Показатель Херста - Hurst exponent

В Показатель Херста используется как мера Долгосрочная память из Временные ряды. Это относится к автокорреляции временных рядов, и скорость, с которой они уменьшаются по мере увеличения лага между парами значений. Исследования, включающие показатель Херста, были первоначально разработаны в гидрология для практического определения оптимального размера плотины для Река Нил неустойчивые условия дождя и засухи, которые наблюдались в течение длительного периода времени.^[1][2] Название «показатель Херста» или «коэффициент Херста» происходит от Гарольд Эдвин Херст (1880–1978), который был ведущим исследователем этих исследований; использование стандартных обозначений ЧАС ибо коэффициент также относится к его имени.

В фрактальная геометрия, то обобщенный показатель Херста был обозначен ЧАС или же ЧАС_q в честь Гарольда Эдвина Херста и Людвиг Отто Гёльдер (1859–1937) по Бенуа Мандельброт (1924–2010).^[3] ЧАС напрямую связано с фрактальная размерность, D, и является мерой «легкой» или «дикой» случайности ряда данных.^[4]

Показатель Херста называется «индексом зависимости» или «индексом долгосрочной зависимости». Он количественно оценивает относительную тенденцию временного ряда либо сильно регрессировать к среднему значению, либо группироваться в определенном направлении.^[5] Ценность ЧАС в диапазоне 0,5–1 указывает на временной ряд с долгосрочной положительной автокорреляцией, что означает, что за высоким значением в ряду, вероятно, последует другое высокое значение, и что значения в долгосрочном будущем также будут иметь тенденцию к высоким . Значение в диапазоне 0–0,5 указывает временной ряд с долгосрочным переключением между высокими и низкими значениями в соседних парах, что означает, что за одним высоким значением, вероятно, будет следовать низкое значение, а значение после этого будет иметь тенденцию к высокий, с этой тенденцией к переключению между высокими и низкими значениями, сохраняющимися надолго в будущем. Ценность ЧАС= 0,5 может указывать на полностью некоррелированный ряд, но на самом деле это значение, применимое к рядам, для которых автокорреляции при малых временных лагах могут быть положительными или отрицательными, но где абсолютные значения автокорреляций экспоненциально быстро убывают до нуля. Это в отличие от типичного сила закона распад для 0,5 < ЧАС <1 и 0 < ЧАС <0,5 случая.

Определение

Показатель Херста, ЧАС, определяется в терминах асимптотики измененный диапазон как функция временного интервала временного ряда следующим образом;^[6][7]

${\displaystyle \mathbb {E} \left[{\frac {R(n)}{S(n)}}\right]=Cn^{H}{\text{ as }}n\to \infty \,,}$

куда;

• ${\displaystyle R(n)}$ это классифицировать из первых ${\displaystyle n}$ совокупные отклонения от среднего
• ${\displaystyle S(n)}$ ряд (сумма) первых n Стандартное отклонение
• ${\displaystyle \mathbb {E} \left[x\right]\,}$ это ожидаемое значение
• ${\displaystyle n}$ - временной интервал наблюдения (количество точек данных во временном ряду)
• ${\displaystyle C}$ является константой.

Связь с фрактальным измерением

Для автомодельных временных рядовЧАС напрямую связано с фрактальная размерность, D, где 1 < D <2, такие что D = 2 - ЧАС. Значения показателя Херста варьируются от 0 до 1, причем более высокие значения указывают на более плавный тренд, меньшую волатильность и меньшую шероховатость.^[8]

Для более общих временных рядов или многомерного процесса показатель Херста и фрактальная размерность могут быть выбраны независимо, так как показатель Херста представляет структуру за асимптотически более длинные периоды, а фрактальная размерность представляет структуру за асимптотически более короткие периоды.^[9]

Оценка экспоненты

В литературе был предложен ряд оценок дальнодействующей зависимости. Самая старая и известная - так называемая измененный диапазон (R / S) анализ, популяризированный Мандельбротом и Уоллисом^[3][10] и на основе предыдущих гидрологических данных Херста.^[1] Альтернативы включают DFA, Регрессия периодограммы,^[11] агрегированные отклонения,^[12] местная оценка Уиттла,^[13] вейвлет-анализ,^[14][15] как в область времени и частотная область.

Анализ измененного диапазона (R / S)

Чтобы оценить показатель Херста, необходимо сначала оценить зависимость измененный диапазон на промежутке времени п наблюдения.^[7] Временной ряд полной длины N делится на ряд более коротких временных рядов длиной п = N, N/2, N/ 4, ... Затем вычисляется средний диапазон масштабирования для каждого значения п.

Для (частичного) временного ряда длиной ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle X=X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\,}$, масштабированный диапазон рассчитывается следующим образом:^[6][7]

1. Рассчитайте иметь в виду;

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\,.}$

2. Создайте ряд, скорректированный на среднее значение;

${\displaystyle Y_{t}=X_{t}-m\quad {\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,.}$

3. Рассчитайте совокупный ряд отклонений. ${\displaystyle Z}$;

${\displaystyle Z_{t}=\sum _{i=1}^{t}Y_{i}\quad {\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,.}$

4. Вычислить диапазон ${\displaystyle R}$;

${\displaystyle R(n)=\operatorname {max} \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}\right)-\operatorname {min} \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}\right).}$

5. Вычислить стандартное отклонение ${\displaystyle S}$;

${\displaystyle S(n)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-m\right)^{2}}}.}$

6. Рассчитайте измененный диапазон. ${\displaystyle R(n)/S(n)}$ и усреднить по всем частным временным рядам длины ${\displaystyle n.}$

Показатель Херста оценивается путем аппроксимации сила закона ${\displaystyle \mathbb {E} [R(n)/S(n)]=Cn^{H}}$ к данным. Это можно сделать, построив ${\displaystyle \log[R(n)/S(n)]}$ как функция ${\displaystyle \log n}$, и установка прямой линии; наклон линии дает ${\displaystyle H}$ (более принципиальный подход соответствует степенному закону с максимальной вероятностью^[16]). Такой график называется коробчатым графиком. Однако известно, что этот подход дает смещенные оценки степенного показателя. Для малых ${\displaystyle n}$ наблюдается значительное отклонение от наклона 0,5. Анис и Ллойд^[17] оценил теоретические (т.е. для белого шума) значения статистики R / S следующим образом:

${\displaystyle \mathbb {E} [R(n)/S(n)]={\begin{cases}{\frac {\Gamma ({\frac {n-1}{2}})}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n\leq 340\\{\frac {1}{\sqrt {n{\frac {\pi }{2}}}}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n>340\end{cases}}}$

куда ${\displaystyle \Gamma }$ это Гамма-функция Эйлера. Скорректированный по Анису-Ллойду показатель Херста R / S рассчитывается как 0,5 плюс наклон ${\displaystyle R(n)/S(n)-\mathbb {E} [R(n)/S(n)]}$.

Доверительные интервалы

До сих пор не было получено асимптотической теории распределения для большинства оценок показателя Херста. Однако Верон^[18] использовал самонастройка для получения приближенных функциональных форм для доверительных интервалов двух наиболее популярных методов - метода Аниса-Ллойда.^[17] исправленный анализ R / S:

Уровень	Нижняя граница	Верхняя граница
90%	0,5 - ехр (-7,35 журнал (журнал M) + 4,06)	ехр (-7,07 журнал (журнал M) + 3,75) + 0,5
95%	0,5 - ехр (-7,33 журнал (журнал M) + 4,21)	ехр (-7,20 журнал (журнал M) + 4,04) + 0,5
99%	0,5 - ехр (−7,19 журнал (журнал M) + 4,34)	ехр (-7,51 журнал (журнал M) + 4,58) + 0,5

и для DFA:

Уровень	Нижняя граница	Верхняя граница
90%	0,5 - ехр (−2,99 log M + 4,45)	ехр (-3,09 журнал M + 4,57) + 0,5
95%	0,5 - ехр (−2,93 log M + 4,45)	ехр (-3,10 журнал M + 4,77) + 0,5
99%	0,5 - ехр (−2,67 log M + 4,06)	ехр (-3,19 журнал M + 5,28) + 0,5

Здесь ${\displaystyle M=log_{2}N}$ и ${\displaystyle N}$ - длина серии. В обоих случаях только подсерии длины ${\displaystyle n>50}$ учитывались для оценки показателя Херста; подсерии меньшей длины приводят к большой дисперсии оценок R / S.

Обобщенная экспонента

Базовый показатель Херста может быть связан с ожидаемым размером изменений как функцией задержки между наблюдениями, измеряемой E (|Икс_{т + т}-ИКС_т|²). Для обобщенного вида коэффициента показатель здесь заменен более общим членом, обозначаемым q.

Существует множество методов оценки ЧАС, однако оценка точности оценки может быть сложной задачей. Математически, в одном методе, показатель Херста можно оценить так, что:^[19][20]

ЧАС_q = ЧАС(q),

для временного ряда

грамм(т) (т = 1, 2,...)

может быть определен масштабирующими свойствами его структура функции S_q(${\displaystyle \tau }$):

${\displaystyle S_{q}=\langle |g(t+\tau )-g(t)|^{q}\rangle _{t}\sim \tau ^{qH(q)},\,}$

куда q > 0, ${\displaystyle \tau }$ это временная задержка, и усреднение ведется по временному окну

${\displaystyle t\gg \tau ,\,}$

обычно самый большой временной масштаб системы.

Практически, в природе нет предела времени, а значит ЧАС не является детерминированным, так как его можно оценить только на основе наблюдаемых данных; Например, самое резкое дневное движение вверх, когда-либо наблюдаемое в индексе фондового рынка, всегда может быть превышено в течение какого-то следующего дня.^[21]

В описанном выше методе математической оценки функция ЧАС(q) содержит информацию об усредненных обобщенных волатильностях в масштабе ${\displaystyle \tau }$ (Только q = 1, 2 используются для определения волатильности). В частности, ЧАС₁ экспонента указывает на постоянный (ЧАС₁ > ½) или антиперсистентный (ЧАС₁ <½) поведение тренда.

Для BRW (коричневый шум, 1/ж²) получается

ЧАС_q = ½,

и для розовый шум (1/ж)

ЧАС_q = 0.

Показатель Херста для белый шум зависит от размера,^[22] а для 1D и 2D это

ЧАС^1D_q = -½ , ЧАС^2D_q = -1.

Для популярных Стабильные процессы Леви и усеченные процессы Леви с параметром α было установлено, что

ЧАС_q = q / α за q < α и ЧАС_q = 1 для q ≥ α.

Анализ мультифрактальных колебаний без тренда^[23] это один из методов оценки ${\displaystyle H(q)}$ из нестационарных временных рядов. ${\displaystyle H(q)}$ является нелинейной функцией от q, временной ряд является мультифрактальная система.

Примечание

В приведенном выше определении смешаны два отдельных требования, как если бы они составляли одно целое.^[24] Вот два независимых требования: (i) стационарность приращений, x (t + T) -x (t) = x (T) -x (0) в распределении. Это условие, которое дает долговременные автокорреляции. (ii) Самоподобие стохастического процесса затем дает масштабирование дисперсии, но не требуется для долговременной памяти. Например, оба Марковские процессы (т.е. процессы без памяти) и дробное броуновское движение шкала на уровне 1-балльной плотности (простые средние), но не масштабируется на уровне парных корреляций или, соответственно, 2-балльной плотности вероятности.^{[требуется разъяснение ]}

Эффективный рынок требует мартингейл условие, и если дисперсия не является линейной по времени, это дает нестационарные приращения, x (t + T) -x (t) ≠ x (T) -x (0). Мартингалы являются марковскими на уровне парных корреляций, что означает, что парные корреляции не могут быть использованы для победы над рынком мартингейла. Стационарные приращения с нелинейной дисперсией, с другой стороны, вызывают долговременную парную память дробное броуновское движение что сделало бы рынок более удачным на уровне парных корреляций. Такой рынок обязательно будет далеко не «эффективным».

Анализ экономических временных рядов с помощью показателя Херста с использованием измененный диапазон и Анализ колебаний без тренда проводит эконофизик А.Ф. Баривьера.^[25] В данной статье исследуется изменяющийся во времени характер Дальняя зависимость и, следовательно, информационной эффективности.

Показатель Херста также применялся к исследованию дальняя зависимость в ДНК,^[26] и фотонные запрещенная зона материалы.^[27]

Смотрите также

• Дальняя зависимость
• Аномальная диффузия
• Измененный диапазон
• Анализ колебаний без тренда

Реализации

• Код Matlab для вычисления R / S, DFA, регрессии периодограммы и вейвлет-оценок показателя Херста и их соответствующих доверительных интервалов доступен в RePEc: https://ideas.repec.org/s/wuu/hscode.html
• Реализация R / S в Python: https://github.com/Mottl/hurst и DFA и MFDFA в Python: https://github.com/LRydin/MFDFA
• Код Matlab для вычисления реального Херста и сложного Херста: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/49803-calculate-complex-hurst
• Для этого также можно использовать лист Excel: https://www.researchgate.net/publication/272792633_Excel_Hurst_Calculator

Рекомендации

1. Херст, Х. (1951). «Долговременная вместимость водоемов». Сделки Американского общества инженеров-строителей. 116: 770.
2. Hurst, H.E .; Black, R.P .; Симайка, Ю.М. (1965). Длительное хранение: экспериментальное исследование. Лондон: Констебль.
3. Mandelbrot, B.B .; Уоллис, Дж. Р. (1968). «Ной, Иосиф и оперативная гидрология». Водный ресурс. Res. 4 (5): 909–918. Bibcode:1968WRR ..... 4..909M. Дои:10.1029 / wr004i005p00909.
4. Мандельброт, Бенуа Б. «(Не) поведение рынков»: 187.
5. Торстен Кляйнов (2002)Тестирование моделей непрерывного времени на финансовых рынках, Докторская диссертация, Берлин^{[страница нужна ]}
6. Цянь, Бо; Рашид, Халед (2004). HURST EXPONENT И ПРОГНОЗИРУЕМОСТЬ ФИНАНСОВОГО РЫНКА. Конференция IASTED по финансовой инженерии и приложениям (FEA 2004). С. 203–209. CiteSeerX  10.1.1.137.207.
7. Федер, Йенс (1988). Фракталы. Нью-Йорк: Пленум Пресс. ISBN  978-0-306-42851-7.
8. Мандельброт, Бенуа Б. (1985). «Самоаффинность и фрактальная размерность» (PDF). Physica Scripta. 32 (4): 257–260. Bibcode:1985ФИЗЫ ... 32..257М. Дои:10.1088/0031-8949/32/4/001.
9. Гнейтинг, Тильманн; Шлатер, Мартин (2004). «Стохастические модели, разделяющие фрактальное измерение и эффект Херста». SIAM Обзор. 46 (2): 269–282. arXiv:физика / 0109031. Bibcode:2004SIAMR..46..269G. Дои:10.1137 / s0036144501394387.
10. Mandelbrot, Benoit B .; Уоллис, Джеймс Р. (1969-10-01). «Устойчивость измененного диапазона R / S при измерении нециклической долгосрочной статистической зависимости». Исследование водных ресурсов. 5 (5): 967–988. Bibcode:1969WRR ..... 5..967M. Дои:10.1029 / WR005i005p00967. ISSN  1944-7973.
11. Geweke, J .; Портер-Худак, С. (1983). «ОЦЕНКА И ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛЕЙ С ДЛИННОЙ ВРЕМЕННОЙ ПАМЯТЬЮ». J. Time Ser. Анальный. 4 (4): 221–238. Дои:10.1111 / j.1467-9892.1983.tb00371.x.
12. J. Beran. Статистика для процессов с длинной памятью. Чепмен и Холл, 1994.
13. Робинсон, П. М. (1995). «Гауссовская полупараметрическая оценка дальнодействующей зависимости». Анналы статистики. 23 (5): 1630–1661. Дои:10.1214 / aos / 1176324317.
14. Симонсен, Ингве; Хансен, Алекс; Нес, Олав Магнар (1 сентября 1998 г.). «Определение показателя Херста с помощью вейвлет-преобразований». Физический обзор E. 58 (3): 2779–2787. arXiv:cond-mat / 9707153. Bibcode:1998PhRvE..58.2779S. Дои:10.1103 / PhysRevE.58.2779.
15. Р. Х. Риеди. Мультифрактальные процессы. В P. Doukhan, G. Oppenheim и M. S. Taqqu, редакторы, Theory And Applications of Long Range Dependence, стр. 625–716. Биркхаузер, 2003.
16. Аарон Клаузет; Косма Рохилла Шализи; М. Э. Дж. Ньюман (2009). «Степенные распределения в эмпирических данных». SIAM Обзор. 51 (4): 661–703. arXiv:0706.1062. Bibcode:2009SIAMR..51..661C. Дои:10.1137/070710111.
17. Annis, A. A .; Ллойд, Э. Х. (1 января 1976 г.). «Ожидаемое значение скорректированного измененного диапазона Херста независимых нормальных слагаемых». Биометрика. 63 (1): 111–116. Дои:10.1093 / biomet / 63.1.111. ISSN  0006-3444.
18. Верон, Рафал (01.09.2002). «Оценка дальнодействующей зависимости: конечные свойства выборки и доверительные интервалы». Physica A: Статистическая механика и ее приложения. 312 (1–2): 285–299. arXiv:cond-mat / 0103510. Bibcode:2002PhyA..312..285Вт. Дои:10.1016 / S0378-4371 (02) 00961-5.
19. Preis, T .; и другие. (2009). «Ускоренный анализ колебаний с помощью графических карт и формирование сложных структур на финансовых рынках». Новый J. Phys. 11 (9): 093024. Bibcode:2009NJPh ... 11i3024P. Дои:10.1088/1367-2630/11/9/093024.
20. Горский, А.З .; и другие. (2002). «Финансовая мультифрактальность и ее тонкости: пример DAX». Physica. 316 (1): 496–510. arXiv:cond-mat / 0205482. Bibcode:2002PhyA..316..496G. Дои:10.1016 / s0378-4371 (02) 01021-x.
21. Мандельброт, Бенуа Б., (Не) поведение рынков, фрактальный взгляд на риск, разорение и вознаграждение (Основные книги, 2004 г.), стр. 186–195.
22. Алекс Хансен; Жан Шмиттбуль; Дж. Джордж Батруни (2001). «Различение дробного и белого шума в одном и двух измерениях». Phys. Ред. E. 63 (6): 062102. arXiv:cond-mat / 0007011. Bibcode:2001PhRvE..63f2102H. Дои:10.1103 / PhysRevE.63.062102. PMID  11415147.
23. J.W. Кантельхардт, С.А.Зшигнер, Э. Косцельни-Бунде, С. Хавлин, А. Бунде, Х. Стэнли (2002). «Мультифрактальный анализ колебаний нестационарных временных рядов без тренда». Physica A: Статистическая механика и ее приложения. 87 (1): 87–114. arXiv:физика / 0202070. Bibcode:2002PhyA..316 ... 87K. Дои:10.1016 / s0378-4371 (02) 01383-3.
24. Джозеф Л. Макколи, Кевин Э. Басслер, и Гемуну Х. Гунаратне (2008) «Мартингейлы, данные о снижении тренда и гипотеза эффективного рынка», Physica, A37, 202, Препринт в открытом доступе: arXiv: 0710.2583
25. Баривьера, А.Ф. (2011). «Влияние ликвидности на информационную эффективность: пример тайского фондового рынка». Physica A: Статистическая механика и ее приложения. 390 (23): 4426–4432. Bibcode:2011PhyA..390.4426B. Дои:10.1016 / j.physa.2011.07.032.
26. Рош, Стефан; Бику, Доминик; Maciá, Enrique; Кац, Ефим (26.11.2003). «Корреляции дальнего действия в ДНК: свойства масштабирования и эффективность переноса заряда». Письма с физическими проверками. 91 (22): 228101. arXiv:cond-mat / 0309463. Bibcode:2003PhRvL..91v8101R. Дои:10.1103 / PhysRevLett.91.228101. PMID  14683275.
27. Ю, Сункью; Пяо, Сяньцзи; Хонг, Джихо; Пак, Намкё (2015-09-16). «Блоховские волны в потенциалах случайного блуждания на основе суперсимметрии». Nature Communications. 6: 8269. arXiv:1501.02591. Bibcode:2015 НатКо ... 6E8269Y. Дои:10.1038 / ncomms9269. ЧВК  4595658. PMID  26373616.