Регенеративный процесс - Regenerative process

Регенеративные процессы использовались для моделирования проблем в управлении запасами. Запасы на складе, таком как этот, уменьшаются в результате случайного процесса из-за продаж, пока не пополнятся новым заказом.^[1]

В прикладная вероятность, а регенеративный процесс это класс случайный процесс с тем свойством, что определенные части процесса можно рассматривать как статистически независимый друг друга.^[2] Это свойство может быть использовано при выводе теоретических свойств таких процессов.

История

Регенеративные процессы были впервые определены Уолтер Л. Смит в Труды Королевского общества А в 1955 г.^[3][4]

Определение

А регенеративный процесс это случайный процесс с моментами времени, в которые, с вероятностной точки зрения, процесс перезапускается.^[5] Эти временные точки могут сами определяться развитием процесса. То есть процесс {Икс(т), т ≥ 0} - восстановительный процесс, если существуют моменты времени 0 ≤Т₀ < Т₁ < Т₂ <... такой, что пост-Т_k процесс {Икс(Т_k + т) : т ≥ 0}

• имеет такое же распространение, как и пост-Т₀ процесс {Икс(Т₀ + т) : т ≥ 0}
• не зависит от предварительныхТ_k процесс {Икс(т) : 0 ≤ т < Т_k}

за k ≥ 1.^[6] Интуитивно это означает, что регенеративный процесс можно разделить на i.i.d. циклы.^[7]

Когда Т₀ = 0, Икс(т) называется незамедлительный регенеративный процесс. Иначе процесс называется замедленный регенеративный процесс.^[6]

Примеры

• Процессы продления регенеративные процессы, с Т₁ являясь первым обновлением.^[5]
• Чередование процессы обновления, где система чередуется между состоянием "включено" и состоянием "выключено".^[5]
• Повторяющийся Цепь Маркова регенеративный процесс, с Т₁ время первого повторения.^[5] Это включает в себя Цепи Харриса.
• Отраженное броуновское движение - это регенеративный процесс (где измеряется время, необходимое частицам, чтобы уйти и вернуться).^[7]

Характеристики

• Посредством возобновляемая теорема о вознаграждении, с вероятностью 1,^[8]

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}X(s)ds={\frac {\mathbb {E} [R]}{\mathbb {E} [\tau ]}}.}$

куда ${\displaystyle \tau }$ - длина первого цикла и ${\displaystyle R=\int _{0}^{\tau }X(s)ds}$ - значение за первый цикл.

• А измеримая функция регенеративного процесса - это регенеративный процесс с таким же временем регенерации^[8]

Рекомендации

1. Hurter, A. P .; Каминский, Ф. К. (1967). "Применение регенеративных случайных процессов к проблеме управления запасами". Исследование операций. 15 (3): 467–472. Дои:10.1287 / opre.15.3.467. JSTOR  168455.
2. Росс, С. М. (2010). «Теория обновления и ее приложения». Введение в вероятностные модели. С. 421–641. Дои:10.1016 / B978-0-12-375686-2.00003-0. ISBN  9780123756862.
3. Шеллхаас, Гельмут (1979). «Полурагенеративные процессы с неограниченным вознаграждением». Математика исследования операций. 4: 70–78. Дои:10.1287 / moor.4.1.70. JSTOR  3689240.
4. Смит, В. Л. (1955). «Регенеративные случайные процессы». Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. 232 (1188): 6–31. Bibcode:1955РСПСА.232 .... 6С. Дои:10.1098 / rspa.1955.0198.
5. Шелдон М. Росс (2007). Введение в вероятностные модели. Академическая пресса. п. 442. ISBN  0-12-598062-0.
6. Хаас, Питер Дж. (2002). «Регенеративное моделирование». Стохастические сети Петри. Серия Springer по исследованию операций и финансовому инжинирингу. С. 189–273. Дои:10.1007/0-387-21552-2_6. ISBN  0-387-95445-7.
7. Асмуссен, Сорен (2003). «Регенеративные процессы». Прикладная вероятность и очереди. Стохастическое моделирование и прикладная вероятность. 51. С. 168–185. Дои:10.1007/0-387-21525-5_6. ISBN  978-0-387-00211-8.
8. Сигман, Карл (2009) Регенеративные процессы, конспект лекций