Булево неравенство - Booles inequality

В теория вероятности, Неравенство Буля, также известный как связанный союз, говорит, что для любого конечный или же счетный набор из События, вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий, не превышает суммы вероятностей отдельных событий. Неравенство Буля названо в честь Джордж Буль.^[1]

Формально для счетного набора событий А₁, А₂, А₃, ..., у нас есть

${\displaystyle \mathbb {P} (\bigcup _{i}A_{i})\leq \sum _{i}{\mathbb {P} }(A_{i}).}$

В теоретико-мерный терминами неравенство Буля следует из того, что мера (и, конечно, любая вероятностная мера ) является σ-субдобавка.

Доказательство

Доказательство с помощью индукции

Неравенство Буля может быть доказано для конечных наборов событий с помощью метода индукции.

Для ${\displaystyle n=1}$ случае следует, что

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1})\leq \mathbb {P} (A_{1}).}$

По делу ${\displaystyle n}$, у нас есть

${\displaystyle {\mathbb {P} }(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i})\leq \sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}).}$

С ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B),}$ и поскольку операция объединения ассоциативный, у нас есть

${\displaystyle \mathbb {P} (\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i})=\mathbb {P} (\bigcup _{i=1}^{n}A_{i})+\mathbb {P} (A_{n+1})-\mathbb {P} (\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}).}$

С

${\displaystyle {\mathbb {P} }(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1})\geq 0,}$

посредством первая аксиома вероятности, у нас есть

${\displaystyle \mathbb {P} (\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i})\leq \mathbb {P} (\bigcup _{i=1}^{n}A_{i})+\mathbb {P} (A_{n+1}),}$

и поэтому

${\displaystyle \mathbb {P} (\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i})\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})+\mathbb {P} (A_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\mathbb {P} (A_{i}).}$

Доказательство без использования индукции

Для любых мероприятий в ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }$в нашем вероятностное пространство у нас есть

${\displaystyle \mathbb {P} (\bigcup _{i}A_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i}).}$

Одна из аксиом вероятностного пространства состоит в том, что если ${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\dots }$ находятся непересекающийся подмножества вероятностного пространства, тогда

${\displaystyle \mathbb {P} (\bigcup _{i}B_{i})=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i});}$

это называется счетная аддитивность.

Если ${\displaystyle B\subset A,}$ тогда ${\displaystyle \mathbb {P} (B)\leq \mathbb {P} (A).}$

Действительно, из аксиом вероятностного распределения

${\displaystyle \mathbb {P} (A)=\mathbb {P} (B)+\mathbb {P} (A-B).}$

Обратите внимание, что оба условия справа неотрицательны.

Теперь нам нужно изменить наборы ${\displaystyle A_{i}}$, поэтому они не пересекаются.

${\displaystyle B_{i}=A_{i}-\bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}.}$

Так что если ${\displaystyle B_{i}\subset A_{i}}$, тогда мы знаем

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}.}$

Следовательно, мы можем вывести следующее уравнение

${\displaystyle \mathbb {P} (\bigcup _{i}A_{i})=\mathbb {P} (\bigcup _{i}B_{i})=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i}).}$

Неравенства Бонферрони

Неравенство Буля можно обобщить, чтобы найти верхний и нижняя граница на вероятность конечные союзы событий.^[2] Эти границы известны как Неравенства Бонферрони, после Карло Эмилио Бонферрони; видеть Бонферрони (1936).

Определять

${\displaystyle S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}),}$

и

${\displaystyle S_{2}:=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i}\cap A_{j}),}$

а также

${\displaystyle S_{k}:=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}})}$

для всех целых чисел k в {3, ..., п}.

Тогда для странный k в 1, ..., п},

${\displaystyle {\mathbb {P} }(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i})\leq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j-1}S_{j},}$

и для четное k в {2, ..., п},

${\displaystyle {\mathbb {P} }(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i})\geq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j-1}S_{j}.}$

Неравенство Буля - начальный случай, k = 1. Когда k = п, то имеет место равенство и полученное тождество принцип включения-исключения.

Смотрите также

• Разбавленный принцип включения-исключения
• Формула Шуэтта – Несбитта
• Неравенства Буля – Фреше.
• Вероятность объединения попарно независимых событий

Рекомендации

1. Буль, Джордж (1847). Математический анализ логики. Философская библиотека.
2. Казелла, Джордж; Бергер, Роджер Л. (2002). Статистические выводы. Даксбери. С. 11–13. ISBN  0-534-24312-6.

• Бонферрони, Карло Э. (1936), "Теория статистики делле класса и вычислений вероятности", Pubbl. d. R. Ist. Супер. di Sci. Эконом. e Commerciali di Firenze (на итальянском), 8: 1–62, Zbl  0016.41103
• Домен, Клаус (2003), Улучшенные неравенства Бонферрони с помощью абстрактных трубок. Неравенства и идентичности типа включения-исключения, Конспект лекций по математике, 1826, Берлин: Springer-Verlag, стр. viii + 113, ISBN  3-540-20025-8, МИСТЕР  2019293, Zbl  1026.05009
• Галамбос, Янош; Симонелли, Итало (1996), Неравенства типа Бонферрони с приложениями, Вероятность и ее приложения, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x + 269, ISBN  0-387-94776-0, МИСТЕР  1402242, Zbl  0869.60014
• Галамбос, Янош (1977), «Неравенства Бонферрони», Анналы вероятности, 5 (4): 577–581, Дои:10.1214 / aop / 1176995765, JSTOR  2243081, МИСТЕР  0448478, Zbl  0369.60018
• Галамбос, Янош (2001) [1994], «Неравенства Бонферрони», Энциклопедия математики, EMS Press

В этой статье использован материал из неравенств Бонферрони о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.