Теорема Бохнера - Bochners theorem

В математика, Теорема Бохнера (назван в честь Саломон Бохнер ) характеризует преобразование Фурье положительного конечного Мера Бореля на реальной линии. В более общем плане в гармонический анализ, Теорема Бохнера утверждает, что при преобразовании Фурье непрерывная положительно определенная функция на локально компактный абелева группа соответствует конечной положительной мере на Дуальная группа Понтрягина.

Теорема для локально компактных абелевых групп

Теорема Бохнера для локально компактной абелевой группы грамм, с дуальной группой ${\displaystyle {\widehat {G}}}$, говорит следующее:

Теорема Для любой нормированной непрерывной положительно определенной функции ж на грамм (нормализация здесь означает, что ж равно 1 в единице грамм) существует единственная вероятностная мера μ на ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ такой, что

${\displaystyle f(g)=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi ),}$

т.е. ж это преобразование Фурье единственной вероятностной меры μ на ${\displaystyle {\widehat {G}}}$. Наоборот, преобразование Фурье вероятностной меры на ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ обязательно нормированная непрерывная положительно определенная функция ж на грамм. На самом деле это взаимно однозначное соответствие.

В Преобразование Гельфанда – Фурье является изоморфизм между группой C * -алгебра С * (грамм) и C₀(ГРАММ). Теорема по сути является двойственным утверждением для состояния двух абелевых C * -алгебр.

Доказательство теоремы проходит через векторные состояния на сильно непрерывный унитарные представления из грамм (доказательство фактически показывает, что каждая нормализованная непрерывная положительно определенная функция должна иметь такой вид).

Для нормированной непрерывной положительно определенной функции ж на граммможно построить сильно непрерывное унитарное представление грамм естественным образом: пусть F₀(грамм) - семейство комплекснозначных функций на грамм с конечной опорой, т.е. час(грамм) = 0 для всех, кроме конечного грамм. Положительно определенное ядро K(грамм₁, грамм₂) = ж(грамм₁ − грамм₂) индуцирует (возможно, вырожденный) внутренний продукт на F₀(грамм). Факторизация вырождения и взятие пополнения дает гильбертово пространство

${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{f}),}$

типичным элементом которого является класс эквивалентности [час]. Для фиксированного грамм в грамм, "оператор смены " U_грамм определяется (U_грамм)(час) (g ') = час(грамм' − грамм), для представителя [час], унитарна. Итак, карта

${\displaystyle g\mapsto U_{g}}$

является унитарным представлением грамм на ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{f})}$. По преемственности ж, она слабо непрерывна, поэтому сильно непрерывна. По построению имеем

${\displaystyle \langle U_{g}[e],[e]\rangle _{f}=f(g),}$

куда [е] - класс функции, равной 1 на единице грамм и ноль в других местах. Но по изоморфизму Гельфанда – Фурье векторное состояние ${\displaystyle \langle \cdot [e],[e]\rangle _{f}}$ на C * (грамм) это отступление государства на ${\displaystyle C_{0}({\widehat {G}})}$, что обязательно является интегрированием по вероятностной мере μ. Тогда поиск изоморфизмов дает

${\displaystyle \langle U_{g}[e],[e]\rangle _{f}=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi ).}$

С другой стороны, учитывая вероятностную меру μ на ${\displaystyle {\widehat {G}}}$, функция

${\displaystyle f(g)=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi )}$

- нормированная непрерывная положительно определенная функция. Непрерывность ж следует из теорема о доминируемой сходимости. Для положительной определенности возьмем невырожденное представление ${\displaystyle C_{0}({\widehat {G}})}$. Это уникально распространяется на представление его алгебра множителей ${\displaystyle C_{b}({\widehat {G}})}$ и, следовательно, сильно непрерывное унитарное представление U_грамм. Как и выше, у нас есть ж заданный некоторым векторным состоянием на U_грамм

${\displaystyle f(g)=\langle U_{g}v,v\rangle ,}$

поэтому положительно-определенный.

Эти две конструкции противоположны друг другу.

Особые случаи

Теорема Бохнера в частном случае дискретная группа Z часто упоминается как Herglotz теорема (см. Теорема Герглотца о представлении ) и говорит, что функция ж на Z с ж(0) = 1 положительно определено тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера μ по кругу Т такой, что

${\displaystyle f(k)=\int _{\mathbb {T} }e^{-2\pi ikx}\,d\mu (x).}$

Аналогично непрерывная функция ж на р с ж(0) = 1 положительно определено тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера μ на р такой, что

${\displaystyle f(t)=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi i\xi t}\,d\mu (\xi ).}$

Приложения

В статистика, Теорему Бохнера можно использовать для описания серийная корреляция определенного типа Временные ряды. Последовательность случайных величин ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ среднего 0 - это (в широком смысле) стационарный временной ряд если ковариация

${\displaystyle \operatorname {Cov} (f_{n},f_{m})}$

зависит только от п − м. Функция

${\displaystyle g(n-m)=\operatorname {Cov} (f_{n},f_{m})}$

называется функция автоковариации временного ряда. В предположении нулевого среднего

${\displaystyle g(n-m)=\langle f_{n},f_{m}\rangle ,}$

где ⟨⋅, ⋅⟩ обозначает скалярное произведение на Гильбертово пространство случайных величин с конечными вторыми моментами. Тогда сразу же грамм является положительно определенной функцией на целых числах ℤ. По теореме Бохнера существует единственная положительная мера μ на [0, 1] такие, что

${\displaystyle g(k)=\int e^{-2\pi ikx}\,d\mu (x).}$

Эта мера μ называется спектральная мера временного ряда. Он дает информацию о «сезонных тенденциях» сериала.

Например, пусть z быть мкорень -й степени из единицы (с текущим отождествлением это 1 /м ∈ [0, 1]) и ж - случайная величина со средним 0 и дисперсией 1. Рассмотрим временной ряд ${\displaystyle \{z^{n}f\}}$. Функция автоковариации есть

${\displaystyle g(k)=z^{k}.}$

Очевидно, соответствующей спектральной мерой является Точечная масса Дирака сосредоточен на z. Это связано с тем, что временной ряд повторяется каждые м периоды.

Когда грамм имеет достаточно быстрое затухание, мера μ является абсолютно непрерывный относительно меры Лебега и ее Производная Радона – Никодима ж называется спектральная плотность временного ряда. Когда грамм лежит в ℓ¹(ℤ), ж - преобразование Фурье грамм.

Смотрите также

• Положительно определенная функция на группе
• Характеристическая функция (теория вероятностей)

Рекомендации

• Лумис, Л. Х. (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ, Ван Ностранд
• М. Рид и Барри Саймон, Методы современной математической физики, т. II, Academic Press, 1975.
• Рудин, В. (1990), Фурье-анализ на группах, Wiley-Interscience, ISBN  0-471-52364-X