Обобщенное целочисленное гамма-распределение - Generalized integer gamma distribution

В вероятность и статистика, то обобщенное целочисленное гамма-распределение (GIG) - распределение суммы независимых гамма-распределенные случайные величины, все с целочисленными параметрами формы и различными параметрами скорости. Это частный случай обобщенное распределение хи-квадрат. Связанная концепция - это обобщенное почти целое гамма-распределение (ГНИГ).

Определение

В случайная переменная ${\displaystyle X\!}$ имеет гамма-распределение с параметр формы ${\displaystyle r}$ и параметр скорости ${\displaystyle \lambda }$ если это функция плотности вероятности является

${\displaystyle f_{X}^{}(x)={\frac {\lambda ^{r}}{\Gamma (r)}}\,e^{-\lambda x}x^{r-1}~~~~~~(x>0;\,\lambda ,r>0)}$

и этот факт обозначается ${\displaystyle X\sim \Gamma (r,\lambda )\!.}$

Позволять ${\displaystyle X_{j}\sim \Gamma (r_{j},\lambda _{j})\!}$, куда ${\displaystyle (j=1,\dots ,p),}$ быть ${\displaystyle p}$ независимый случайные величины, со всеми ${\displaystyle r_{j}}$ быть положительными целыми числами и все ${\displaystyle \lambda _{j}\!}$ разные. Другими словами, каждая переменная имеет Распределение Erlang с разными параметрами формы. Уникальность каждого параметра формы достигается без потери общности, потому что любой случай, когда некоторые из ${\displaystyle \lambda _{j}}$ равны, будут обрабатываться путем добавления соответствующих переменных: эта сумма будет иметь гамма-распределение с тем же параметром скорости и параметром формы, который равен сумме параметров формы в исходных распределениях.

Тогда случайная величина Y определяется

${\displaystyle Y=\sum _{j=1}^{p}X_{j}}$

имеет GIG (обобщенная целочисленная гамма) распределение глубины ${\displaystyle p}$ с параметры формы ${\displaystyle r_{j}\!}$ и параметры ставки ${\displaystyle \lambda _{j}\!}$ ${\displaystyle (j=1,\dots ,p)}$. Этот факт обозначается

${\displaystyle Y\sim GIG(r_{j},\lambda _{j};p)\!.}$

Это также частный случай обобщенное распределение хи-квадрат.

Характеристики

Функция плотности вероятности и кумулятивная функция распределения из Y соответственно даются^[1][2][3]

${\displaystyle f_{Y}^{\text{GIG}}(y|r_{1},\dots ,r_{p};\lambda _{1},\dots ,\lambda _{p})\,=\,K\sum _{j=1}^{p}P_{j}(y)\,e^{-\lambda _{j}\,y}\,,~~~~(y>0)}$

и

${\displaystyle F_{Y}^{\text{GIG}}(y|r_{1},\dots ,r_{j};\lambda _{1},\dots ,\lambda _{p})\,=\,1-K\sum _{j=1}^{p}P_{j}^{*}(y)\,e^{-\lambda _{j}\,y}\,,~~~~(y>0)}$

куда

${\displaystyle K=\prod _{j=1}^{p}\lambda _{j}^{r_{j}}~,~~~~~P_{j}(y)=\sum _{k=1}^{r_{j}}c_{j,k}\,y^{k-1}}$

и

${\displaystyle P_{j}^{*}(y)=\sum _{k=1}^{r_{j}}c_{j,k}\,(k-1)!\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {y^{i}}{i!\,\lambda _{j}^{k-i}}}}$

с

${\displaystyle c_{j,r_{j}}={\frac {1}{(r_{j}-1)!}}\,\mathop {\prod _{i=1}^{p}} _{i\neq j}(\lambda _{i}-\lambda _{j})^{-r_{i}}~,~~~~~~j=1,\ldots ,p\,,}$

(1)

и

${\displaystyle c_{j,r_{j}-k}={\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}{\frac {(r_{j}-k+i-1)!}{(r_{j}-k-1)!}}\,R(i,j,p)\,c_{j,r_{j}-(k-i)}\,,~~~~~~(k=1,\ldots ,r_{j}-1;\,j=1,\ldots ,p)}$

(2)

куда

${\displaystyle R(i,j,p)=\mathop {\sum _{k=1}^{p}} _{k\neq j}r_{k}\left(\lambda _{j}-\lambda _{k}\right)^{-i}~~~(i=1,\ldots ,r_{j}-1)\,.}$

(3)

Альтернативные выражения доступны в литературе по обобщенное распределение хи-квадрат - область, в которой компьютерные алгоритмы доступны уже несколько лет.

Обобщение

GNIG (обобщенная почти целочисленная гамма) распределение глубины ${\displaystyle p+1}$ - распределение случайной величины^[4]

${\displaystyle Z=Y_{1}+Y_{2}\!,}$

куда ${\displaystyle Y_{1}\sim GIG(r_{j},\lambda _{j};p)\!}$ и ${\displaystyle Y_{2}\sim \Gamma (r,\lambda )\!}$ - две независимые случайные величины, где ${\displaystyle r}$ является положительным нецелым вещественным числом и где ${\displaystyle \lambda \neq \lambda _{j}}$ ${\displaystyle (j=1,\dots ,p)}$.

Характеристики

Функция плотности вероятности ${\displaystyle Z\!}$ дан кем-то

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle f_{Z}^{\text{GNIG}}(z|r_{1},\dots ,r_{p},r;\,\lambda _{1},\dots ,\lambda _{p},\lambda )=\\[5pt]\displaystyle \quad \quad \quad K\lambda ^{r}\sum \limits _{j=1}^{p}{e^{-\lambda _{j}z}}\sum \limits _{k=1}^{r_{j}}{\left\{{c_{j,k}{\frac {\Gamma (k)}{\Gamma (k+r)}}z^{k+r-1}{}_{1}F_{1}(r,k+r,-(\lambda -\lambda _{j})z)}\right\}}{\rm {,}}~~~~(z>0)\end{array}}}$

а кумулятивная функция распределения определяется выражением

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle F_{Z}^{\text{GNIG}}(z|r_{1},\ldots ,r_{p},r;\,\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{p},\lambda )={\frac {\lambda ^{r}\,{z^{r}}}{\Gamma (r+1)}}{}_{1}F_{1}(r,r+1,-\lambda z)\\[12pt]\quad \quad \displaystyle -K\lambda ^{r}\sum \limits _{j=1}^{p}{e^{-\lambda _{j}z}}\sum \limits _{k=1}^{r_{j}}{c_{j,k}^{*}}\sum \limits _{i=0}^{k-1}{\frac {z^{r+i}\lambda _{j}^{i}}{\Gamma (r+1+i)}}{}_{1}F_{1}(r,r+1+i,-(\lambda -\lambda _{j})z)~~~~(z>0)\end{array}}}$

куда

${\displaystyle c_{j,k}^{*}={\frac {c_{j,k}}{\lambda _{j}^{k}}}\Gamma (k)}$

с ${\displaystyle c_{j,k}}$ данный (1)-(3) над. В приведенных выше выражениях ${\displaystyle _{1}F_{1}(a,b;z)}$ - вырожденная гипергеометрическая функция Куммера. Эта функция обычно имеет очень хорошие свойства сходимости и в настоящее время легко обрабатывается рядом программных пакетов.

Приложения

Распределения GIG и GNIG являются основой для точных и почти точных распределений большого количества статистических данных теста отношения правдоподобия и связанных статистических данных, используемых в многомерный анализ. ^{[5][6][7][8][9]} Точнее, это приложение обычно предназначено для точного и почти точного распределения отрицательного логарифма такой статистики. Если необходимо, то с помощью простого преобразования можно легко получить соответствующие точные или почти точные распределения для самих соответствующих тестовых статистик отношения правдоподобия. ^[4][10][11]

Распределение GIG также является основой для ряда упакованные дистрибутивы в обернутой гамма-семье.^[12]

Как частный случай обобщенное распределение хи-квадрат, есть много других приложений; например, в теории обновления^[1] и в беспроводной связи с множеством антенн.^{[13][14][15][16]}

Компьютерные модули

Модули для расчета п.о.ф. и c.d.f. дистрибутивов GIG и GNIG доступны на эта веб-страница о почти точных распределениях.

Рекомендации

1. Амари С.В. и Мисра Р. Б. (1997). Замкнутые выражения для распределения суммы экспоненциальных случайных величин^{[постоянная мертвая ссылка ]}. Транзакции IEEE о надежности, т. 46, нет. 4, 519-522.
2. Коэльо, К. А. (1998). Обобщенное целочисленное гамма-распределение - основа для распределений в многомерной статистике. Журнал многомерного анализа, 64, 86-102.
3. Коэльо, К. А. (1999). Приложение к статье «Обобщенное целочисленное гамма-распределение - основа для распределений в MultivariateAnalysis». Журнал многомерного анализа, 69, 281-285.
4. Коэльо, К. А. (2004). «Обобщенное почти целочисленное гамма-распределение - основа для« почти точных »приближений к распределениям статистики, которые являются продуктом нечетного числа конкретных независимых бета-случайных величин». Журнал многомерного анализа, 89 (2), 191-218. МИСТЕР2063631 Zbl  1047.62014 [WOS: 000221483200001]
5. Билодо, М., Бреннер, Д. (1999) «Теория многомерной статистики». Спрингер, Нью-Йорк [гл. 11, сек. 11.4]
6. Дас, С., Дей, Д. К. (2010) «О байесовском выводе для обобщенного многомерного гамма-распределения». Статистика и вероятностные письма, 80, 1492-1499.
7. Карагианнидис К., Сагиас Н. К., Цифтсис Т. А. (2006) «Закрытая статистика для суммы квадратов переменных Накагами-м и ее приложения». Сделки по коммуникациям, 54, 1353-1359.
8. Паолелла, М. С. (2007) «Промежуточная вероятность - вычислительный подход». J. Wiley & Sons, Нью-Йорк [гл. 2, сек. 2.2]
9. Тимм, Н. Х. (2002) «Прикладной многомерный анализ». Спрингер, Нью-Йорк [гл. 3, сек. 3.5]
10. Коэльо, К. А. (2006) «Точное и почти точное распределение произведения независимых бета-случайных величин, второй параметр которых является рациональным». Журнал комбинаторики, информации и системных наук, 31 (1-4), 21-44. МИСТЕР2351709
11. Коэльо, К. А., Альберто, Р. П. и Грило, Л. М. (2006) «Смесь обобщенных целочисленных гамма-распределений как точное распределение произведения нечетного числа независимых бета-случайных величин. Приложения». Журнал междисциплинарной математики, 9, 2, 229-248. МИСТЕР2245158 Zbl  1117.62017
12. Коэльо, К. А. (2007) «Обернутое гамма-распределение и свернутые суммы и линейные комбинации независимых гамма-распределений и распределений Лапласа». Журнал статистической теории и практики, 1 (1), 1-29.
13. Э. Бьёрнсон, Д. Хаммарвалл, Б. Оттерстен (2009) «Использование квантованной обратной связи по норме канала посредством условной статистики в произвольно коррелированных системах MIMO», Транзакции IEEE при обработке сигналов, 57, 4027-4041
14. Кайзер, Т., Чжэн, Ф. (2010) «Сверхширокополосные системы с MIMO». J. Wiley & Sons, Чичестер, Великобритания [гл. 6, сек. 6.6]
15. Суравира, Х. А., Смит, П. Дж., Суробхи, Н. А. (2008) «Точная вероятность сбоя совместного разнесения с гибким доступом к спектру». Международная конференция IEEE по коммуникациям, 2008 г., ICC Workshops '08, 79-86 (ISBN  978-1-4244-2052-0 - Дои:10.1109 / ICCW.2008.20).
16. Суробхи, Н. А. (2010) «Производительность совместных когнитивных ретрансляционных сетей». Магистерская диссертация, Школа инженерии и науки, Университет Виктории, Мельбурн, Австралия [Ch. 3, сек. 3.4].