Составной процесс Пуассона - Compound Poisson process

А составной процесс Пуассона является непрерывным (случайным) случайный процесс с прыжками. Прыжки происходят случайным образом в соответствии с Пуассоновский процесс и размер скачков также является случайным с заданным распределением вероятностей. Составной пуассоновский процесс, параметризованный скоростью ${\displaystyle \lambda >0}$ и распределение размера прыжка грамм, это процесс ${\displaystyle \{\,Y(t):t\geq 0\,\}}$ данный

${\displaystyle Y(t)=\sum _{i=1}^{N(t)}D_{i}}$

куда, ${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}}$ подсчет Пуассоновский процесс со скоростью ${\displaystyle \lambda }$, и ${\displaystyle \{\,D_{i}:i\geq 1\,\}}$ являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с функцией распределения грамм, которые также не зависят от ${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}.\,}$

Когда ${\displaystyle D_{i}}$ являются неотрицательными целочисленными случайными величинами, то этот составной пуассоновский процесс известен как заикающийся пуассоновский процесс, который имеет особенность, заключающуюся в том, что два или более события происходят за очень короткое время.

Свойства составного процесса Пуассона

В ожидаемое значение составного процесса Пуассона можно рассчитать с использованием результата, известного как Уравнение Вальда в качестве:

${\displaystyle \operatorname {E} (Y(t))=\operatorname {E} (D_{1}+\cdots +D_{N(t)})=\operatorname {E} (N(t))\operatorname {E} (D_{1})=\operatorname {E} (N(t))\operatorname {E} (D)=\lambda t\operatorname {E} (D).}$

Аналогичное использование закон полной дисперсии, то отклонение можно рассчитать как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (Y(t))&=\operatorname {E} (\operatorname {var} (Y(t)\mid N(t)))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (Y(t)\mid N(t)))\\[5pt]&=\operatorname {E} (N(t)\operatorname {var} (D))+\operatorname {var} (N(t)\operatorname {E} (D))\\[5pt]&=\operatorname {var} (D)\operatorname {E} (N(t))+\operatorname {E} (D)^{2}\operatorname {var} (N(t))\\[5pt]&=\operatorname {var} (D)\lambda t+\operatorname {E} (D)^{2}\lambda t\\[5pt]&=\lambda t(\operatorname {var} (D)+\operatorname {E} (D)^{2})\\[5pt]&=\lambda t\operatorname {E} (D^{2}).\end{aligned}}}$

Наконец, используя закон полной вероятности, то функция, производящая момент можно представить следующим образом:

${\displaystyle \Pr(Y(t)=i)=\sum _{n}\Pr(Y(t)=i\mid N(t)=n)\Pr(N(t)=n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (e^{sY})&=\sum _{i}e^{si}\Pr(Y(t)=i)\\[5pt]&=\sum _{i}e^{si}\sum _{n}\Pr(Y(t)=i\mid N(t)=n)\Pr(N(t)=n)\\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)\sum _{i}e^{si}\Pr(Y(t)=i\mid N(t)=n)\\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)\sum _{i}e^{si}\Pr(D_{1}+D_{2}+\cdots +D_{n}=i)\\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)M_{D}(s)^{n}\\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)e^{n\ln(M_{D}(s))}\\[5pt]&=M_{N(t)}(\ln(M_{D}(s)))\\[5pt]&=e^{\lambda t\left(M_{D}(s)-1\right)}.\end{aligned}}}$

Возведение в степень меры

Позволять N, Y, и D быть как указано выше. Позволять μ - вероятностная мера, согласно которой D распространяется, т.е.

${\displaystyle \mu (A)=\Pr(D\in A).\,}$

Позволять δ₀ - тривиальное распределение вероятностей, при котором вся масса равна нулю. Тогда распределение вероятностей из Y(т) - мера

${\displaystyle \exp(\lambda t(\mu -\delta _{0}))\,}$

где экспонента exp (ν) конечной меры ν на Борелевские подмножества из реальная линия определяется

${\displaystyle \exp(\nu )=\sum _{n=0}^{\infty }{\nu ^{*n} \over n!}}$

и

${\displaystyle \nu ^{*n}=\underbrace {\nu *\cdots *\nu } _{n{\text{ factors}}}}$

это свертка мер, и ряд сходится слабо.

Смотрите также

• Пуассоновский процесс
• распределение Пуассона
• Составное распределение Пуассона
• Неоднородный пуассоновский процесс.
• Дробный процесс Пуассона
• Формула Кэмпбелла для функция, производящая момент составного процесса Пуассона