Комплексный случайный вектор - Complex random vector

В теория вероятности и статистика, а комплексный случайный вектор обычно кортеж из сложный -значен случайные переменные, и обычно является случайной величиной, принимающей значения в векторное пространство над поле комплексных чисел. Если ${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{n}}$ являются комплексными случайными величинами, то ппара ${\displaystyle \left(Z_{1},\ldots ,Z_{n}\right)}$ - сложный случайный вектор. Сложные случайные величины всегда можно рассматривать как пары реальных случайных векторов: их действительную и мнимую части.

Некоторые концепции реальных случайных векторов имеют прямое обобщение на сложные случайные векторы. Например, определение иметь в виду сложного случайного вектора. Другие концепции уникальны для сложных случайных векторов.

Приложения сложных случайных векторов находятся в цифровая обработка сигналов.

Определение

Сложный случайный вектор ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{T}}$ на вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ это функция ${\displaystyle \mathbf {Z} \colon \Omega \rightarrow \mathbb {C} ^{n}}$ такой, что вектор ${\displaystyle (\Re {(Z_{1})},\Im {(Z_{1})},\ldots ,\Re {(Z_{n})},\Im {(Z_{n})})^{T}}$ настоящий реальный случайный вектор на ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ куда ${\displaystyle \Re {(z)}}$ обозначает действительную часть ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle \Im {(z)}}$ обозначает мнимую часть ${\displaystyle z}$.^{[1]:п. 292}

Кумулятивная функция распределения

Обобщение кумулятивной функции распределения от реальных до комплексных случайных величин неочевидно, поскольку выражения вида ${\displaystyle P(Z\leq 1+3i)}$ не имеет смысла. Однако выражения формы ${\displaystyle P(\Re {(Z)}\leq 1,\Im {(Z)}\leq 3)}$ имеет смысл. Следовательно, кумулятивная функция распределения ${\displaystyle F_{\mathbf {Z} }:\mathbb {C} ^{n}\mapsto [0,1]}$ случайного вектора ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},...,Z_{n})^{T}}$ определяется как

${\displaystyle F_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )=\operatorname {P} (\Re {(Z_{1})}\leq \Re {(z_{1})},\Im {(Z_{1})}\leq \Im {(z_{1})},\ldots ,\Re {(Z_{n})}\leq \Re {(z_{n})},\Im {(Z_{n})}\leq \Im {(z_{n})})}$

(Уравнение 1)

куда ${\displaystyle \mathbf {z} =(z_{1},...,z_{n})^{T}}$.

Ожидание

Как и в реальном случае ожидание (также называемый ожидаемое значение ) комплексного случайного вектора берется покомпонентно.^{[1]:п. 293}

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} ]=(\operatorname {E} [Z_{1}],\ldots ,\operatorname {E} [Z_{n}])^{T}}$

(Уравнение 2)

Матрица ковариации и матрица псевдоковариации

Определения

В ковариационная матрица (также называемый второй центральный момент) ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }}$ содержит ковариации между всеми парами компонентов. Ковариационная матрица ${\displaystyle n\times 1}$ случайный вектор - это ${\displaystyle n\times n}$ матрица чей ${\displaystyle (i,j)}$^th элемент - это ковариация между я ^th и j ^th случайные переменные.^{[2]:стр.372} В отличие от реальных случайных величин, ковариация между двумя случайными величинами включает комплексно сопряженный одного из двух. Таким образом, ковариационная матрица представляет собой Эрмитова матрица.^{[1]:п. 293}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatorname {cov} [\mathbf {Z} ,\mathbf {Z} ]=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])}^{H}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{H}]-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {Z} ^{H}]\\[12pt]\end{aligned}}}$

(Уравнение 3)

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])}}]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])}}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])}}]\end{bmatrix}}}$

В псевдоковариационная матрица (также называемая матрицей отношений) определяется следующим образом. В отличие от ковариационной матрицы, определенной выше Эрмитова транспозиция заменяется на транспозиция в определении.

${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatorname {cov} [\mathbf {Z} ,{\overline {\mathbf {Z} }}]=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])}^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {Z} ^{T}]}$

(Уравнение 4)

${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])]\end{bmatrix}}}$

Характеристики

Ковариационная матрица - это эрмитова матрица, т.е.^{[1]:п. 293}

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }^{H}=\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }}$.

Матрица псевдоковариации - это симметричная матрица, т.е.

${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }^{T}=\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }}$.

Ковариационная матрица - это положительно полуопределенная матрица, т.е.

${\displaystyle \mathbf {a} ^{H}\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {C} ^{n}}$.

Ковариационные матрицы действительной и мнимой частей

Разложив случайный вектор ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ в свою настоящую часть ${\displaystyle \mathbf {X} =\Re {(\mathbf {Z} )}}$ и мнимая часть ${\displaystyle \mathbf {Y} =\Im {(\mathbf {Z} )}}$ (т.е. ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$), матрицы ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }}$ и ${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }}$ можно связать с ковариационными матрицами ${\displaystyle \mathbf {X} }$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ через следующие выражения:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }+\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\\&\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} (-\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }+\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\\&\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} (\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }+\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\\&\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }-\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\end{aligned}}}$

и наоборот

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }+\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {Y} }+i(\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }-\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} })\\&\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }-\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {Y} }+i(\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }+\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} })\end{aligned}}}$

Матрица кросс-ковариаций и матрица псевдокросс-ковариаций

Определения

В матрица кросс-ковариации между двумя комплексными случайными векторами ${\displaystyle \mathbf {Z} ,\mathbf {W} }$ определяется как:

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {cov} [\mathbf {Z} ,\mathbf {W} ]=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])}^{H}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{H}]-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ^{H}]}$

(Уравнение 5)

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])}}]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])}}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])}}]\end{bmatrix}}}$

И матрица псевдокросс-ковариаций определяется как:

${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {cov} [\mathbf {Z} ,{\overline {\mathbf {W} }}]=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])}^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ^{T}]}$

(Уравнение 6)

${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])]\end{bmatrix}}}$

Некоррелированность

Два сложных случайных вектора ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ и ${\displaystyle \mathbf {W} }$ называются некоррелированный если

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=0}$.

Независимость

Основная статья: Независимость (теория вероятностей)

Два сложных случайных вектора ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},...,Z_{m})^{T}}$ и ${\displaystyle \mathbf {W} =(W_{1},...,W_{n})^{T}}$ называются независимый если

${\displaystyle F_{\mathbf {Z,W} }(\mathbf {z,w} )=F_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )\cdot F_{\mathbf {W} }(\mathbf {w} )\quad {\text{for all }}\mathbf {z} ,\mathbf {w} }$

(Уравнение 7)

куда ${\displaystyle F_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )}$ и ${\displaystyle F_{\mathbf {W} }(\mathbf {w} )}$ обозначают кумулятивные функции распределения ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ и ${\displaystyle \mathbf {W} }$ как определено в Уравнение 1 и ${\displaystyle F_{\mathbf {Z,W} }(\mathbf {z,w} )}$ обозначает их совместную кумулятивную функцию распределения. Независимость ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ и ${\displaystyle \mathbf {W} }$ часто обозначается как ${\displaystyle \mathbf {Z} \perp \!\!\!\perp \mathbf {W} }$. Написано покомпонентно, ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ и ${\displaystyle \mathbf {W} }$ называются независимыми, если

${\displaystyle F_{Z_{1},\ldots ,Z_{m},W_{1},\ldots ,W_{n}}(z_{1},\ldots ,z_{m},w_{1},\ldots ,w_{n})=F_{Z_{1},\ldots ,Z_{m}}(z_{1},\ldots ,z_{m})\cdot F_{W_{1},\ldots ,W_{n}}(w_{1},\ldots ,w_{n})\quad {\text{for all }}z_{1},\ldots ,z_{m},w_{1},\ldots ,w_{n}}$.

Круговая симметрия

Определение

Сложный случайный вектор ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ называется циркулярно-симметричным, если для каждого детерминированного ${\displaystyle \varphi \in [-\pi ,\pi )}$ распределение ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z} }$ равно распределению ${\displaystyle \mathbf {Z} }$.^{[3]:стр. 500–501}

Характеристики

• Математическое ожидание комплексных случайных векторов с круговой симметрией либо равно нулю, либо не определено.^{[3]:п. 500}
• Матрица псевдоковариации циркулярно-симметричных комплексных случайных векторов равна нулю.^{[3]:п. 584}

Правильные комплексные случайные векторы

Определение

Сложный случайный вектор ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ называется правильный если выполнены все три следующих условия:^{[1]:п. 293}

• ${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} ]=0}$ (нулевое среднее)
• ${\displaystyle \operatorname {var} [Z_{1}]<\infty ,\ldots ,\operatorname {var} [Z_{n}]<\infty }$ (все компоненты имеют конечную дисперсию)
• ${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{T}]=0}$

Два сложных случайных вектора ${\displaystyle \mathbf {Z} ,\mathbf {W} }$ называются совместно правильно - составной случайный вектор ${\displaystyle (Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{m},W_{1},W_{2},\ldots ,W_{n})^{T}}$ правильно.

Характеристики

• Сложный случайный вектор ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ правильно тогда и только тогда, когда для всех (детерминированных) векторов ${\displaystyle \mathbf {c} \in \mathbb {C} ^{n}}$ сложная случайная величина ${\displaystyle \mathbf {c} ^{T}\mathbf {Z} }$ правильно.^{[1]:п. 293}
• Правильны линейные преобразования собственных комплексных случайных векторов, т. Е. Если ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ это собственные случайные векторы с ${\displaystyle n}$ компоненты и ${\displaystyle A}$ детерминированный ${\displaystyle m\times n}$ матрица, то комплексный случайный вектор ${\displaystyle A\mathbf {Z} }$ тоже правильно.^{[1]:п. 295}
• Каждый циркулярно-симметричный комплексный случайный вектор с конечной дисперсией всех его компонентов является собственным.^{[1]:п. 295}
• Существуют правильные комплексные случайные векторы, которые не являются циркулярно симметричными.^{[1]:п. 504}
• Настоящий случайный вектор является правильным тогда и только тогда, когда он постоянен.
• Два совместно правильных комплексных случайных вектора некоррелированы тогда и только тогда, когда их матрица ковариации равна нулю, т.е. если ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=0}$.

Неравенство Коши-Шварца

В Неравенство Коши-Шварца для сложных случайных векторов

${\displaystyle \left|\operatorname {E} [\mathbf {Z} ^{H}\mathbf {W} ]\right|^{2}\leq \operatorname {E} [\mathbf {Z} ^{H}\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [|\mathbf {W} ^{H}\mathbf {W} |]}$.

Характеристическая функция

В характеристическая функция сложного случайного вектора ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ с ${\displaystyle n}$ компоненты - это функция ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$ определяется:^{[1]:п. 295}

${\displaystyle \varphi _{\mathbf {Z} }(\mathbf {\omega } )=\operatorname {E} \left[e^{i\Re {(\mathbf {\omega } ^{H}\mathbf {Z} )}}\right]=\operatorname {E} \left[e^{i(\Re {(\omega _{1})}\Re {(Z_{1})}+\Im {(\omega _{1})}\Im {(Z_{1})}+\cdots +\Re {(\omega _{n})}\Re {(Z_{n})}+\Im {(\omega _{n})}\Im {(Z_{n})})}\right]}$

Смотрите также

• Сложная случайная величина

Рекомендации

1. Лапидот, Амос (2009). Фонд цифровых коммуникаций. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-19395-5.
2. Губнер, Джон А. (2006). Вероятность и случайные процессы для инженеров-электриков и компьютерщиков. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-86470-1.
3. Це, Дэвид (2005). Основы беспроводной связи. Издательство Кембриджского университета.