Ковариационная функция - Covariance function

В теория вероятности и статистика, ковариация является мерой того, насколько две переменные изменяются вместе, а ковариационная функция, или же ядро, описывает пространственную или временную ковариацию процесса или поля случайной величины. Для случайное поле или же случайный процесс Z(Икс) в домене D, ковариационная функция C(Икс, у) дает ковариацию значений случайного поля в двух местах Икс и у:

${displaystyle C(x,y):=operatorname {cov} (Z(x),Z(y))=mathbb {E} left[{Z(x)-mathbb {E} [Z(x)]}cdot {Z(y)-mathbb {E} [Z(y)]}ight].,}$

Такой же C(Икс, у) называется автоковариация функция в двух экземплярах: в Временные ряды (для обозначения того же самого понятия, за исключением того, что Икс и у относятся к местоположениям во времени, а не в пространстве), и в многомерных случайных полях (для обозначения ковариации переменной с самой собой, в отличие от перекрестная ковариация между двумя разными переменными в разных местах, Cov (Z(Икс₁), Y(Икс₂))).^[1]

Допустимость

Для локаций Икс₁, Икс₂, …, Икс_N ∈ D дисперсия каждой линейной комбинации

${displaystyle X=sum _{i=1}^{N}w_{i}Z(x_{i})}$

можно вычислить как

${displaystyle operatorname {var} (X)=sum _{i=1}^{N}sum _{j=1}^{N}w_{i}C(x_{i},x_{j})w_{j}.}$

Функция является допустимой ковариационной функцией тогда и только тогда, когда^[2] эта дисперсия неотрицательна для всех возможных вариантов выбора N и веса ш₁, …, ш_N. Функция с этим свойством называется положительно определенный.

Упрощения со стационарностью

В случае слабой стационарный случайное поле, куда

${displaystyle C(x_{i},x_{j})=C(x_{i}+h,x_{j}+h),}$

при любом отставании час, ковариационная функция может быть представлена ​​однопараметрической функцией

${displaystyle C_{s}(h)=C(0,h)=C(x,x+h),}$

который называется ковариограмма а также ковариационная функция. Неявно C(Икс_я, Икс_j) можно вычислить из C_s(час) к:

${displaystyle C(x,y)=C_{s}(y-x).,}$

В положительная определенность этой версии ковариационной функции с одним аргументом можно проверить с помощью Теорема Бохнера.^[2]

Параметрические семейства ковариационных функций

Простая стационарная параметрическая ковариационная функция - это «экспоненциальная ковариационная функция».

${displaystyle C(d)=exp(-d/V)}$

куда V - параметр масштабирования, а d = d(Икс,у) - расстояние между двумя точками. Примеры путей Гауссовский процесс с экспоненциальной ковариационной функцией не являются гладкими. "Квадрат экспоненциальной ковариационной функции"

${displaystyle C(d)=exp(-(d/V)^{2})}$

- стационарная ковариационная функция с гладкими траекториями выборки.

В Ковариационная функция Матерна и рациональная квадратичная ковариационная функция - два параметрических семейства стационарных ковариационных функций. Семейство Матернов включает экспоненциальную и экспоненциальную ковариационные функции в квадрате как частные случаи.

Смотрите также

• Вариограмма
• Случайное поле
• Стохастический процесс
• Кригинг
• Автокорреляционная функция
• Корреляционная функция
• Положительно определенное ядро

Рекомендации

1. Вакернагель, Ганс (2003). Многомерная геостатистика. Springer.
2. Кресси, Ноэль А.С. (1993). Статистика для пространственных данных. Wiley-Interscience.