В теория вероятности , Неравенство Колмогорова является так называемым "максимальным неравенство "что дает оценку вероятности того, что частичные суммы из конечный коллекция независимые случайные величины превышают некоторую заданную границу. Неравенство названо в честь русский математик Андрей Колмогоров .[нужна цитата
Формулировка неравенства Позволять Икс 1 , ..., Икс п р быть независимый случайные переменные определены на общем вероятностное пространство (Ω,F , Pr), с ожидаемое значение E [Икс k отклонение Вар [Икс k k = 1, ..., п . Тогда для каждого λ> 0
Pr ( Максимум 1 ≤ k ≤ п | S k | ≥ λ ) ≤ 1 λ 2 Вар [ S п ] ≡ 1 λ 2 ∑ k = 1 п Вар [ Икс k ] = 1 λ 2 ∑ k = 1 п E [ Икс k 2 ] , { displaystyle Pr left ( max _ {1 leq k leq n} | S_ {k} | geq lambda right) leq { frac {1} { lambda ^ {2}}} operatorname {Var} [S_ {n}] Equiv { frac {1} { lambda ^ {2}}} sum _ {k = 1} ^ {n} operatorname {Var} [X_ {k} ] = { frac {1} { lambda ^ {2}}} sum _ {k = 1} ^ {n} { text {E}} [X_ {k} ^ {2}],} куда S k Икс 1 + ... + Икс k
Удобство этого результата состоит в том, что мы можем оценить наихудшее отклонение случайная прогулка в любой момент времени, используя его значение в конце временного интервала.
Доказательство Следующий аргумент связан с Карим Амин и использует дискретные мартингалы . Как утверждалось при обсуждении Мартингальное неравенство Дуба , последовательность S 1 , S 2 , … , S п { Displaystyle S_ {1}, S_ {2}, точки, S_ {п}} ( Z я ) я = 0 п { Displaystyle (Z_ {я}) _ {я = 0} ^ {п}} Z 0 = 0 { displaystyle Z_ {0} = 0}
Z я + 1 = { S я + 1 если Максимум 1 ≤ j ≤ я | S j | < λ Z я иначе { Displaystyle Z_ {я + 1} = left {{ begin {array} {ll} S_ {i + 1} & { text {if}} displaystyle max _ {1 leq j leq i } | S_ {j} | < lambda Z_ {i} & { text {else}} end {array}} right.} для всех я { displaystyle i} ( Z я ) я = 0 п { Displaystyle (Z_ {я}) _ {я = 0} ^ {п}}
Для любого мартингейла M я { displaystyle M_ {i}} M 0 = 0 { displaystyle M_ {0} = 0}
∑ я = 1 п E [ ( M я − M я − 1 ) 2 ] = ∑ я = 1 п E [ M я 2 − 2 M я M я − 1 + M я − 1 2 ] = ∑ я = 1 п E [ M я 2 − 2 ( M я − 1 + M я − M я − 1 ) M я − 1 + M я − 1 2 ] = ∑ я = 1 п E [ M я 2 − M я − 1 2 ] − 2 E [ M я − 1 ( M я − M я − 1 ) ] = E [ M п 2 ] − E [ M 0 2 ] = E [ M п 2 ] . { displaystyle { begin {align} sum _ {i = 1} ^ {n} { text {E}} [(M_ {i} -M_ {i-1}) ^ {2}] & = сумма _ {i = 1} ^ {n} { text {E}} [M_ {i} ^ {2} -2M_ {i} M_ {i-1} + M_ {i-1} ^ {2}] & = sum _ {i = 1} ^ {n} { text {E}} left [M_ {i} ^ {2} -2 (M_ {i-1} + M_ {i} -M_ {i-1}) M_ {i-1} + M_ {i-1} ^ {2} right] & = sum _ {i = 1} ^ {n} { text {E}} left [M_ {i} ^ {2} -M_ {i-1} ^ {2} right] -2 { text {E}} left [M_ {i-1} (M_ {i} -M_ { i-1}) right] & = { text {E}} [M_ {n} ^ {2}] - { text {E}} [M_ {0} ^ {2}] = { текст {E}} [M_ {n} ^ {2}]. end {выравнивается}}}
Применяя этот результат к мартингейлу ( S я ) я = 0 п { Displaystyle (S_ {я}) _ {я = 0} ^ {п}}
Pr ( Максимум 1 ≤ я ≤ п | S я | ≥ λ ) = Pr [ | Z п | ≥ λ ] ≤ 1 λ 2 E [ Z п 2 ] = 1 λ 2 ∑ я = 1 п E [ ( Z я − Z я − 1 ) 2 ] ≤ 1 λ 2 ∑ я = 1 п E [ ( S я − S я − 1 ) 2 ] = 1 λ 2 E [ S п 2 ] = 1 λ 2 Вар [ S п ] { displaystyle { begin {align} { text {Pr}} left ( max _ {1 leq i leq n} | S_ {i} | geq lambda right) & = { text { Pr}} [| Z_ {n} | geq lambda] & leq { frac {1} { lambda ^ {2}}} { text {E}} [Z_ {n} ^ {2 }] = { frac {1} { lambda ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {n} { text {E}} [(Z_ {i} -Z_ {i-1} ) ^ {2}] & leq { frac {1} { lambda ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {n} { text {E}} [(S_ {i } -S_ {i-1}) ^ {2}] = { frac {1} { lambda ^ {2}}} { text {E}} [S_ {n} ^ {2}] = { гидроразрыв {1} { lambda ^ {2}}} { text {Var}} [S_ {n}] end {выровнен}}}
где первое неравенство следует из Неравенство Чебышева .
Смотрите также Рекомендации Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера . Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2 Феллер, Уильям (1968) [1950]. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Том 1 (Третье изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. xviii + 509. ISBN 0-471-25708-7 В статье использован материал из неравенства Колмогорова о PlanetMath , который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.
![{ displaystyle Pr left ( max _ {1 leq k leq n} | S_ {k} | geq lambda right) leq { frac {1} { lambda ^ {2}}} operatorname {Var} [S_ {n}] Equiv { frac {1} { lambda ^ {2}}} sum _ {k = 1} ^ {n} operatorname {Var} [X_ {k} ] = { frac {1} { lambda ^ {2}}} sum _ {k = 1} ^ {n} { text {E}} [X_ {k} ^ {2}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0d0bacbb6caf724405778810930c37e5e4dd995)
![{ displaystyle { begin {align} sum _ {i = 1} ^ {n} { text {E}} [(M_ {i} -M_ {i-1}) ^ {2}] & = сумма _ {i = 1} ^ {n} { text {E}} [M_ {i} ^ {2} -2M_ {i} M_ {i-1} + M_ {i-1} ^ {2}] & = sum _ {i = 1} ^ {n} { text {E}} left [M_ {i} ^ {2} -2 (M_ {i-1} + M_ {i} -M_ {i-1}) M_ {i-1} + M_ {i-1} ^ {2} right] & = sum _ {i = 1} ^ {n} { text {E}} left [M_ {i} ^ {2} -M_ {i-1} ^ {2} right] -2 { text {E}} left [M_ {i-1} (M_ {i} -M_ { i-1}) right] & = { text {E}} [M_ {n} ^ {2}] - { text {E}} [M_ {0} ^ {2}] = { текст {E}} [M_ {n} ^ {2}]. end {выравнивается}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e3b4b787f0b0ed34783ae053e957e04d78aa8e)
![{ displaystyle { begin {align} { text {Pr}} left ( max _ {1 leq i leq n} | S_ {i} | geq lambda right) & = { text { Pr}} [| Z_ {n} | geq lambda] & leq { frac {1} { lambda ^ {2}}} { text {E}} [Z_ {n} ^ {2 }] = { frac {1} { lambda ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {n} { text {E}} [(Z_ {i} -Z_ {i-1} ) ^ {2}] & leq { frac {1} { lambda ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {n} { text {E}} [(S_ {i } -S_ {i-1}) ^ {2}] = { frac {1} { lambda ^ {2}}} { text {E}} [S_ {n} ^ {2}] = { гидроразрыв {1} { lambda ^ {2}}} { text {Var}} [S_ {n}] end {выровнен}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d870bf261d30d0caed8e73274d5abc4ee492640)