Уравнение Вальдса - Walds equation

В теория вероятности, Уравнение Вальда, Личность Вальда^[1] или же Лемма Вальда^[2] это важный личность что упрощает расчет ожидаемое значение суммы случайного числа случайных величин. В своей простейшей форме он связывает математическое ожидание суммы случайно многих конечных средних, независимые и одинаково распределенные случайные величины ожидаемому количеству членов в сумме и общему математическому ожиданию случайных величин при условии, что количество членов в сумме равно независимый слагаемых.

Уравнение названо в честь математик Авраам Вальд. Тождество для второго момента дается Уравнение Блэквелла – Гиршика.^[3]

Базовая версия

Позволять (Икс_п)_п∈ℕ быть последовательность действительных, независимых и одинаково распределенных случайных величин, и пусть N быть неотрицательной случайной величиной целого числа, которая не зависит от последовательности (Икс_п)_п∈ℕ. Предположим, что N и Икс_п иметь конечные ожидания. потом

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{1}+\dots +X_{N}]=\operatorname {E} [N]\operatorname {E} [X_{1}]\,.}$

Пример

Ролл шестигранный игральная кость. Возьмите число на кубике (назовите его N) и бросьте это количество шестигранных кубиков, чтобы получить числа Икс₁, . . . , Икс_N, и сложите их значения. По уравнению Вальда в среднем получается значение

${\displaystyle \operatorname {E} [N]\operatorname {E} [X]={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}\cdot {\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}={\frac {441}{36}}={\frac {49}{4}}=12.25\,.}$

Общая версия

Позволять (Икс_п)_п∈ℕ - бесконечная последовательность случайных величин с действительными значениями, и пусть N - неотрицательная целочисленная случайная величина.

Предположить, что:

1. (Икс_п)_п∈ℕ все интегрируемый (конечное среднее) случайные величины,

2. E [Икс_п1_{{N ≥ п}}] = E [Икс_п] П(N ≥ п) для каждого натуральное число п, и

3. бесконечный ряд удовлетворяет

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {E} \!{\bigl [}|X_{n}|1_{\{N\geq n\}}{\bigr ]}<\infty .}$

Тогда случайные суммы

${\displaystyle S_{N}:=\sum _{n=1}^{N}X_{n},\qquad T_{N}:=\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [X_{n}]}$

интегрируемы и

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{N}]=\operatorname {E} [T_{N}].}$

Если, кроме того,

4. (Икс_п)_п∈ℕ все имеют одинаковые ожидания, и

5. N имеет конечное ожидание,

тогда

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{N}]=\operatorname {E} [N]\,\operatorname {E} [X_{1}].}$

Замечание: Обычно имя Уравнение Вальда относится к этому последнему равенству.

Обсуждение предположений

Ясно, что предположение (1) необходимо для формулировки предположения (2) и уравнение Вальда. Предположение (2) контролирует допустимую степень зависимости между последовательностью (Икс_п)_п∈ℕ и число N сроков; увидеть контрпример ниже для необходимость. Обратите внимание, что предположение (2) удовлетворяется, когда N это время остановки для последовательности (Икс_п)_п∈ℕ.^{[нужна цитата ]} Предположение (3) носит более технический характер, подразумевая абсолютная конвергенция и поэтому позволяя произвольную перестановку бесконечной серии в доказательстве.

Если предположение (5) выполняется предположение (3) можно усилить до более простого условия

6. существует реальная постоянная C такой, что E [|Икс_п| 1_{{N ≥ п}}] ≤ C П(N ≥ п) для всех натуральных чисел п.

Действительно, используя предположение (6),

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {E} \!{\bigl [}|X_{n}|1_{\{N\geq n\}}{\bigr ]}\leq C\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {P} (N\geq n),}$

а последняя серия равна ожиданию N ^{[Доказательство ]}, которая по предположению конечна (5). Следовательно, (5) и (6) следует предположение (3).

Предположим в дополнение к (1) и (5) который

7. N не зависит от последовательности (Икс_п)_п∈ℕ и

8. существует постоянная C такой, что E [|Икс_п|] ≤ C для всех натуральных чисел п.

Тогда все предположения (1), (2), (5) и (6), следовательно, и (3) довольны. В частности, условия (4) и (8) удовлетворены, если

9. случайные величины (Икс_п)_п∈ℕ у всех одинаковое распределение.

Обратите внимание, что случайные величины последовательности (Икс_п)_п∈ℕ не нужно быть независимым.

Интересно допустить некоторую зависимость между случайным числом N терминов и последовательность (Икс_п)_п∈ℕ. Стандартная версия предполагает (1), (5), (8) и наличие фильтрация (F_п)_п∈ℕ0 такой, что

10. N это время остановки относительно фильтрации, и

11. Икс_п и F_п–1 независимы для каждого п ∈ ℕ.

Потом (10) означает, что событие {N ≥ п} = {N ≤ п – 1}^c в F_п–1, следовательно, по (11) независим от Икс_п. Из этого следует (2), а вместе с (8) следует (6).

Для удобства (см. Доказательство ниже с использованием теоремы о необязательной остановке) и для указания отношения последовательности (Икс_п)_п∈ℕ и фильтрация (F_п)_п∈ℕ0, часто делается следующее дополнительное предположение:

12. последовательность (Икс_п)_п∈ℕ является адаптированный к фильтрации (F_п)_п∈ℕ, имея в виду Икс_п является F_п-измеримый для каждого п ∈ ℕ.

Обратите внимание, что (11) и (12) вместе означают, что случайные величины (Икс_п)_п∈ℕ независимы.

Заявление

Приложение находится в актуарная наука при рассмотрении общей суммы претензии следует составной процесс Пуассона

${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}X_{n}}$

в течение определенного периода времени, скажем, одного года, в результате случайного числа N индивидуальных страховых случаев, размеры которых описываются случайными величинами (Икс_п)_п∈ℕ. Согласно приведенным выше предположениям, уравнение Вальда можно использовать для расчета ожидаемой общей суммы претензии, когда доступна информация о среднем количестве претензий в год и среднем размере претензии. При более сильных предположениях и с дополнительной информацией об основных распределениях, Рекурсия Панджера можно использовать для расчета распределения S_N.

Примеры

Пример с зависимыми терминами

Позволять N быть интегрируемым, ℕ₀-значная случайная величина, которая не зависит от интегрируемой случайной величины с действительным знаком Z с E [Z] = 0. Определять Икс_п = (–1)^п Z для всех п ∈ ℕ. Тогда предположения (1), (5), (7), и (8) с C : = E [|Z|] выполнены, следовательно, (2) и (6), и применимо уравнение Вальда. Если распределение Z несимметричен, то (9) не выполняется. Обратите внимание, что когда Z почти наверняка не равна нулевой случайной величине, то (11) и (12) не может выполняться одновременно ни для какой фильтрации (F_п)_п∈ℕ, потому что Z не может быть независимым от себя, как E [Z ²] = (E [Z])² = 0 невозможно.

Пример, где количество терминов зависит от последовательности

Позволять (Икс_п)_п∈ℕ - последовательность независимых, симметричных и {–1, +1} -значные случайные величины. Для каждого п ∈ ℕ позволять F_п быть σ-алгебра создано Икс₁, . . . , Икс_п и определить N = п когда Икс_п первая случайная величина, принимающая значение +1. Обратите внимание, что П(N = п) = 1/2^п, следовательно E [N] < ∞ посредством тест соотношения. Предположения (1), (5) и (9), следовательно (4) и (8) с C = 1, (10), (11), и (12), следовательно, также (2), и (6) и применяется уравнение Вальда. Тем не мение, (7) не выполняется, потому что N определяется в терминах последовательности (Икс_п)_п∈ℕ. Интуитивно можно было ожидать, что E [S_N] > 0 в этом примере, потому что суммирование останавливается сразу после единицы, что, очевидно, создает положительное смещение. Однако уравнение Вальда показывает, что эта интуиция ошибочна.

Контрпримеры

Контрпример, иллюстрирующий необходимость предположения (2)

Рассмотрим последовательность (Икс_п)_п∈ℕ из i.i.d. случайные величины, принимающие каждое из двух значений 0 и 1 с вероятностью 1/2 (фактически, только Икс₁ необходимо в дальнейшем). Определять N = 1 – Икс₁. потом S_N тождественно равно нулю, поэтому E [S_N] = 0, но E [Икс₁] = ½ и E [N] = ½ и поэтому уравнение Вальда не выполняется. Действительно, предположения (1), (3), (4) и (5), однако уравнение в предположении (2) выполняется для всех п ∈ ℕ кроме п = 1.

Контрпример, иллюстрирующий необходимость предположения (3)

Очень похоже на второй пример выше, пусть (Икс_п)_п∈ℕ последовательность независимых симметричных случайных величин, где Икс_п принимает каждое из значений 2^п и –2^п с вероятностью ½. Позволять N быть первым п ∈ ℕ такой, что Икс_п = 2^п. Затем, как указано выше, N имеет конечное ожидание, следовательно, предположение (5) имеет место. С E [Икс_п] = 0 для всех п ∈ ℕ, предположения (1) и (4) держать. Однако, поскольку S_N = 1 почти наверняка уравнение Вальда не может выполняться.

С N время остановки по отношению к фильтрации, порожденной (Икс_п)_п∈ℕ, предположение (2), см. выше. Следовательно, только предположение (3) может потерпеть неудачу, и действительно, поскольку

${\displaystyle \{N\geq n\}=\{X_{i}=-2^{i}{\text{ for }}i=1,\ldots ,n-1\}}$

и поэтому П(N ≥ п) = 1/2^п–1 для каждого п ∈ ℕ, следует, что

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {E} \!{\bigl [}|X_{n}|1_{\{N\geq n\}}{\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\,\operatorname {P} (N\geq n)=\sum _{n=1}^{\infty }2=\infty .}$

Доказательство с использованием теоремы о необязательной остановке

Предполагать (1), (5), (8), (10), (11) и (12). Используя предположение (1), определим последовательность случайных величин

${\displaystyle M_{n}=\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\operatorname {E} [X_{i}]),\quad n\in {\mathbb {N} }_{0}.}$

Предположение (11) означает, что условное ожидание Икс_п данный F_п–1 равно E [Икс_п] почти наверняка для каждого п ∈ ℕ, следовательно (M_п)_п∈ℕ0 это мартингейл относительно фильтрации (F_п)_п∈ℕ0 по предположению (12). Предположения (5), (8) и (10) убедитесь, что мы можем применить теорема о необязательной остановке, следовательно M_N = S_N – Т_N интегрируем и

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{N}-T_{N}]=\operatorname {E} [M_{0}]=0.}$

(13)

По предположению (8),

${\displaystyle |T_{N}|={\biggl |}\sum _{i=1}^{N}\operatorname {E} [X_{i}]{\biggr |}\leq \sum _{i=1}^{N}\operatorname {E} [|X_{i}|]\leq CN,}$

и в силу предположения (5) эта верхняя оценка интегрируема. Следовательно, мы можем добавить ожидание Т_N к обеим сторонам уравнения (13) и по линейности получим

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{N}]=\operatorname {E} [T_{N}].}$

Замечание: Обратите внимание, что это доказательство не покрывает приведенный выше пример с зависимыми терминами.

Общее доказательство

Это доказательство использует только Монотонность Лебега и теоремы о доминируемой сходимости Мы докажем приведенное выше утверждение в три этапа.

Шаг 1: интегрируемость случайной суммы S_N

Сначала покажем, что случайная сумма S_N интегрируемо. Определите частичные суммы

${\displaystyle S_{i}=\sum _{n=1}^{i}X_{n},\quad i\in {\mathbb {N} }_{0}.}$

(14)

С N принимает свои ценности в ℕ₀ и с тех пор S₀ = 0, следует, что

${\displaystyle |S_{N}|=\sum _{i=1}^{\infty }|S_{i}|\,1_{\{N=i\}}.}$

В Теорема о монотонной сходимости Лебега подразумевает, что

${\displaystyle \operatorname {E} [|S_{N}|]=\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {E} [|S_{i}|\,1_{\{N=i\}}].}$

По неравенству треугольника

${\displaystyle |S_{i}|\leq \sum _{n=1}^{i}|X_{n}|,\quad i\in {\mathbb {N} }.}$

Используя эту оценку сверху и изменив порядок суммирования (что разрешено, поскольку все члены неотрицательны), получаем

${\displaystyle \operatorname {E} [|S_{N}|]\leq \sum _{n=1}^{\infty }\sum _{i=n}^{\infty }\operatorname {E} [|X_{n}|\,1_{\{N=i\}}]=\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {E} [|X_{n}|\,1_{\{N\geq n\}}],}$

(15)

где второе неравенство следует из теоремы о монотонной сходимости. По предположению (3) бесконечная последовательность в правой части (15) сходится, поэтому S_N интегрируемо.

Шаг 2: интегрируемость случайной суммы Т_N

Теперь покажем, что случайная сумма Т_N интегрируемо. Определите частичные суммы

${\displaystyle T_{i}=\sum _{n=1}^{i}\operatorname {E} [X_{n}],\quad i\in {\mathbb {N} }_{0},}$

(16)

реальных чисел. С N принимает свои ценности в ℕ₀ и с тех пор Т₀ = 0, следует, что

${\displaystyle |T_{N}|=\sum _{i=1}^{\infty }|T_{i}|\,1_{\{N=i\}}.}$

Как и в шаге 1, Теорема о монотонной сходимости Лебега подразумевает, что

${\displaystyle \operatorname {E} [|T_{N}|]=\sum _{i=1}^{\infty }|T_{i}|\operatorname {P} (N=i).}$

По неравенству треугольника

${\displaystyle |T_{i}|\leq \sum _{n=1}^{i}{\bigl |}\!\operatorname {E} [X_{n}]{\bigr |},\quad i\in {\mathbb {N} }.}$

Используя эту оценку сверху и изменив порядок суммирования (что разрешено, поскольку все члены неотрицательны), получаем

${\displaystyle \operatorname {E} [|T_{N}|]\leq \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl |}\!\operatorname {E} [X_{n}]{\bigr |}\underbrace {\sum _{i=n}^{\infty }\operatorname {P} (N=i)} _{=\,\operatorname {P} (N\geq n)},}$

(17)

По предположению (2),

${\displaystyle {\bigl |}\!\operatorname {E} [X_{n}]{\bigr |}\operatorname {P} (N\geq n)={\bigl |}\!\operatorname {E} [X_{n}1_{\{N\geq n\}}]{\bigr |}\leq \operatorname {E} [|X_{n}|1_{\{N\geq n\}}],\quad n\in {\mathbb {N} }.}$

Подставив это в (17) дает

${\displaystyle \operatorname {E} [|T_{N}|]\leq \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {E} [|X_{n}|1_{\{N\geq n\}}],}$

что по предположению конечно (3), следовательно Т_N интегрируемо.

Шаг 3: Подтверждение личности

Чтобы доказать уравнение Вальда, мы, по сути, проделаем те же шаги снова без абсолютного значения, используя интегрируемость случайных сумм S_N и Т_N чтобы показать, что у них такие же ожидания.

С использованием теорема о доминируемой сходимости с доминирующей случайной величиной |S_N| и определение частичной суммы S_я приведены в (14), следует, что

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{N}]=\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {E} [S_{i}1_{\{N=i\}}]=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{i}\operatorname {E} [X_{n}1_{\{N=i\}}].}$

Ввиду абсолютной сходимости, доказанной в (15) выше с использованием предположения (3), можно переставить суммирование и получить

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{N}]=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{i=n}^{\infty }\operatorname {E} [X_{n}1_{\{N=i\}}]=\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {E} [X_{n}1_{\{N\geq n\}}],}$

где мы использовали предположение (1) и теорема о доминирующей сходимости с доминирующей случайной величиной |Икс_п| для второго равенства. По предположению (2) и σ-аддитивность вероятностной меры,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X_{n}1_{\{N\geq n\}}]&=\operatorname {E} [X_{n}]\operatorname {P} (N\geq n)\\&=\operatorname {E} [X_{n}]\sum _{i=n}^{\infty }\operatorname {P} (N=i)=\sum _{i=n}^{\infty }\operatorname {E} \!{\bigl [}\operatorname {E} [X_{n}]1_{\{N=i\}}{\bigr ]}.\end{aligned}}}$

Подставляя этот результат в предыдущее уравнение, перестраивая суммирование (что разрешено из-за абсолютной сходимости, см. (15) выше), используя линейность математического ожидания и определение частичной суммы Т_я ожиданий, данных в (16),

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{N}]=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{i}\operatorname {E} \!{\bigl [}\operatorname {E} [X_{n}]1_{\{N=i\}}{\bigr ]}=\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {E} [\underbrace {T_{i}1_{\{N=i\}}} _{=\,T_{N}1_{\{N=i\}}}].}$

Снова используя доминирующую сходимость с доминирующей случайной величиной |Т_N|,

${\displaystyle \operatorname {E} [S_{N}]=\operatorname {E} \!{\biggl [}T_{N}\underbrace {\sum _{i=1}^{\infty }1_{\{N=i\}}} _{=\,1_{\{N\geq 1\}}}{\biggr ]}=\operatorname {E} [T_{N}].}$

Если предположения (4) и (5) выполнены, то по линейности математического ожидания

${\displaystyle \operatorname {E} [T_{N}]=\operatorname {E} \!{\biggl [}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [X_{n}]{\biggr ]}=\operatorname {E} [X_{1}]\operatorname {E} \!{\biggl [}\underbrace {\sum _{n=1}^{N}1} _{=\,N}{\biggr ]}=\operatorname {E} [N]\operatorname {E} [X_{1}].}$

Это завершает доказательство.

Дальнейшие обобщения

• Уравнение Вальда можно перенести на р^d-значные случайные величины (Икс_п)_п∈ℕ путем применения одномерной версии к каждому компоненту.
• Если (Икс_п)_п∈ℕ находятся Интегрируемый по Бохнеру случайные величины, принимающие значения в Банахово пространство, то приведенное выше общее доказательство можно соответствующим образом скорректировать.

Смотрите также

• Неравенство лордена
• Мартингейл Вальда
• Формула Спитцера

Примечания

1. Янссен, Жак; Манка, Раймондо (2006). «Теория обновления». Прикладные полумарковские процессы. Springer. стр.45 –104. Дои:10.1007/0-387-29548-8_2. ISBN  0-387-29547-X.
2. Thomas Bruss, F .; Робертсон, Дж. Б. (1991). "'Лемма Вальда для сумм порядковых статистик i.i.d. Случайные переменные". Достижения в прикладной теории вероятностей. 23 (3): 612–623. Дои:10.2307/1427625. JSTOR  1427625.
3. Blackwell, D .; Гиршик, М.А. (1946). «О функциях последовательностей независимых векторов случайности с приложениями к проблеме« случайного блуждания »в k измерениях». Анна. Математика. Статист. 17: 310–317. Дои:10.1214 / aoms / 1177730943.

Рекомендации

• Вальд, Абрахам (сентябрь 1944 г.). «О совокупных суммах случайных величин». Анналы математической статистики. 15 (3): 283–296. Дои:10.1214 / aoms / 1177731235. JSTOR  2236250. МИСТЕР  0010927. Zbl  0063.08122.
• Вальд, Абрахам (1945). «Некоторые обобщения теории кумулятивных сумм случайных величин». Анналы математической статистики. 16 (3): 287–293. Дои:10.1214 / aoms / 1177731092. JSTOR  2235707. МИСТЕР  0013852. Zbl  0063.08129.
• Blackwell, D .; Гиршик, М.А. (1946). «О функциях последовательностей независимых векторов случайности с приложениями к проблеме« случайного блуждания »в k измерениях». Анна. Математика. Статист. 17: 310–317. Дои:10.1214 / aoms / 1177730943.
• Чан, Хок Пэн; Фух, Ченг-Дер; Ху, Инчи (2006). «Проблема многорукого бандита с отношениями приоритета». Временные ряды и связанные темы. Конспект лекций Института математической статистики - Серия монографий. 52. С. 223–235. arXiv:математика / 0702819. Дои:10.1214/074921706000001067. ISBN  978-0-940600-68-3.

внешняя ссылка

• "Уолд идентичность", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]