Неравенство мартингейла Дубса - Doobs martingale inequality

В математика, Мартингальное неравенство Дуба, также известный как Субмартингальное неравенство Колмогорова это результат изучения случайные процессы. Он дает оценку вероятности того, что случайный процесс превышает любое заданное значение в течение заданного интервала времени. Как следует из названия, результат обычно дается в том случае, если процесс является мартингейл, но результат действителен и для субмартингалов.

Неравенство связано с американским математиком Джозеф Л. Дуб.

Формулировка неравенства

Позволять Икс быть субмартингейл принимая реальные значения в дискретном или непрерывном времени. То есть на все времена s и т с s < т,

${\displaystyle X_{s}\leq \operatorname {E} [X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}].}$

(Для субмартингейла с непрерывным временем предположим далее, что процесс càdlàg.) Тогда для любой постоянной C > 0,

${\displaystyle P\left[\sup _{0\leq t\leq T}X_{t}\geq C\right]\leq {\frac {\operatorname {E} [{\textrm {max}}(X_{T},0)]}{C}}.}$

Выше, как обычно, п обозначает вероятностная мера на выборочном пространстве Ω случайного процесса

${\displaystyle X:[0,T]\times \Omega \to [0,+\infty )}$

и ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ обозначает ожидаемое значение относительно вероятностной меры п, т.е. интеграл

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{T}]=\int _{\Omega }X_{T}(\omega )\,\mathrm {d} P(\omega )}$

в смысле Интеграция Лебега. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$ обозначает σ-алгебра генерируется всеми случайные переменные Икс_я с я ≤ s; набор таких σ-алгебр образует фильтрация вероятностного пространства.

Дальнейшие неравенства

Существуют и другие субмартингальные неравенства, также связанные с Дубом. С теми же предположениями о Икс как указано выше, пусть

${\displaystyle S_{t}=\sup _{0\leq s\leq t}X_{s},}$

и для п ≥ 1 пусть

${\displaystyle \|X_{t}\|_{p}=\|X_{t}\|_{L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}=\left(\operatorname {E} [|X_{t}|^{p}]\right)^{1/p}.}$

В этих обозначениях неравенство Дуба, как указано выше, имеет вид

${\displaystyle P[S_{T}\geq C]\leq {\frac {\|X_{T}\|_{1}}{C}}.}$

Также имеют место следующие неравенства:

${\displaystyle \|S_{T}\|_{1}\leq {\frac {e}{e-1}}\left(1+\|X_{T}\log ^{+}X_{T}\|_{1}\right)}$

и для п > 1,

${\displaystyle \|X_{T}\|_{p}\leq \|S_{T}\|_{p}\leq {\frac {p}{p-1}}\|X_{T}\|_{p}.}$

Последнее из них иногда называют максимальным неравенством Дуба.

Связанные неравенства

Из неравенства Дуба для мартингалов с дискретным временем следует Неравенство Колмогорова: если Икс₁, Икс₂, ... - последовательность действительных значений независимые случайные величины, каждое с нулевым средним, ясно, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{1}+\cdots +X_{n}+X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}\right]&=X_{1}+\cdots +X_{n}+\operatorname {E} \left[X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}\right]\\&=X_{1}+\cdots +X_{n},\end{aligned}}}$

так что S_п = Икс₁ + ... + Икс_п это мартингал. Обратите внимание, что Неравенство Дженсена следует, что | S_п| является неотрицательным субмартингалом, если S_п это мартингал. Следовательно, принимая п = 2 в неравенстве мартингала Дуба,

${\displaystyle P\left[\max _{1\leq i\leq n}\left|S_{i}\right|\geq \lambda \right]\leq {\frac {\operatorname {E} \left[S_{n}^{2}\right]}{\lambda ^{2}}},}$

что и есть утверждение неравенства Колмогорова.

Применение: броуновское движение

Позволять B обозначают канонические одномерные Броуновское движение. потом

${\displaystyle P\left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]\leq \exp \left(-{\frac {C^{2}}{2T}}\right).}$

Доказательство заключается в следующем: поскольку экспонента монотонно возрастает, для любого неотрицательного λ

${\displaystyle \left\{\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right\}=\left\{\sup _{0\leq t\leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right\}.}$

По неравенству Дуба и поскольку экспонента броуновского движения является положительным субмартингалом,

${\displaystyle {\begin{aligned}P\left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]&=P\left[\sup _{0\leq t\leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right]\\[8pt]&\leq {\frac {\operatorname {E} [\exp(\lambda B_{T})]}{\exp(\lambda C)}}\\[8pt]&=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}T-\lambda C\right)&&\operatorname {E} \left[\exp(\lambda B_{t})\right]=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}t\right)\end{aligned}}}$

Поскольку левая часть не зависит от λ, выберите λ чтобы минимизировать правую часть: λ = C/Т дает желаемое неравенство.

Рекомендации

• Ревуз, Даниил; Йор, Марк (1999). Непрерывные мартингалы и броуновское движение (Третье изд.). Берлин: Springer. ISBN  3-540-64325-7. (Теорема II.1.7)
• Ширяев, Альберт Н. (2001) [1994], «Мартингейл», Энциклопедия математики, EMS Press