Причинные множества - Causal sets

В причинные множества программа - это подход к квантовая гравитация. Его основополагающие принципы таковы: пространство-время фундаментально дискретен (набор дискретных точек пространства-времени, называемых элементами причинного множества), и что пространственно-временные события связаны между собой частичный заказ. Этот частичный порядок имеет физический смысл причинно-следственные связи между пространственно-временными событиями.

Программа основана на теореме^[1] к Дэвид Маламент в котором говорится, что если есть биективный карта между двумя прошлое и будущее различение время, сохраняющее их причинная структура тогда карта является конформный изоморфизм. Неопределенный конформный фактор связан с объемом регионов в пространстве-времени. Этот коэффициент объема можно восстановить, указав элемент объема для каждой точки пространства-времени. Затем объем области пространства-времени может быть найден путем подсчета количества точек в этой области.

Причинно-следственные связи были инициированы Рафаэль Соркин кто продолжает быть основным сторонником программы. Он придумал слоган «Порядок + Число = Геометрия», чтобы охарактеризовать приведенный выше аргумент. Программа предлагает теорию, в которой пространство-время принципиально дискретно, но при этом сохраняется локальное Лоренц-инвариантность.

Определение

А причинный набор (или же причина) - это множество ${displaystyle C}$ с частичный заказ связь ${displaystyle prevq}$ то есть

Рефлексивный: Для всех ${displaystyle xin C}$ , у нас есть ${displaystyle xpreceq x}$ .
Антисимметричный: Для всех ${displaystyle x, yin C}$ , у нас есть ${displaystyle xpreceq y}$ и ${displaystyle ypreceq x}$ подразумевает ${displaystyle x = y}$ .
Переходный: Для всех ${displaystyle x, y, zin C}$ , у нас есть ${displaystyle xpreceq y}$ и ${displaystyle ypreceq z}$ подразумевает ${displaystyle xpreceq z}$ .
Локально конечный: Для всех ${displaystyle x, zin C}$ , у нас есть ${displaystyle | {инь C | xpreceq ypreceq z} | <алеф _ {0}}$ .

Ну пиши ${displaystyle xprec y}$ если ${displaystyle xpreceq y}$ и ${displaystyle xeq y}$ .

Набор ${displaystyle C}$ представляет собой набор пространственно-временные события и отношение порядка ${displaystyle prevq}$ представляет причинную связь между событиями (см. причинная структура для аналогичной идеи в Лоренцево многообразие ).

Хотя это определение использует рефлексивное соглашение, мы могли бы выбрать иррефлексивное соглашение, в котором отношение порядка иррефлексивный.

В причинная связь из Лоренцево многообразие (без закрытых причинные кривые ) удовлетворяет первым трем условиям. Это условие локальной конечности, которое вводит дискретность пространства-времени.

Сравнение с континуумом

Учитывая причинную совокупность, мы можем спросить, может ли она быть встроенный в Лоренцево многообразие. Вложение было бы картой, переводящей элементы причинного множества в точки на многообразии, так что отношение порядка причинного множества совпадает с причинным порядком многообразия. Однако перед тем, как встраивание станет подходящим, необходим дополнительный критерий. Если в среднем количество элементов причинного множества, отображаемых в область многообразия, пропорционально объему области, то вложение называется верный. В этом случае мы можем рассматривать причинное множество как «многообразное».

Центральная гипотеза программы причинных множеств состоит в том, что один и тот же причинный набор не может быть точно встроен в два пространства-времени, которые не похожи в больших масштабах. Это называется Hauptvermutung, что означает «фундаментальная гипотеза». Трудно дать точное определение этой гипотезе, потому что трудно решить, когда два пространства-времени «подобны в больших масштабах».

Моделирование пространства-времени как причинного множества потребует от нас ограничить внимание теми причинными множествами, которые «подобны множеству». Учитывая причинно-следственный набор, это свойство трудно определить.

Опрыскивание

График из 1000 точек в 1 + 1 измерениях

К трудности определения того, можно ли включить причинную совокупность в многообразие, можно подойти с другой стороны. Мы можем создать причинное множество, разбрасывая точки на лоренцево многообразие. Распыляя точки пропорционально объему пространственно-временных областей и используя отношения причинного порядка в многообразии, чтобы вызвать отношения порядка между рассыпанными точками, мы можем создать причинное множество, которое (по построению) может быть точно встроено в многообразие.

Для сохранения лоренц-инвариантности это разбрызгивание точек должно выполняться случайным образом с использованием Пуассоновский процесс. Таким образом, вероятность дождевания ${displaystyle n}$ указывает в область объема ${displaystyle V}$ является

${displaystyle P (n) = {frac {(ho V) ^ {n} e ^ {- ho V}} {n!}}}$

куда ${displaystyle ho}$ плотность орошения.

При разбрызгивании точек в виде обычной решетки количество точек не будет пропорционально объему области.

Геометрия

Некоторые геометрические конструкции в многообразиях переносятся на причинные множества. Определяя их, мы должны помнить, что полагаемся только на сам причинный набор, а не на какое-либо фоновое пространство-время, в которое он мог бы быть встроен. Для обзора этих конструкций см.^[2]

Геодезические

График геодезических между двумя точками в причинном наборе из 180 точек, созданный путем разбрызгивания на измерения 1 + 1.

А связь в причинном множестве есть пара элементов ${displaystyle x, yin C}$ такой, что ${displaystyle xprec y}$ но без ${displaystyle zin C}$ такой, что ${displaystyle xprec zprec y}$ .

А цепь это последовательность элементов ${displaystyle x_ {0}, x_ {1}, ldots, x_ {n}}$ такой, что ${displaystyle x_ {i} prec x_ {i + 1}}$ за ${displaystyle i = 0, ldots, n-1}$ . Длина цепочки ${displaystyle n}$ .Если каждые ${displaystyle x_ {i}, x_ {i + 1}}$ в цепи образуют звено, тогда цепь называется дорожка.

Мы можем использовать это, чтобы определить понятие геодезический между двумя элементами причинного множества, при условии, что они сопоставимы по порядку, то есть причинно связаны (физически это означает, что они подобны времени). Геодезическая между двумя элементами ${displaystyle xpreceq yin C}$ это цепь, состоящая только из таких звеньев, что

${displaystyle x_ {0} = x}$ и ${displaystyle x_ {n} = y}$
Длина цепочки, ${displaystyle n}$ , максимальна по всем цепям из ${displaystyle x}$ к ${displaystyle y}$ .

Обычно между двумя сопоставимыми элементами может быть более одной геодезической.

Myrheim^[3] сначала предположил, что длина такой геодезической должна быть прямо пропорциональна собственному времени вдоль времениподобной геодезической, соединяющей две точки пространства-времени. Проверки этой гипотезы проводились с использованием причинно-следственных связей, созданных в результате разбрызгивания в плоское пространство-время. Было показано, что пропорциональность сохраняется, и предполагается, что она сохраняется и для дождевания в искривленном пространстве-времени.

Оценщики размеров

Была проделана большая работа по оценке многообразия измерение причинной совокупности. Это включает в себя алгоритмы, использующие причинное множество, стремящиеся дать измерение многообразия, в которое оно может быть точно встроено. Разработанные до сих пор алгоритмы основаны на нахождении размерности Пространство-время Минковского в которую может быть точно встроен причинный набор.

Измерение Мирхейма-Мейера

Этот подход основан на оценке количества ${displaystyle k}$ -длины цепей присутствуют в разбрызгивании в ${displaystyle d}$ -мерное пространство-время Минковского. Подсчитывая количество ${displaystyle k}$ -длина цепочек в причинном наборе тогда позволяет оценить ${displaystyle d}$ быть произведенным.

Размер с масштабированием до середины

Этот подход основан на соотношении между собственным временем между двумя точками в пространстве-времени Минковского и объемом пространственно-временной интервал между ними. Вычисляя максимальную длину цепи (чтобы оценить собственное время) между двумя точками ${displaystyle x}$ и ${displaystyle y}$ и подсчитывая количество элементов ${displaystyle z}$ такой, что ${displaystyle xprec zprec y}$ (чтобы оценить объем пространственно-временного интервала) можно вычислить размерность пространства-времени.

Эти оценщики должны давать правильные размеры причинно-следственных связей, порожденных разбрызгиванием высокой плотности в ${displaystyle d}$ -мерное пространство-время Минковского. Тесты в конформно-плоском пространстве-времени^[4] показали, что эти два метода являются точными.

Динамика

Постоянная задача - разработать правильный динамика для причинных множеств. Они предоставят набор правил, которые определяют, какие причинные наборы соответствуют физически реалистичным время. Самый популярный подход к разработке динамики причинно-следственной связи основан на суммирование историй версия квантовая механика. Этот подход будет выполнять «суммирование над причинными множествами» посредством растущий причинный набор по одному элементу за раз. Элементы будут добавляться в соответствии с правилами квантовой механики и вмешательство гарантировал бы, что большое многообразное пространство-время будет доминировать над вкладом. Лучшая модель динамики на данный момент - это классическая модель, в которой элементы добавляются в соответствии с вероятностями. Эта модель, созданная Дэвидом Райдаутом и Рафаэль Соркин, известен как классический последовательный рост (CSG) динамика.^[5] Классическая модель последовательного роста - это способ создания причинно-следственных связей путем добавления новых элементов один за другим. Определяются правила добавления новых элементов, и, в зависимости от параметров модели, возникают разные причинные множества.

По аналогии с формулировка интеграла по путям квантовой механики один из подходов к разработке квантовой динамики для причинных множеств заключался в применении принцип действия в подходе суммирования над причинными множествами. Соркин предложил дискретный аналог д'Аламбертиан, который, в свою очередь, может использоваться для определения Скаляр кривизны Риччи и тем самым Бенинказа-Даукер действие по причинно-следственной связи.^[6]^[7] Моделирование методом Монте-Карло предоставило доказательства наличия фазы континуума в 2D с помощью действия Benincasa-Dowker Action.^[8]

Смотрите также

дальнейшее чтение

Введение и обзоры

Л. Бомбелли. Справочная страница причинного набора (Обзор)
Л. Бомбелли. Причинные наборы: обзор и статус, Выступление на конференции Quantum Gravity in the Americas III, 24–26 августа 2006 г .; (Введение, Обзор)
Ф. Даукер, Причинные множества и глубокая структура пространства-времени, arXiv: gr-qc / 0508109; (Вступление)
Ф. Даукер, Причинные множества как дискретное пространство-время // Современная физика. 47, вып.1, стр. 1-9; (Обзор, Введение)
Ф. Даукер, Введение в причинные множества и их феноменологию, Gen Relativ Gravit (2013) 45: 1651–1667 doi: 10.1007 / s10714-013-1569-y (Обзор недавних исследований)
Дж. Хенсон, Подход причинно-следственных связей к квантовой гравитации, arXiv: gr-qc / 0601121; (Введение, Обзор)
Д.Д. Рид; Введение в причинные множества: альтернативный взгляд на структуру пространства-времени; Канадский журнал физики 79, 1–16 (2001); arXiv: gr-qc / 9909075; (Общий);
Соркин Р.Д.; Словарь причинно-следственных связей и библиография (20 ноября 2001 г.); (Глоссарий и библиография);
Соркин Р.Д., Причинные множества: дискретная гравитация (заметки для летней школы Вальдивии), В Трудах Летней школы Вальдивии, под редакцией А. Гомберова и Д. Марольфа; arXiv: gr-qc / 0309009; (Введение, Глоссарий)

Фонды

Л. Бомбелли, Дж. Ли, Д. Мейер, Соркин Р.Д., Пространство-время как причинная совокупность, Phys. Rev. Lett. 59: 521-524 (1987); (Введение, основы)
К. Мур, Комментарий к "Пространству-времени как причинному множеству", Phys. Rev. Lett. 60, 655 (1988); (Фонды)
Л. Бомбелли, Дж. Ли, Д. Мейер, Соркин Р.Д., Bombelli et al. Отвечать, Phys. Rev. Lett. 60, 656 (1988); (Фонды)
А. Эйнштейн, Письмо Х.С. Иоахим, 14 августа 1954 г .; Пункт 13-453, цитируемый в J. Stachel, «Эйнштейн и квант: пятьдесят лет борьбы», в книге From Quarks to Quasars, Philosophical Problems of Modern Physics, под редакцией R.G. Colodny (U. Pittsburgh Press, 1986), страницы 380–381; (Исторический)
Д. Финкельштейн, Пространственно-временной код, Phys. Rev.184: 1261 (1969); (Фонды)
Д. Финкельштейн, "Сверхпроводящие" причинные сети, Int. J. Th. Phys 27: 473 (1988); (Фонды)
Г. Хемион, Квантовая теория пространства и времени; Найденный. Phys. 10 (1980), стр. 819 (аналогичное предложение)
Дж. Мирхейм, Статистическая геометрия, Препринт ЦЕРН TH-2538 (1978); (Основы, Исторические)
Б. Риманн, Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, Собрание сочинений Б. Римана (Довер, штат Нью-Йорк, 1953); ; (Исторический)
Соркин Р.Д.; Финитарный заменитель непрерывной топологии, Int. J. Theor. Phys. 30 7: 923-947 (1991); (Основополагающий)
Соркин Р.Д., В основе пространства-времени и его метрики лежит дискретный порядок?, Труды Третьей Канадской конференции по общей теории относительности и релятивистской астрофизике (Виктория, Канада, май 1989 г.), под редакцией А. Коли, Ф. Куперстока, Б. Туппера, стр. 82–86, (World Scientific, 1990) ; (Вступление)
Соркин Р.Д., Первые шаги с причинными множествами В архиве 2013-09-30 на Wayback Machine, Общая теория относительности и гравитационная физика, (Материалы девятой итальянской конференции с тем же названием, состоявшейся на Капри, Италия, сентябрь 1990 г.), 68-90, (World Scientific, Сингапур), (1991), Р. Чианчи, Р. де Ритис, М. Франкавилья, Дж. Мармо, К. Рубано, П. Скуделларо (ред.); (Вступление)
Соркин Р.Д., Пространство-время и причинные множества В архиве 2013-09-30 на Wayback Machine, Относительность и гравитация: классическая и квантовая, (Материалы конференции SILARG VII, состоявшейся в Кокойоке, Мексика, декабрь 1990 г.), стр. 150-173, (World Scientific, Сингапур, 1991 г.), Дж. Ачар М. Розенбаум, депутат Райан, Л. Ф. Уррутия и Ф. Зертуче (ред.); (Вступление)
Соркин Р.Д., Развилки дороги на пути к квантовой гравитации, Выступление на конференции «Направления общей теории относительности», состоявшейся в Колледж-Парке, Мэриленд, май 1993 г., Int. J. Th. Phys. 36: 2759–2781 (1997); arXiv: gr-qc / 9706002; (Философский, Введение)
G.'t Hooft, Квантовая гравитация: фундаментальная проблема и некоторые радикальные идеи, Недавние разработки в области гравитации (Труды Карджезского летнего института 1978 г.) под редакцией М. Леви и С. Дезера (Пленум, 1979 г.); (Введение, Основы, Исторический)
Э. К. Зееман, Причинность подразумевает группу Лоренца, J. Math. Phys. 5: 490-493; (Исторический, Фонды)

Кандидатские диссертации

Л. Бомбелли, Пространство-время как причинное множество, Кандидатская диссертация (Сиракузский университет, 1987); (Введение, кинематика)
A.R. Доутон; Восстановление локальности для причинных множеств и связанных тем; Кандидатская диссертация (Сиракузский университет, 1993); (Местонахождение)
Д. Доу, Причинные множества, возможная интерпретация энтропии черной дыры и связанные темы; Кандидатская диссертация (SISSA, Триест, 1999); arXiv: gr-qc / 0106024 (Энтропия черной дыры)
С. Джонстон, Квантовые поля на причинных множествах, Кандидатская диссертация (Имперский колледж Лондон, 2010) arXiv: 1010.5514 (Квантовая теория поля)
Д.А. Мейер, Размерность причинных множеств, Кандидатская диссертация (M.I.T., 1988); (Теория размерностей)
Л. Филпотт, Феноменология причинного множества, Кандидатская диссертация (Имперский колледж Лондон, 2010); arXiv: 1009.1593 (Повороты, Феноменология)
Д.П. Благополучно перенести; Динамика причинных множеств; Кандидатская диссертация (Сиракузский университет 2001); arXiv: gr-qc / 0212064; (Космология, динамика)
Р. Б. Сальгадо; К квантовой динамике причинных множеств; Кандидатская диссертация (Сиракузский университет 2008); (Скалярная теория поля, Квантовая теория меры)
Р. Свердлов; Квантовая теория поля и гравитация в причинных множествах; Кандидатская диссертация (университет Мичигана 2009); arXiv: 0905.2263 (Квантовая теория поля и гравитация)

Переговоры

Джо Хенсон, Приглашение к причинным множествам; Выступление на Институт периметра, 14 сентября 2010 г., Ватерлоо, Онтарио (Введение)
Ф. Даукер, Феноменология причинного множества; Выступление на Loops 05, 10–14 октября 2005 г., Потсдам, Институт Макса Планка гравитационной физики (Сворачивает)
С. Джонстон; Распространители частиц из дискретного пространства-времени; Выступление на Институт периметра 14 апреля 2008 г. (Квантовая теория поля)
Д.А. Мейер; Выступление на семинаре в Санта-Фе в 1997 году: Причинные множества и диаграммы Фейнмана; Представлено на "Новые направления в симплициальной квантовой гравитации" 28 июля - 8 августа 1997 г .; (Диаграммы Фейнмана, квантовая динамика)
Д.П. Благополучно перенести; Пространственные гиперповерхности в космологии причинных множеств; Выступление на Loops 05, 10–14 октября 2005 г., Потсдам, Институт Макса Планка гравитационной физики (Пространственные гиперповерхности, Динамика)
Дж. Скаргл, Проверка теории квантовой гравитации с помощью GLAST; Выступление в Институте физики элементарных частиц Санта-Крус, 24 апреля 2007 г. (лоренц-инвариантность, феноменология)
Соркин Р.Д.; Два выступления на семинаре в Санта-Фе в 1997 году: Обзор причинно-следственного подхода к квантовой гравитации и '; Представлено на конференции «Новые направления симплициальной квантовой гравитации» 28 июля - 8 августа 1997 г .; ;;
Соркин Р.Д.; Приводит ли квантовая гравитация к наблюдаемой нелокальности?; Выступление на Институт периметра 17.01.2007 (д'Аламбертиан, местность)
Соркин Р.Д., Некоторые идеи квантовой гравитации, полученные из работы над причинными множествами; Выступление на Loops 05, 10–14 октября 2005 г., Потсдам, Институт Макса Планка гравитационной физики (Обзор)
Соркин Р.Д. Является ли прошлый конечный причинный порядок внутренней основой пространства-времени? Выступление на Институт периметра 07/09/2005
С. Сурья, Восстановление топологии пространства-времени из причины; Выступление на Loops 05, 10–14 октября 2005 г., Потсдам, Институт Макса Планка гравитационной физики (Топология)
Р. Свердлов; Введение бозонных полей в теорию причинных множеств; Выступление на Институт периметра 19.02.2008 (Квантовая теория поля)

Многообразие

Л. Бомбелли, Д.А. Мейер; Происхождение лоренцевой геометрии; Phys. Lett. А 141: 226-228 (1989); (Многообразие)
Л. Бомбелли, Соркин Р.Д., Когда близки две лоренцевы метрики?, Общая теория относительности и гравитации, материалы 12-й Международной конференции по общей теории относительности и гравитации, проходившей 2–8 июля 1989 г. в Боулдере, Колорадо, США, под эгидой Международного общества общей теории относительности и гравитации, 1989 г., с. 220; (Близость лоренцевых многообразий)
Л. Бомбелли, Причинные множества и близость лоренцевых многообразий, Относительность в целом: материалы совещания по теории относительности "93, проходившего 7–10 сентября 1993 г. в Саласе, Астурия, Испания. Под редакцией Х. Диаса Алонсо, М. Лоренте Парамо. ISBN 2-86332-168-4. Опубликовано Editions Frontieres, 91192 Gif-sur-Yvette Cedex, Франция, 1994, стр. 249; (Близость лоренцевых многообразий)
Л. Бомбелли, Статистическая лоренцева геометрия и близость лоренцевых многообразий, J. Math. Phys.41: 6944-6958 (2000); arXiv: gr-qc / 0002053 (Близость лоренцевых многообразий, многообразие)
A.R. Дотон, Исследование симметричного случая, когда причинные множества вкладываются в многообразия., Учебный класс. Quantum Grav.15 (11): 3427-3434 (ноябрь 1998 г.) (Многообразие)
Дж. Хенсон, Построение интервала пространства Минковского по причинному множеству, Учебный класс. Квантовая гравитация. 23 (2006) L29-L35; arXiv: gr-qc / 0601069; (Предел непрерывности, орошение)
С. Майор, Д. Райдаут, С. Сурья, О восстановлении топологии континуума из причинного множества, J.Math.Phys.48: 032501, 2007; arXiv: gr-qc / 0604124 (Топология континуума)
С. Майор, Д. Райдаут, С. Сурья; Пространственные гиперповерхности в космологии причинных множеств; Учебный класс. Квантовая гравитация. 23 (2006) 4743-4752; arXiv: gr-qc / 0506133v2; (Наблюдаемые, топология континуума)
С. Майор, Д. Райдаут, С. Сурья, Стабильные гомологии как индикатор многообразия в теории причинных множеств, arXiv: 0902.0434 (Топология и гомология континуума)
Д.А. Мейер, Размерность причинных множеств I: измерение Минковского, Препринт Сиракузского университета (1988); (Теория размерностей)
Д.А. Мейер, Размерность причинных множеств II: измерение Хаусдорфа, Препринт Сиракузского университета (1988); (Теория размерностей)
Д.А. Мейер, Сферическая включенность и размерность Минковского частичных порядков, Заказ 10: 227-237 (1993); (Теория размерностей)
Дж. Нолдус, Новая топология на пространстве лоренцевых метрик на фиксированном многообразии, Учебный класс. Quant. Grav 19: 6075-6107 (2002); (Близость лоренцевых многообразий)
Дж. Нолдус, Лоренцево понятие расстояния по Громову – Хаусдорфу, Учебный класс. Квантовая гравитация. 21, 839-850 (2004); (Близость лоренцевых многообразий)
Д.Д. Рид, Размерность многообразия причинного множества: тесты в конформно плоском пространстве-времени, Phys. Ред. D67 (2003) 024034; arXiv: gr-qc / 0207103v2 (Теория размерностей)
С. Сурья, Причинно-следственная топология; arXiv: 0712.1648

Геометрия

Э. Бахмат; Дискретное пространство-время и его приложения; arXiv: gr-qc / 0702140; (Геодезические, Антицепи)
Г. Брайтвелл, Р. Грегори; Структура случайного дискретного пространства-времени; Phys. Rev. Lett. 66: 260-263 (1991); (Геодезическая длина)
Дж. У. Гиббонс, С. Н. Солодухин; Геометрия мелких причинных алмазов arXiv: hep-th / 0703098 (Причинные интервалы)
С.В. Хокинг, А. Кинг, П.Дж. Маккарти; Новая топология искривленного пространства-времени, включающая причинную, дифференциальную и конформную структуры.; J. Math. Phys. 17 2: 174-181 (1976); (Геометрия, Причинная структура )
S. He, D.P. Благополучно перенести; Причинно-следственная черная дыра; arXiv: 0811.4235 (Причинная структура пространства-времени Шварцшильда, Спринклингс)
Р. Илие, Г. Томпсон, Д. Рид; Численное исследование соответствия между путями в причинном множестве и геодезическими в континууме; 2006 класс. Квантовая гравитация.23 3275-3285 arXiv: gr-qc / 0512073 (Геодезическая длина)
СРЕДНИЙ. Левичев; Задание конформной геометрии лоренцевого многообразия с помощью его причинной структуры; Советская математика. Докл. 35: 452-455 (1987); (Геометрия, Причинная структура )
Маламент, Дэвид Б. (июль 1977 г.). «Класс непрерывных времениподобных кривых определяет топологию пространства-времени» (PDF). Журнал математической физики. 18 (7): 1399–1404. Bibcode:1977JMP .... 18.1399M. Дои:10.1063/1.523436.
Д.П. Райдаут, П. Уолден; Пространственное расстояние от дискретного причинного порядка; arXiv: 0810.1768 (Пространственные расстояния)

Предсказание космологической постоянной

М. Ахмед, С. Додельсон, П. Б. Грин, Соркин Р.Д., Всегда присутствующая лямбда; Phys. Ред. D69, 103523, (2004) arXiv: astro-ph / 0209274v1 ; (Космологическая постоянная)
Ю. Джек Нг и Х. ван Дам, Маленькая, но ненулевая космологическая постоянная; Int. J. Mod. Физ. Д. 10: 49 (2001). arXiv: hep-th / 9911102v3; (Космологическая постоянная до наблюдения)
Ю. Кузнецов, О космологической постоянной в теории причинного множества; arXiv: 0706.0041
Соркин Р.Д., Модифицированная история суммирования для гравитации; опубликовано в журнале Highlights in gravitation and cosmology: Proceedings of the International Conference on Gravitation and Cosmology, Goa, India, 14–19 декабря 1987 г., под редакцией Б. Р. Айера, Аджита Кембхави, Джаянт В. Нарликар, и К. В. Вишвешвара см. страницы 184–186 в статье Д. Брилла и Л. Смолина: «Практикум по квантовой гравитации и новым направлениям», стр. 183–191 (Cambridge University Press, Cambridge, 1988); (Космологическая постоянная до наблюдения)
Соркин Р.Д.; О роли времени в системе суммирования историй гравитации, доклад, представленный на конференции по истории современных калибровочных теорий, состоявшейся в Логане, Юта, июль 1987 г .; Int. J. Theor. Phys. 33: 523-534 (1994); (Космологическая постоянная до наблюдения)
Соркин Р.Д., Первые шаги с причинными множествами В архиве 2013-09-30 на Wayback Machine, в R. Cianci, R. de Ritis, M. Francaviglia, G. Marmo, C. Rubano, P. Scudellaro (ред.), Общая теория относительности и гравитационная физика (Труды Девятой Итальянской конференции с тем же названием, проходившей на Капри , Италия, сентябрь 1990 г.), стр. 68–90 (World Scientific, Сингапур, 1991 г.); (Космологическая постоянная до наблюдения)
Соркин Р.Д.; Развилки дороги на пути к квантовой гравитации, доклад, сделанный на конференции «Направления общей теории относительности», состоявшейся в Колледж-Парке, Мэриленд, май 1993 г .; Int. J. Th. Phys. 36: 2759–2781 (1997). arXiv: gr-qc / 9706002 ; (Космологическая постоянная до наблюдения)
Соркин Р.Д., Дискретная гравитация; цикл лекций для Первого семинара по математической физике и гравитации, проведенного в Оастепеке, Мексика, декабрь 1995 г. (не опубликовано); (Космологическая постоянная до наблюдения)
Соркин Р.Д., Большие дополнительные размеры делают Lambda слишком маленьким; arXiv: gr-qc / 0503057v1; (Космологическая постоянная)
Соркин Р.Д., Является ли космологическая «константа» нелокальным квантовым остатком дискретности типа причинного множества?; Материалы конференции PASCOS-07, июль 2007 г., Имперский колледж Лондона; arXiv: 0710.1675; (Космологическая постоянная)
Дж. Зунц, РИ во Вселенной с причинным множеством, arXiv: 0711.2904 (CMB)

Инвариантность Лоренца и Пуанкаре, феноменология

Л. Бомбелли, Дж. Хенсон, Соркин Р.Д.; Дискретность без нарушения симметрии: теорема; arXiv: gr-qc / 0605006v1; (Лоренц-инвариантность, разбрызгивание)
Ф. Даукер, Дж. Хенсон, Соркин Р.Д., Феноменология квантовой гравитации, лоренц-инвариантность и дискретность; Мод. Phys. Lett. A19, 1829–1840, (2004) arXiv: gr-qc / 0311055v3; (Лоренц-инвариантность, Феноменология, Свервс)
Ф. Даукер, Дж. Хенсон, Соркин Р.Д., Дискретность и передача света от удаленных источников; arXiv: 1009.3058 (Связность света, Феноменология)
Дж. Хенсон, Макроскопические наблюдаемые и нарушение Лоренца в дискретной квантовой гравитации; arXiv: gr-qc / 0604040v1; (Лоренц-инвариантность, Феноменология)
Н. Калопер, Д. Маттингли, Низкоэнергетические границы нарушения Пуанкаре в теории причинных множеств; Phys. Ред. D 74, 106001 (2006). arXiv: astro-ph / 0607485 (Инвариантность Пуанкаре, Феноменология)
Д. Маттингли, Причинные множества и законы сохранения в тестах на симметрию Лоренца; Phys. Ред. D 77, 125021 (2008). arXiv: 0709.0539 (Лоренц-инвариантность, Феноменология)
Л. Филпотт, Ф. Даукер, Соркин Р.Д., Диффузия энергии-импульса из дискретности пространства-времени; arXiv: 0810.5591 (Феноменология, Повороты)

Энтропия черной дыры в теории причинных множеств

Д. Доу, Энтропия черной дыры как причинные связи; Fnd. of Phys, 33, 2: 279-296 (18) (2003); arXiv: gr-qc / 0302009v1 (Энтропия черной дыры)
Д.П. Райдаут, С. Зохрен, Подсчет энтропии в причинном множестве квантовой гравитации ; arXiv: gr-qc / 0612074v1; (Энтропия черной дыры)
Д.П. Райдаут, С. Зохрен, Доказательства энтропии, связанной с фундаментально дискретной гравитацией; Учебный класс. Квантовая гравитация. 23 (2006) 6195-6213; arXiv: gr-qc / 0606065v2 (Энтропия черной дыры)

Локальность и квантовая теория поля

Г. Хемион, Дискретная геометрия: размышления о новой структуре классической электродинамики; Int. J. Theor. Phys. 27 (1988), стр. 1145 (Классическая электродинамика)
С. Джонстон; Пропагаторы частиц в дискретном пространстве-времени; 2008 класс. Квантовая гравитация. 25 202001; arXiv: 0806.3083 (Квантовая теория поля)
С. Джонстон; Пропагатор Фейнмана для свободного скалярного поля на причинном множестве; Phys. Rev. Lett. 103, 180401 (2009); arXiv: 0909.0944 (Квантовая теория поля)
Соркин Р.Д.; Подходит ли местность для средних масштабов длины; К квантовой гравитации, Даниэле Орити (редактор) (Cambridge University Press, 2007); arXiv: gr-qc / 0703099v1; (Даламбертиан, местность)
Р. Свердлов, Л. Бомбелли; Гравитация и материя в теории причинных множеств; arXiv: 0801.0240
Р. Свердлов; Геометрическое описание спинорных полей.; arXiv: 0802.1914
Р. Свердлов; Бозонные поля в теории причинных множеств; arXiv: 0807.4709
Р. Свердлов; Измерительные поля в теории причинных множеств; arXiv: 0807.2066
Р. Свердлов; Спинорные поля в теории причинных множеств; arXiv: 0808.2956

Причинно-следственная динамика

М. Ахмед, Д. Райдаут, Указания на пространство-время де Ситтера из классической последовательной динамики роста причинных множеств; arXiv: 0909.4771
А. Аш, П. Макдональд, Проблемы моментов и причинно-следственный подход к квантовой гравитации; J.Math.Phys. 44 (2003) 1666–1678; arXiv: gr-qc / 0209020
А. Аш, П. Макдональд, Случайные частичные порядки, посты и причинно-следственный подход к дискретной квантовой гравитации; J.Math.Phys. 46 (2005) 062502 (Анализ количества должностей в процессах роста)
D.M.T. Бенинкаса, Ф. Даукер, Скалярная кривизна причинного множества; arXiv: 1001.2725; (Скалярная кривизна, действия)
Г. Брайтвелл; М. Лучак; Порядково-инвариантные меры на причинных множествах; arXiv: 0901.0240; (Меры по причинным множествам)
Г. Брайтвелл; М. Лучак; Порядочно-инвариантные меры на фиксированных причинных множествах; arXiv: 0901.0242; (Меры по причинным множествам)
Г. Брайтвелл, Х.Ф. Даукер, Р.С. Гарсия, Дж. Хенсон, Соркин Р.Д.; Общая ковариантность и «проблема времени» в дискретной космологии.; В ред. К. Боуден, Корреляции: Материалы 23-й конференции ANPA, 16–21 августа 2001 г., Кембридж, Англия, стр. 1–17. Альтернативная ассоциация естественной философии (2002 г.) .;arXiv: gr-qc / 0202097; (Космология, динамика, наблюдаемые)
Г. Брайтвелл, Х.Ф. Даукер, Р.С. Гарсия, Дж. Хенсон, Соркин Р.Д.; «Наблюдаемые» в космологии причинных множеств; Phys. Ред. D67, 084031, (2003); arXiv: gr-qc / 0210061; (Космология, динамика, наблюдаемые)
Г. Брайтвелл, Дж. Хенсон, С. Сурья; Двумерная модель причинной совокупности квантовой гравитации: возникновение континуума; arXiv: 0706.0375; (Квантовая динамика, игрушечная модель)
Дж. Брайтуэлл, Н. Георгиу; Пределы континуума для классических моделей последовательного роста Бристольский университет препринт. (Динамика)
А. Крискуоло, Х. Вэлбрук; Причинно-следственная динамика: игрушечная модель; Учебный класс. Квантовая гравитация, 16: 1817-1832 (1999); arXiv: gr-qc / 9811088; (Квантовая динамика, игрушечная модель)
Ф. Даукер, С. Сурья; Наблюдаемые в расширенных перколяционных моделях космологии причинных множеств;Учебный класс. Квантовая гравитация. 23, 1381-1390 (2006); arXiv: gr-qc / 0504069v1; (Космология, динамика, наблюдаемые)
М. Дросте, Универсальные однородные причинные множества, J. Math. Phys. 46, 122503 (2005); arXiv: gr-qc / 0510118; (Прошлые конечные причинные множества)
Дж. Хенсон, Д. Райдаут, Соркин Р.Д., С. Сурья; Наступление асимптотического режима для (равномерно случайных) конечных порядков; Experimental Mathematics 26, 3: 253-266 (2017); (Космология, динамика)
Круглый А.Л .; Динамика причинного множества и элементарные частицы; Int. J. Theo. Phys 41 1: 1-37 (2004) ;; (Квантовая динамика)
X. Мартин, Д. О'Коннор, Д.П. Благополучно перенести, Соркин Р.Д.; О «перенормировочных» преобразованиях, вызванных циклами расширения и сжатия в космологии причинных множеств; Phys. Ред. D 63, 084026 (2001); arXiv: gr-qc / 0009063 (Космология, динамика)
Д.А. Мейер; Пространственно-временные модели Изинга; (Препринт UCSD, май 1993 г.); (Квантовая динамика)
Д.А. Мейер; Почему тикают часы?; Общая теория относительности и гравитации 25 9: 893-900 ;; (Квантовая динамика)
I. Raptis; Квантовое пространство-время как квантовая причинная совокупность, arXiv: gr-qc / 0201004v8
Д.П. Благополучно перенести, Соркин Р.Д.; Классическая последовательная динамика роста причинных множеств, Phys. Ред. D, 6, 024002 (2000);arXiv: gr-qc / 9904062 (Космология, динамика)
Д.П. Благополучно перенести, Соркин Р.Д.; Доказательства континуального предела в динамике причинной совокупности Phys. Rev. D 63: 104011, 2001; arXiv: gr-qc / 0003117 (Космология, динамика)
Соркин Р.Д.; Показания космологии причинной совокупности; Int. J. Theor. Тел. 39 (7): 1731-1736 (2000); arXiv: gr-qc / 0003043; (Космология, динамика)
Соркин Р.Д.; Теория относительности не подразумевает, что будущее уже существует: контрпример; Относительность и размерность мира, Веселин Петков (ред.) (Springer 2007, в печати); arXiv: gr-qc / 0703098v1; (Динамика, Философия)
М. Варадараджан, Д.П. Благополучно перенести; Общее решение для классической динамики последовательного роста причинных множеств; Phys. Ред. D 73 (2006) 104021; arXiv: gr-qc / 0504066v3; (Космология, динамика)
М.Р., Хошбин-э-Хошназар (2013). «Связующая энергия очень ранней Вселенной: отказ от Эйнштейна ради дискретного набора с тремя торами. Предложение о происхождении темной энергии». Гравитация и космология. 19 (2): 106–113. Bibcode:2013GrCo ... 19..106K. Дои:10.1134 / s0202289313020059.; (Динамика, Позет)

внешняя ссылка

Подход причинно-следственных связей к квантовой гравитации обзорная статья Джо Хенсона о причинных множествах
Пространство-время как причинная совокупность - одна из первых работ Луки Бомбелли, Джухана Ли, Дэвида Мейера и Рафаэля Д. Соркина.
Геометрия по порядку: причинные множества - нетехническая статья Рафаэля Соркина на тему Эйнштейн онлайн

[Malament-1] Маламент, Дэвид Б. (июль 1977 г.). «Класс непрерывных времениподобных кривых определяет топологию пространства-времени» (PDF). Журнал математической физики. 18 (7): 1399–1404. Bibcode:1977JMP .... 18.1399M. Дои:10.1063/1.523436.

[Brightwell-2] Брайтвелл, Грэм; Грегори, Рут (21 января 1991 г.). «Структура случайного дискретного пространства-времени». Письма с физическими проверками. 66 (3): 260–263. Bibcode:1991ПхРвЛ..66..260Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.66.260. HDL:2060/19900019113. PMID 10043761.

[Myrhiem-3] Дж. Мирхейм, Препринт ЦЕРН ТН-2538 (1978)

[Reid-4] Рид, Дэвид Д. (30 января 2003 г.). «Многообразие причинного множества: тесты в конформно плоском пространстве-времени». Физический обзор D. 67 (2): 024034. arXiv:gr-qc / 0207103. Bibcode:2003ПхРвД..67б4034Р. Дои:10.1103 / PhysRevD.67.024034.

[5] Райдаут, Д. П .; Соркин, Р. Д. (2000). «Классическая последовательная динамика роста для причинных множеств». Физический обзор D. 61 (2): 024002. arXiv:gr-qc / 9904062. Bibcode:2000ПхРвД..61б4002Р. Дои:10.1103 / PhysRevD.61.024002.

[6] Соркин Д. П. (20 марта 2007 г.). «Локальность терпит неудачу при средних масштабах длины». arXiv:gr-qc / 0703099.

[7] Бенинкаса, Д. М. Т .; Даукер, Ф. (май 2010 г.). «Скалярная кривизна причинного множества». Phys. Rev. Lett. 104 (18): 181301. arXiv:1001.2725. Bibcode:2010ПхРвЛ.104р1301Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.104.181301. PMID 20482164.

[8] Сурья, С. (июль 2012 г.). «Доказательства континуума в двумерной каузальной квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация. 29 (13): 132001. arXiv:1110.6244. Bibcode:2012CQGra..29m2001S. Дои:10.1088/0264-9381/29/13/132001.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]