Неравенство Этемадиса - Etemadis inequality

В теория вероятности, Неравенство Этемади является так называемым «максимальным неравенством», неравенство что дает оценку вероятность что частичные суммы из конечный коллекция независимые случайные величины превышают некоторую заданную границу. Результат обусловлен Насроллах Этемади.

Формулировка неравенства

Позволять Икс₁, ..., Икс_п быть независимыми вещественными случайными величинами, определенными на некоторых общих вероятностное пространство, и разреши α ≥ 0. Пусть S_k обозначим частичную сумму

${\displaystyle S_{k}=X_{1}+\cdots +X_{k}.\,}$

потом

${\displaystyle \Pr {\Bigl (}\max _{1\leq k\leq n}|S_{k}|\geq 3\alpha {\Bigr )}\leq 3\max _{1\leq k\leq n}\Pr {\bigl (}|S_{k}|\geq \alpha {\bigr )}.}$

Замечание

Предположим, что случайные величины Икс_k иметь общие ожидаемое значение нуль. Подать заявление Неравенство Чебышева в правую часть неравенства Этемади и заменим α к α / 3. Результат Неравенство Колмогорова с дополнительным множителем 27 в правой части:

${\displaystyle \Pr {\Bigl (}\max _{1\leq k\leq n}|S_{k}|\geq \alpha {\Bigr )}\leq {\frac {27}{\alpha ^{2}}}\operatorname {var} (S_{n}).}$

Рекомендации

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-00710-2. (Теорема 22.5)
• Этемади, Насроллах (1985). «О некоторых классических результатах теории вероятностей». Санкхья Сер. А. 47 (2): 215–221. JSTOR  25050536. МИСТЕР  0844022.