Ковариационная функция Матерна - Matérn covariance function

В статистика, то Ковариация Матерна, также называемый Ядро Матерна^[1], это ковариационная функция используется в пространственная статистика, геостатистика, машинное обучение, анализ изображений и другие приложения многомерного статистического анализа метрические пространства. Он назван в честь шведского специалиста по статистике лесного хозяйства. Бертил Матерн^[2]. Он обычно используется для определения статистической ковариации между измерениями, выполненными в двух точках, которые d единицы, удаленные друг от друга. Поскольку ковариация зависит только от расстояний между точками, она равна стационарный. Если расстояние Евклидово расстояние ковариация Матерна также изотропный.

Определение

Ковариация Матерна между двумя точками, разделенными d единицы расстояния даются ^[3]

${displaystyle C_{u }(d)=sigma ^{2}{frac {2^{1-u }}{Gamma (u )}}{Bigg (}{sqrt {2u }}{frac {d}{ho }}{Bigg )}^{u }K_{u }{Bigg (}{sqrt {2u }}{frac {d}{ho }}{Bigg )},}$

куда ${displaystyle Gamma }$ это гамма-функция, ${displaystyle K_{u }}$ это модифицированный Функция Бесселя второго рода, и ρ и ν положительные параметры ковариации.

А Гауссовский процесс с ковариацией Матерна ${displaystyle lceil u ceil -1}$ раз дифференцируемые в среднеквадратическом смысле.^[3][4]

Спектральная плотность

Спектр мощности процесса с ковариацией Матерна, определенной на ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ это (п-мерное) преобразование Фурье ковариационной функции Матерна (см. Теорема Винера – Хинчина ). В явном виде это дается выражением

${displaystyle S(f)=sigma ^{2}{frac {2^{n}pi ^{frac {n}{2}}Gamma (u +{frac {n}{2}})(2u )^{u }}{Gamma (u )ho ^{2u }}}left({frac {2u }{ho ^{2}}}+4pi ^{2}f^{2}ight)^{-left(u +{frac {n}{2}}ight)}.}$^[3]

Упрощение для конкретных значений ν

Упрощение для ν полуцелое число

Когда ${displaystyle u =p+1/2, pin mathbb {N} ^{+}}$ , то Ковариация Матерна можно записать как произведение экспоненты и полинома порядка ${displaystyle p}$:^[5]

$${displaystyle C_{p+1/2}(d)=sigma ^{2}exp left(-{frac {{sqrt {2p+1}}d}{ho }}ight){frac {p!}{(2p)!}}sum _{i=0}^{p}{frac {(p+i)!}{i!(p-i)!}}left({frac {2{sqrt {2p+1}}d}{ho }}ight)^{p-i},}$$

который дает:

• за ${displaystyle u =1/2 (p=0)}$: ${displaystyle C_{1/2}(d)=sigma ^{2}exp left(-{frac {d}{ho }}ight),}$
• за ${displaystyle u =3/2 (p=1)}$: ${displaystyle C_{3/2}(d)=sigma ^{2}left(1+{frac {{sqrt {3}}d}{ho }}ight)exp left(-{frac {{sqrt {3}}d}{ho }}ight),}$
• за ${displaystyle u =5/2 (p=2)}$: ${displaystyle C_{5/2}(d)=sigma ^{2}left(1+{frac {{sqrt {5}}d}{ho }}+{frac {5d^{2}}{3ho ^{2}}}ight)exp left(-{frac {{sqrt {5}}d}{ho }}ight).}$

Гауссов случай в пределе бесконечного ν

В качестве ${displaystyle u ightarrow infty }$, то Ковариация Матерна сходится к квадрат экспоненциальной ковариационной функции

${displaystyle lim _{u ightarrow infty }C_{u }(d)=sigma ^{2}exp left(-{frac {d^{2}}{2ho ^{2}}}ight).}$

Ряд Тейлора в нуле и спектральные моменты

Поведение для ${displaystyle dightarrow 0}$ можно получить с помощью следующих рядов Тейлора:

$${displaystyle C_{u }(d)=sigma ^{2}left(1+{frac {u }{2(1-u )}}left({frac {d}{ho }}ight)^{2}+{frac {u ^{2}}{8(2-3u +u ^{2})}}left({frac {d}{ho }}ight)^{4}+{mathcal {O}}left(d^{5}ight)ight).}$$

После определения следующие спектральные моменты могут быть получены из ряда Тейлора:

${displaystyle {egin{aligned}lambda _{0}&=C_{u }(0)=sigma ^{2},[8pt]lambda _{2}&=-left.{frac {partial ^{2}C_{u }(d)}{partial d^{2}}}ight|_{d=0}={frac {sigma ^{2}u }{ho ^{2}(u -1)}}.end{aligned}}}$

Смотрите также

• Радиальная базисная функция

Рекомендации

1. Гентон, Марк Г. (1 марта 2002 г.). «Классы ядер для машинного обучения: взгляд на статистику». Журнал исследований в области машинного обучения. 2 (3/1/2002): 303–304.
2. Минасный, Б .; Макбрэтни, А. Б. (2005). «Функция Matérn как общая модель для вариограмм почвы». Геодермия. 128 (3–4): 192–207. Дои:10.1016 / j.geoderma.2005.04.003.
3. Расмуссен, Карл Эдвард и Уильямс, Кристофер К. И. (2006) Гауссовские процессы для машинного обучения
4. Сантнер, Т. Дж., Уильямс, Б. Дж., И Нотц, В. И. (2013). Планирование и анализ компьютерных экспериментов. Springer Science & Business Media.
5. Абрамовиц и Стегун. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. ISBN  0-486-61272-4.