно непрерывный вероятностная мера ${\displaystyle \mathbb {Q} \ll \mathbb {P} }$ затем конверт Снеллиуса ${\displaystyle (U_{n})_{n=0}^{N}}$ относительно ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ процесса ${\displaystyle (X_{n})_{n=0}^{N}}$ задается рекурсивной схемой

${\displaystyle U_{N}:=X_{N},}$

${\displaystyle U_{n}:=X_{n}\lor \mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[U_{n+1}\mid {\mathcal {F}}_{n}]}$ за ${\displaystyle n=N-1,...,0}$

куда ${\displaystyle \lor }$ это присоединиться (в данном случае равно максимуму из двух случайных величин).^[1]

Заявление

• Если ${\displaystyle X}$ со скидкой Американский вариант выплата конвертом Снелла ${\displaystyle U}$ тогда ${\displaystyle U_{t}}$ минимальное требование к капиталу для хеджирования ${\displaystyle X}$ от времени ${\displaystyle t}$ до истечения срока годности.^[1]

Рекомендации

1. Фёльмер, Ганс; Щед, Александр (2004). Стохастические финансы: введение в дискретное время (2-е изд.). Вальтер де Грюйтер. С. 280–282. ISBN  9783110183467.