Автоковариация - Autocovariance

В теория вероятности и статистика, учитывая случайный процесс, то автоковариация это функция, которая дает ковариация процесса с самим собой в пары временных точек. Автоковариация тесно связана с автокорреляция рассматриваемого процесса.

Автоковариантность случайных процессов

Определение

С обычными обозначениями ${\displaystyle \operatorname {E} }$ для ожидание оператор, если случайный процесс ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ имеет иметь в виду функция ${\displaystyle \mu _{t}=\operatorname {E} [X_{t}]}$, то автоковариация определяется выражением^{[1]:п. 162}

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} \left[X_{t_{1}},X_{t_{2}}\right]=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}X_{t_{2}}]-\mu _{t_{1}}\mu _{t_{2}}}$

(Уравнение 2)

куда ${\displaystyle t_{1}}$ и ${\displaystyle t_{2}}$ два момента во времени.

Определение слабо стационарного процесса

Если ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ это слабо стационарный (WSS) процесс, то верно следующее:^{[1]:п. 163}

${\displaystyle \mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu }$ для всех ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

и

${\displaystyle \operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty }$ для всех ${\displaystyle t}$

и

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1},0)\triangleq \operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1})=\operatorname {K} _{XX}(\tau ),}$

куда ${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$ - время задержки или время, на которое сигнал был сдвинут.

Таким образом, функция автоковариации процесса WSS определяется следующим образом:^{[2]:п. 517}

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t}-\mu _{t})(X_{t-\tau }-\mu _{t-\tau })]=\operatorname {E} [X_{t}X_{t-\tau }]-\mu _{t}\mu _{t-\tau }}$

(Уравнение 3)

что эквивалентно

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{t+\tau })(X_{t}-\mu _{t})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }X_{t}]-\mu ^{2}}$.

Нормализация

Это обычная практика в некоторых дисциплинах (например, статистика и анализ временных рядов ), чтобы нормализовать функцию автоковариации, чтобы получить зависящую от времени Коэффициент корреляции Пирсона. Однако в других дисциплинах (например, инженерии) от нормализации обычно отказываются, и термины «автокорреляция» и «автоковариация» используются как взаимозаменяемые.

Определение нормализованной автокорреляции случайного процесса:

${\displaystyle \rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}}$.

Если функция ${\displaystyle \rho _{XX}}$ четко определено, его значение должно лежать в диапазоне ${\displaystyle [-1,1]}$, где 1 указывает на идеальную корреляцию, а -1 указывает на идеальную антикорреляция.

Для процесса WSS это определение

${\displaystyle \rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t}-\mu )(X_{t+\tau }-\mu )]}{\sigma ^{2}}}}$.

куда

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}}$.

Характеристики

Свойство симметрии

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {K} _{XX}(t_{2},t_{1})}}}$^{[3]:стр.169}

соответственно для процесса WSS:

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {K} _{XX}(-\tau )}}}$^{[3]:стр.173}

Линейная фильтрация

Автоковариантность линейно фильтрованного процесса ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}\,}$

является

${\displaystyle K_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}K_{XX}(\tau +k-l).\,}$

Расчет турбулентной диффузии

Автоковариацию можно использовать для расчета бурный диффузность.^[4] Турбулентность потока может вызвать колебания скорости в пространстве и времени. Таким образом, мы можем идентифицировать турбулентность по статистике этих колебаний.^{[нужна цитата ]}.

Разложение Рейнольдса используется для определения пульсаций скорости ${\displaystyle u'(x,t)}$ (предположим, что сейчас мы работаем с одномерной задачей и ${\displaystyle U(x,t)}$ скорость по ${\displaystyle x}$ направление):

${\displaystyle U(x,t)=\langle U(x,t)\rangle +u'(x,t),}$

куда ${\displaystyle U(x,t)}$ - истинная скорость, а ${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$ это ожидаемое значение скорости. Если мы выберем правильный ${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$, все стохастические компоненты турбулентной скорости будут включены в ${\displaystyle u'(x,t)}$. Чтобы определить ${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$, требуется набор измерений скорости, собранных из точек в пространстве, моментов времени или повторных экспериментов.

Если принять турбулентный поток ${\displaystyle \langle u'c'\rangle }$ (${\displaystyle c'=c-\langle c\rangle }$, и c - член концентрации) может быть вызвано случайным блужданием, мы можем использовать Законы диффузии Фика чтобы выразить член турбулентного потока:

${\displaystyle J_{{\text{turbulence}}_{x}}=\langle u'c'\rangle \approx D_{T_{x}}{\frac {\partial \langle c\rangle }{\partial x}}.}$

Автоковариация скорости определяется как

${\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\rangle }$ или же ${\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\rangle ,}$

куда ${\displaystyle \tau }$ время задержки, и ${\displaystyle r}$ это расстояние запаздывания.

Турбулентная диффузия ${\displaystyle D_{T_{x}}}$ можно рассчитать с помощью следующих 3 методов:

1. Если у нас есть данные о скорости вдоль Лагранжева траектория:

   ${\displaystyle D_{T_{x}}=\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .}$

2. Если у нас есть данные о скорости на одном фиксированном (Эйлеров ) место расположения^{[нужна цитата ]}:
   ${\displaystyle D_{T_{x}}\approx [0.3\pm 0.1]\left[{\frac {\langle u'u'\rangle +\langle u\rangle ^{2}}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .}$
3. Если у нас есть информация о скорости в двух фиксированных (эйлеровых) точках^{[нужна цитата ]}:
   ${\displaystyle D_{T_{x}}\approx [0.4\pm 0.1]\left[{\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{r}^{\infty }u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\,dr,}$
   куда ${\displaystyle r}$ - это расстояние, разделенное этими двумя фиксированными точками.

Автоковариация случайных векторов

Основная статья: Матрица автоковариации

Смотрите также

• Авторегрессионный процесс
• Корреляция
• Кросс-ковариация
• Взаимная корреляция
• Оценка ковариации шума (как пример приложения)

Рекомендации

1. Хсу, Хвей (1997). Вероятность, случайные величины и случайные процессы. Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-07-030644-8.
2. Лапидот, Амос (2009). Фонд цифровых коммуникаций. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-19395-5.
3. Кун Иль Парк, Основы вероятностных и случайных процессов с приложениями к коммуникациям, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
4. Тейлор, Г. И. (1922-01-01). «Распространение непрерывным движением» (PDF). Труды Лондонского математического общества. s2-20 (1): 196–212. Дои:10.1112 / плмс / с2-20.1.196. ISSN  1460–244X.

• Хоэль, П. Г. (1984). Математическая статистика (Пятое изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN  978-0-471-89045-4.
• Конспект лекций по автоковариантности от WHOI