K-распределение - K-distribution

В вероятность и статистика, то K-распределение представляет собой трехпараметрическое семейство непрерывных распределений вероятностей. Распределение возникает путем сложения двух гамма-распределения. В каждом случае используется повторная параметризация обычной формы семейства гамма-распределений, так что параметры следующие:

• среднее значение распределения, и
• обычный параметр формы.

K-распределение - это частный случай дисперсионно-гамма-распределение, что, в свою очередь, является частным случаем обобщенное гиперболическое распределение.

Плотность

Модель такова случайная переменная ${\displaystyle X}$ имеет гамма-распределение со средним ${\displaystyle \sigma }$ и параметр формы ${\displaystyle \alpha }$, с ${\displaystyle \sigma }$ рассматривается как случайная величина, имеющая другое гамма-распределение, на этот раз со средним ${\displaystyle \mu }$ и параметр формы ${\displaystyle \beta }$. В результате ${\displaystyle X}$ имеет следующие функция плотности вероятности (pdf) для ${\displaystyle x>0}$:^[1]

${\displaystyle f_{X}(x;\mu ,\alpha ,\beta )={\frac {2}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,\left({\frac {\alpha \beta }{\mu }}\right)^{\frac {\alpha +\beta }{2}}\,x^{{\frac {\alpha +\beta }{2}}-1}K_{\alpha -\beta }\left(2{\sqrt {\frac {\alpha \beta x}{\mu }}}\right),}$

куда ${\displaystyle K}$ это модифицированная функция Бесселя второго рода. Отметим, что для модифицированной функции Бесселя второго рода мы имеем ${\displaystyle K_{\nu }=K_{-\nu }}$. В этом выводе K-распределение представляет собой сложное распределение вероятностей. Это также распространение продукции:^[1] это распределение продукта двух независимых случайных величин, одна из которых имеет гамма-распределение со средним значением 1 и параметром формы. ${\displaystyle \alpha }$, второй имеет гамма-распределение со средним ${\displaystyle \mu }$ и параметр формы ${\displaystyle \beta }$.

Более простой двухпараметрической формализацией K-распределения является^[2]

${\displaystyle f_{X}(x;b,v)={\frac {2b}{\Gamma (v)}}\left({\frac {bx}{2}}\right)^{v}K_{v-1}(bx),}$

куда v коэффициент формы, б - коэффициент масштабирования, а K - модифицированная функция Бесселя второго рода.

Это распределение происходит из статьи Эрик Джейкман и Питер Пьюзи (1978), которые использовали его для моделирования морского микроволнового эха. Jakeman и Tough (1987) получили распределение на основе модели смещенного случайного блуждания. Уорд (1981) получил распределение из произведения двух случайных величин: z = а у, куда а имеет распределение ци и у сложное распределение Гаусса. Модуль упругости z, | z |, то имеет K-распределение.

Моменты

Производящая функция момента определяется выражением^[3]

${\displaystyle M_{X}(s)=\left({\frac {\xi }{s}}\right)^{\beta /2}\exp \left({\frac {\xi }{2s}}\right)W_{-\delta /2,\gamma /2}\left({\frac {\xi }{s}}\right),}$

куда ${\displaystyle \gamma =\beta -\alpha ,}$ ${\displaystyle \delta =\alpha +\beta -1,}$ ${\displaystyle \xi =\alpha \beta /\mu ,}$ и ${\displaystyle W_{-\delta /2,\gamma /2}(\cdot )}$ это Функция Уиттекера.

N-ые моменты K-распределения задаются выражением^[1]

${\displaystyle \mu _{n}=\xi ^{-n}{\frac {\Gamma (\alpha +n)\Gamma (\beta +n)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}.}$

Таким образом, даны среднее значение и дисперсия^[1] к

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu }$

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\mu ^{2}{\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}.}$

Другие свойства

Все свойства распределения симметричны по ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta .}$^[1]

Приложения

K-распределение возникает как следствие статистической или вероятностной модели, используемой в радар с синтезированной апертурой (SAR) изображения. K-распределение формируется компаундирование два отдельных распределения вероятностей, один представляет поперечное сечение радара, а другой представляет собой спекл, который является характеристикой когерентного изображения. Он также используется в беспроводной связи для моделирования сложных эффектов быстрого затухания и затенения.

Примечания

1. Реддинг (1999)
2. Длинный (2001)
3. Битас (2006)

Источники

• Реддинг, Николас Дж. (1999) Оценка параметров K-распределения в области интенсивности. [1]. Отчет DSTO-TR-0839, Лаборатория электроники и наблюдения DSTO, Южная Австралия. п. 60
• Джейкман, Э. и Пьюзи, П. Н. (1978) "Значение K-распределений в экспериментах по рассеянию", Письма с физическими проверками, 40, 546–550 Дои:10.1103 / PhysRevLett.40.546
• Jakeman, E. и Tough, R. J. A. (1987) "Обобщенное К-распределение: статистическая модель для слабого рассеяния", J. Opt. Soc. Am., 4, (9), с. 1764 - 1772.
• Уорд, К. Д. (1981) "Составное представление морских помех с высоким разрешением", Электрон. Lett., 17, с. 561 - 565.
• Лонг, М.В. (2001) "Радиолокационная отражательная способность суши и моря", 3-е изд., Artech House, Норвуд, Массачусетс, 2001.
• Bithas, P.S .; Сагиас, Северная Каролина; Mathiopoulos, P.T .; Карагианнидис, Г.К .; Ронтожаннис, А.А. (2006) «Об анализе производительности цифровой связи по каналам с замираниями с обобщенным K», IEEE Communications Letters, 10 (5), стр. 353-355.

дальнейшее чтение

• Jakeman, E. (1980) "О статистике K-распределенного шума", Journal of Physics A: Mathematics and General, 13, 31–48
• Ward, K.D .; Жесткий, Роберт Дж. А.; Уоттс, Саймон (2006) Помехи от моря: рассеяние, распределение K и характеристики радара, Институт инженерии и технологий. ISBN  0-86341-503-2