Матрица взаимной корреляции - Cross-correlation matrix

Для использования в других целях см. Корреляционная функция (значения).

В матрица взаимной корреляции из двух случайные векторы представляет собой матрицу, содержащую в качестве элементов взаимные корреляции всех пар элементов случайных векторов. Матрица взаимной корреляции используется в различных алгоритмах обработки цифрового сигнала.

Определение

Для двух случайные векторы ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\rm {T}}}$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\rm {T}}}$, каждый из которых содержит случайные элементы чей ожидаемое значение и отклонение существуют, матрица взаимной корреляции из ${\displaystyle \mathbf {X} }$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ определяется^{[1]:стр.337}

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\rm {T}}]}$

и имеет размеры ${\displaystyle m\times n}$. Написано покомпонентно:

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\\\\\end{bmatrix}}}$

Случайные векторы ${\displaystyle \mathbf {X} }$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ необязательно иметь одинаковое измерение, и любое из них может быть скалярным значением.

Пример

Например, если ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}}$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)^{\rm {T}}}$ случайные векторы, то${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$ это ${\displaystyle 3\times 2}$ матрица, чья ${\displaystyle (i,j)}$-я запись ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]}$.

Матрица взаимной корреляции сложных случайных векторов

Если ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})^{\rm {T}}}$ и ${\displaystyle \mathbf {W} =(W_{1},\ldots ,W_{n})^{\rm {T}}}$ находятся комплексные случайные векторы, каждая из которых содержит случайные переменные, ожидаемое значение и дисперсия которых существуют, матрица взаимной корреляции ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ и ${\displaystyle \mathbf {W} }$ определяется

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]}$

куда ${\displaystyle {}^{\rm {H}}}$ обозначает Эрмитова транспозиция.

Некоррелированность

Два случайных вектора ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\rm {T}}}$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\rm {T}}}$ называются некоррелированный если

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}.}$

Они некоррелированы тогда и только тогда, когда их матрица кросс-ковариации ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$ матрица нулевая.

В случае двух комплексные случайные векторы ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ и ${\displaystyle \mathbf {W} }$ они называются некоррелированными, если

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {H}}}$

и

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {T}}.}$

Характеристики

Связь с матрицей кросс-ковариаций

Взаимная корреляция связана с матрица кросс-ковариации следующее:

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\rm {T}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}}$

Соответственно для сложных случайных векторов:

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])^{\rm {H}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {H}}}$

Смотрите также

• Автокорреляция
• Корреляция не подразумевает причинно-следственной связи
• Ковариационная функция
• Коэффициент корреляции продукт-момент Пирсона
• Корреляционная функция (астрономия)
• Корреляционная функция (статистическая механика)
• Корреляционная функция (квантовая теория поля)
• Взаимная информация
• Теория искажения скорости
• Функция радиального распределения

Рекомендации

1. Губнер, Джон А. (2006). Вероятность и случайные процессы для инженеров-электриков и компьютерщиков. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-86470-1.

дальнейшее чтение

• Хейс, Монсон Х., Статистическая обработка цифровых сигналов и моделирование, John Wiley & Sons, Inc., 1996. ISBN  0-471-59431-8.
• Соломон В. Голомб и Гуан Гун. Дизайн сигнала для хорошей корреляции: для беспроводной связи, криптографии и радара. Издательство Кембриджского университета, 2005.
• М. Солтаналиан. Дизайн сигналов для активного зондирования и связи. Упсальские диссертации факультета науки и технологий (напечатаны Elanders Sverige AB), 2014 г.