Неравенство маркова - Markovs inequality

Неравенство Маркова дает оценку сверху для меры множества (обозначено красным), где ${\displaystyle f(x)}$ превышает заданный уровень ${\displaystyle \varepsilon }$. Граница сочетает в себе уровень ${\displaystyle \varepsilon }$ со средним значением ${\displaystyle f}$.

В теория вероятности, Неравенство Маркова дает верхняя граница для вероятность который неотрицательный функция из случайная переменная больше или равно некоторому положительному постоянный. Назван в честь русского математика. Андрей Марков, хотя он появился ранее в работе Пафнутый Чебышев (Учитель Маркова), и многие источники, особенно в анализ, назовем его неравенством Чебышева (иногда называя его первым неравенством Чебышева, ссылаясь на Неравенство Чебышева как второе неравенство Чебышева) или Bienaymé неравенство.

Неравенство Маркова (и другие подобные неравенства) связывают вероятности с ожидания, и предоставляют (часто нечеткие, но все же полезные) границы для кумулятивная функция распределения случайной величины.

Заявление

Если Икс - неотрицательная случайная величина и а > 0, то вероятность того, что Икс по крайней мере а самое большее ожидание Икс деленное на а:^[1]

${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (X)}{a}}.}$

Позволять ${\displaystyle a={\tilde {a}}\cdot \operatorname {E} (X)}$ (куда ${\displaystyle {\tilde {a}}>0}$); то мы можем переписать предыдущее неравенство как

${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq {\tilde {a}}\cdot \operatorname {E} (X))\leq {\frac {1}{\tilde {a}}}.}$

На языке теория меры, Неравенство Маркова утверждает, что если (Икс, Σ,μ) это измерить пространство, ${\displaystyle f}$ это измеримый расширенный реальный -значная функция, и ε > 0, тогда

${\displaystyle \mu (\{x\in X:|f(x)|\geq \varepsilon \})\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\int _{X}|f|\,d\mu .}$

Это теоретико-мерное определение иногда называют Неравенство Чебышева.^[2]

Расширенная версия для монотонно возрастающих функций

Если φ это монотонно возрастающий неотрицательная функция для неотрицательных вещественных чисел, Икс случайная величина, а ≥ 0, и φ(а) > 0, тогда

${\displaystyle \operatorname {P} (|X|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (\varphi (|X|))}{\varphi (a)}}.}$

Непосредственное следствие с использованием более высоких моментов Икс поддерживается на значениях больше 0, является

${\displaystyle \operatorname {P} (|X|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (|X|^{n})}{a^{n}}}.}$

Доказательства

Мы отделяем случай, когда пространство меры является вероятностным пространством, от более общего случая, потому что вероятностный случай более доступен для обычного читателя.

Интуитивно понятный

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {P} (X<a)\cdot \operatorname {E} (X|X<a)+\operatorname {P} (X\geq a)\cdot \operatorname {E} (X|X\geq a)}$ куда ${\displaystyle \operatorname {E} (X|X<a)}$ больше 0 как r.v. ${\displaystyle X}$ неотрицательно и ${\displaystyle \operatorname {E} (X|X\geq a)}$ больше чем ${\displaystyle a}$ потому что условное ожидание учитывает только значения, превышающие ${\displaystyle a}$ который r.v. ${\displaystyle X}$ может взять.

Следовательно, интуитивно ${\displaystyle \operatorname {E} (X)\geq 0\cdot \operatorname {P} (X<a)+\operatorname {P} (X\geq a)\cdot \operatorname {E} (X|X\geq a)\geq a\cdot \operatorname {P} (X\geq a)}$, что напрямую приводит к ${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (X)}{a}}}$.

Доказательство на языке теории вероятностей

Способ 1:Из определения ожидания:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx}$

Однако X - неотрицательная случайная величина, поэтому

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }xf(x)\,dx}$

Из этого мы можем вывести,

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{a}xf(x)\,dx+\int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx\geq \int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx\geq \int _{a}^{\infty }af(x)\,dx=a\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=a\operatorname {Pr} (X\geq a)}$

Отсюда, делясь на ${\displaystyle a}$ позволяет нам увидеть, что

${\displaystyle \Pr(X\geq a)\leq \operatorname {E} (X)/a}$

Способ 2:На любое мероприятие ${\displaystyle E}$, позволять ${\displaystyle I_{E}}$ быть индикаторной случайной величиной ${\displaystyle E}$, то есть, ${\displaystyle I_{E}=1}$ если ${\displaystyle E}$ происходит и ${\displaystyle I_{E}=0}$ иначе.

Используя эти обозначения, мы имеем ${\displaystyle I_{(X\geq a)}=1}$ если событие ${\displaystyle X\geq a}$ происходит, и ${\displaystyle I_{(X\geq a)}=0}$ если ${\displaystyle X<a}$. Тогда, учитывая ${\displaystyle a>0}$,

${\displaystyle aI_{(X\geq a)}\leq X}$

что станет ясно, если мы рассмотрим два возможных значения ${\displaystyle X\geq a}$. Если ${\displaystyle X<a}$, тогда ${\displaystyle I_{(X\geq a)}=0}$, и так ${\displaystyle aI_{(X\geq a)}=0\leq X}$. В противном случае имеем ${\displaystyle X\geq a}$, для которого ${\displaystyle I_{X\geq a}=1}$ и так ${\displaystyle aI_{X\geq a}=a\leq X}$.

С ${\displaystyle \operatorname {E} }$ является монотонно возрастающей функцией, ожидание обеих сторон неравенства не может изменить ее. Следовательно,

${\displaystyle \operatorname {E} (aI_{(X\geq a)})\leq \operatorname {E} (X).}$

Теперь, используя линейность ожиданий, левая часть этого неравенства совпадает с

${\displaystyle a\operatorname {E} (I_{(X\geq a)})=a(1\cdot \operatorname {P} (X\geq a)+0\cdot \operatorname {P} (X<a))=a\operatorname {P} (X\geq a).}$

Таким образом, мы имеем

${\displaystyle a\operatorname {P} (X\geq a)\leq \operatorname {E} (X)}$

и с тех пор а > 0, мы можем разделить обе части наа.

На языке теории меры

Можно считать, что функция ${\displaystyle f}$ неотрицательно, поскольку в уравнение входит только его абсолютное значение. Теперь рассмотрим действительную функцию s на Икс данный

${\displaystyle s(x)={\begin{cases}\varepsilon ,&{\text{if }}f(x)\geq \varepsilon \\0,&{\text{if }}f(x)<\varepsilon \end{cases}}}$

потом ${\displaystyle 0\leq s(x)\leq f(x)}$. По определению Интеграл Лебега

${\displaystyle \int _{X}f(x)\,d\mu \geq \int _{X}s(x)\,d\mu =\varepsilon \mu (\{x\in X:\,f(x)\geq \varepsilon \})}$

и с тех пор ${\displaystyle \varepsilon >0}$, обе стороны можно разделить на ${\displaystyle \varepsilon }$, получение

${\displaystyle \mu (\{x\in X:\,f(x)\geq \varepsilon \})\leq {1 \over \varepsilon }\int _{X}f\,d\mu .}$

Следствия

Неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева использует отклонение чтобы ограничить вероятность того, что случайная величина далеко отклоняется от среднего. Конкретно,

${\displaystyle \operatorname {P} (|X-\operatorname {E} (X)|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}},}$

для любого а > 0. Здесь Вар (Икс) это отклонение X, определяемый как:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} (X))^{2}].}$

Неравенство Чебышева следует из неравенства Маркова при рассмотрении случайной величины

${\displaystyle (X-\operatorname {E} (X))^{2}}$

и постоянная ${\displaystyle a^{2},}$ для которого неравенство Маркова гласит

${\displaystyle \operatorname {P} ((X-\operatorname {E} (X))^{2}\geq a^{2})\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}}.}$

Этот аргумент можно резюмировать (где «МИ» указывает на использование неравенства Маркова):

${\displaystyle \operatorname {P} (|X-\operatorname {E} (X)|\geq a)=\operatorname {P} \left((X-\operatorname {E} (X))^{2}\geq a^{2}\right)\,{\overset {\underset {\mathrm {MI} }{}}{\leq }}\,{\frac {\operatorname {E} \left((X-\operatorname {E} (X))^{2}\right)}{a^{2}}}={\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}}.}$

Другие следствия

1. «Монотонный» результат можно продемонстрировать:

   ${\displaystyle \operatorname {P} (|X|\geq a)=\operatorname {P} {\big (}\varphi (|X|)\geq \varphi (a){\big )}\,{\overset {\underset {\mathrm {MI} }{}}{\leq }}\,{\frac {\operatorname {E} (\varphi (|X|))}{\varphi (a)}}}$

2. Результат, который для неотрицательной случайной величины Икс, то квантильная функция из Икс удовлетворяет:

   ${\displaystyle Q_{X}(1-p)\leq {\frac {\operatorname {E} (X)}{p}},}$

   доказательство с использованием

   ${\displaystyle p\leq \operatorname {P} (X\geq Q_{X}(1-p))\,{\overset {\underset {\mathrm {MI} }{}}{\leq }}\,{\frac {\operatorname {E} (X)}{Q_{X}(1-p)}}.}$

3. Позволять ${\displaystyle M\succeq 0}$ - самосопряженная матричнозначная случайная величина и а > 0. потом

   ${\displaystyle \operatorname {P} (M\npreceq a\cdot I)\leq {\frac {\operatorname {tr} \left(E(M)\right)}{na}}.}$

   можно показать аналогичным образом.

Примеры

Если предположить, что нет отрицательного дохода, неравенство Маркова показывает, что не более 1/5 населения может иметь доход более чем в 5 раз больше среднего.

Смотрите также

• Неравенство Пэли – Зигмунда. - соответствующая нижняя граница
• Неравенство концентраций - сводка хвостовых границ случайных величин.

Рекомендации

1. «Марковские и Чебышёвские неравенства». Получено 4 февраля 2016.
2. Штейн, Э.; Шакарчи, Р. (2005), Реальный анализ, Принстонские лекции по анализу, 3 (1-е изд.), С. 91.

внешняя ссылка

• Формальное доказательство неравенства Маркова в Система Мицар.