Непрерывный случайный процесс - Continuous stochastic process

Не путать с Стохастический процесс с непрерывным временем.

В теория вероятности, а непрерывный случайный процесс это тип случайный процесс это можно сказать "непрерывный "как функция его" времени "или параметра индекса. Непрерывность - хорошее свойство для (примеров путей) процесса, поскольку это подразумевает, что они хорошо воспитанный в некотором смысле, и, следовательно, их гораздо легче анализировать. Здесь неявно подразумевается, что индекс случайного процесса является непрерывной переменной. Некоторые авторы^[1] определить «непрерывный (стохастический) процесс» как требующий только того, чтобы индексная переменная была непрерывной, без непрерывности путей выборки: в некоторой терминологии это будет случайный процесс с непрерывным временем, параллельно с «дискретным временем». Учитывая возможную путаницу, осторожность необходима.^[1]

Определения

Пусть (Ω, Σ,п) быть вероятностное пространство, позволять Т быть некоторыми интервал времени, и пусть Икс : Т × Ω →S быть случайным процессом. Для простоты в остальной части статьи мы будем использовать пространство состояний. S быть реальная линия р, но определения проходят mutatis mutandis если S является р^п, а нормированное векторное пространство, или даже генерал метрическое пространство.

Непрерывность с вероятностью один

Учитывая время т ∈ Т, Икс как говорят непрерывный с вероятностью один в т если

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left\{\omega \in \Omega \left|\lim _{s\to t}{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}=0\right.\right\}\right)=1.}$

Среднеквадратичная непрерывность

Учитывая время т ∈ Т, Икс как говорят непрерывный в среднеквадратичном в т если E[|Икс_т|²] <+ ∞ и

${\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {E} \left[{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}^{2}\right]=0.}$

Непрерывность в вероятности

Учитывая время т ∈ Т, Икс как говорят непрерывный по вероятности в т если для всех ε > 0,

${\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {P} \left(\left\{\omega \in \Omega \left|{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}\geq \varepsilon \right.\right\}\right)=0.}$

Эквивалентно, Икс непрерывно по вероятности во времени т если

${\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {E} \left[{\frac {{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}}{1+{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}}}\right]=0.}$

Непрерывность распространения

Учитывая время т ∈ Т, Икс как говорят непрерывное распределение в т если

${\displaystyle \lim _{s\to t}F_{s}(x)=F_{t}(x)}$

по всем пунктам Икс на котором F_т непрерывна, где F_т обозначает кумулятивная функция распределения из случайная переменная Икс_т.

Непрерывность образца

Основная статья: Образец непрерывного процесса

Икс как говорят образец непрерывный если Икс_т(ω) непрерывна в т для п-почти все ω ∈ Ω. Непрерывность выборки - подходящее понятие непрерывности для таких процессов, как Itō диффузии.

Феллеровская преемственность

Основная статья: Валочно-непрерывный процесс

Икс считается Валочно-непрерывный процесс если для любого фиксированного т ∈ Т и любой ограниченный, непрерывный и Σ-измеримая функция г : S → р, E^Икс[г(Икс_т)] постоянно зависит от Икс. Вот Икс обозначает начальное состояние процесса Икс, и E^Икс означает ожидание, обусловленное событием, которое Икс начинается в Икс.

Отношения

Отношения между различными типами непрерывности случайных процессов сродни отношениям между различными типами сходимость случайных величин. Особенно:

• непрерывность с вероятностью единица подразумевает непрерывность вероятности;
• непрерывность в среднеквадратичном означает непрерывность в вероятности;
• непрерывность с вероятностью единица не подразумевает и не подразумевается непрерывностью в среднем квадрате;
• непрерывность вероятности подразумевает, но не подразумевает непрерывность распределения.

Заманчиво спутать непрерывность с вероятностью единица и непрерывностью выборки. Непрерывность с вероятностью по одному т Значит это п(А_т) = 0, где событие А_т дан кем-то

${\displaystyle A_{t}=\left\{\omega \in \Omega \left|\lim _{s\to t}{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}\neq 0\right.\right\},}$

и вполне возможно проверить, выполняется ли это для каждого т ∈ Т. С другой стороны, непрерывность выборки требует, чтобы п(А) = 0, где

${\displaystyle A=\bigcup _{t\in T}A_{t}.}$

А является бесчисленный союз событий, поэтому на самом деле это может не быть само событие, поэтому п(А) может быть неопределенным! Еще хуже, даже если А это событие, п(А) может быть строго положительным, даже если п(А_т) = 0 для каждого т ∈ Т. Так обстоит дело, например, с телеграфный процесс.

Заметки

1. Додж, Ю. (2006) Оксфордский словарь статистических терминов, ОУП. ISBN  0-19-920613-9 (Запись для «непрерывного процесса»)

использованная литература

• Kloeden, Peter E .; Платен, Экхард (1992). Численное решение стохастических дифференциальных уравнений. Приложения математики (Нью-Йорк) 23. Берлин: Springer-Verlag. С. 38–39,. ISBN  3-540-54062-8.
• Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (Шестое изд.). Берлин: Springer. ISBN  3-540-04758-1. (См. Лемму 8.1.4)