Скалярно-тензорная теория - Scalar–tensor theory

В теоретическая физика, а скалярно-тензорная теория это теория поля это включает как скалярное поле и тензор поле для представления определенного взаимодействия. Например, Теория Бранса – Дике из гравитация использует как скалярное поле, так и тензорное поле посредничать гравитационное взаимодействие.

Тензорные поля и теория поля

Современная физика пытается вывести все физические теории из как можно меньшего числа принципов. Таким образом, Ньютоновская механика а также квантовая механика получены из Гамильтон с принцип наименьшего действия. В этом подходе поведение системы не описывается через силы, но функциями, описывающими энергию системы. Наиболее важными являются энергетические величины, известные как Гамильтониан функция и Лагранжиан функция. Их производные в космосе известны как Гамильтониан плотность и плотность лагранжиана. Переход к этим величинам приводит к теории поля.

Современная физика использует поле теории для объяснения реальности. Эти поля могут быть скаляр, векторный или же тензорный. Примером скалярного поля является температурное поле. Примером векторного поля является поле скорости ветра. Примером тензорного поля является тензор напряжений поле в напряженном теле, используемое в механика сплошной среды.

Гравитация как теория поля

В физике силы (как векторные величины) задаются как производная (градиент) скалярных величин, называемых потенциалами. В классической физике раньше Эйнштейн, гравитация была дана таким же образом, как следствие гравитационной силы (векторной), заданной через скалярное потенциальное поле, зависящее от массы частиц. Таким образом, Ньютоновский гравитация называется скалярная теория. Гравитационная сила зависит от расстояния р между массивными объектами (точнее, их центром масс). Масса - это параметр, а пространство и время неизменны.

Теория гравитации Эйнштейна, Общая теория относительности (GR) другого характера. Он объединяет пространство и время в четырехмерном многообразие называется пространством-временем. В ОТО нет гравитационной силы, вместо этого действия, которые мы приписали силе, являются следствием локальной кривизны пространства-времени. Эта кривизна математически определяется так называемым метрика, которая является функцией полной энергии, включая массу, в области. Производная метрики - это функция, которая в большинстве случаев приближается к классической ньютоновской силе. Метрика - это тензорная величина степени 2 (ее можно представить в виде матрицы 4x4, объекта, имеющего 2 индекса).

Другая возможность объяснить гравитацию в этом контексте - использовать как тензорные (степени n> 1), так и скалярные поля, то есть так, что гравитация задается не только через скалярное поле, но и только через метрику. Это скалярно-тензорные теории гравитации.

Теоретико-полевое начало общей теории относительности дается через плотность Лагранжа. Это скалярный и калибровочный инвариант (см. калибровочные теории ) величина, зависящая от скаляра кривизны R. Этот лагранжиан, следуя принципу Гамильтона, приводит к полевым уравнениям Гильберта и Эйнштейн. Если в лагранжиане кривизна (или связанная с ней величина) умножается на квадратное скалярное поле, получаются полевые теории скалярно-тензорных теорий гравитации. В них гравитационная постоянная Ньютона больше не реальная константа, а величина, зависящая от скалярного поля.

Математическая формулировка

Действие такой гравитационной скалярно-тензорной теории можно записать следующим образом:

${displaystyle S={frac {1}{c}}int {d^{4}x{sqrt {-g}}{frac {1}{2mu }}} imes left[Phi R-{frac {omega (Phi )}{Phi }}(partial _{sigma }Phi )^{2}-V(Phi )+2mu ~{mathcal {L}}_{m}(g_{mu u },Psi )ight],}$

куда ${displaystyle g}$ - определитель метрики, ${displaystyle R}$ - скаляр Риччи, построенный по метрике ${displaystyle g_{mu u }}$, ${displaystyle mu }$ - константа связи с размерами ${displaystyle L^{-1}M^{-1}T^{2}}$, ${displaystyle V(Phi )}$ - потенциал скалярного поля, ${displaystyle {mathcal {L}}_{m}}$ - материальный лагранжиан и ${displaystyle Psi }$ представляет собой негравитационные поля. Здесь параметр Бранса – Дике ${displaystyle omega }$ был обобщен до функции. Несмотря на то что ${displaystyle mu }$ часто пишется как ${displaystyle 8pi G/c^{4}}$, следует иметь в виду, что фундаментальная постоянная ${displaystyle G}$ там нет постоянная гравитации которые можно измерить, например, Эксперименты типа Кавендиша. Действительно, эмпирическая гравитационная постоянная обычно больше не является константой в скалярно-тензорных теориях, а является функцией скалярного поля ${displaystyle Phi }$. Уравнения метрики и скалярного поля соответственно записывают:

${displaystyle R_{mu u }-{frac {1}{2}}g_{mu u }R={frac {mu }{Phi }}T_{mu u }+{frac {1}{Phi }}[abla _{mu }abla _{u }-g_{mu u }Box ]Phi +{frac {omega (Phi )}{Phi ^{2}}}(partial _{mu }Phi partial _{u }Phi -{frac {1}{2}}g_{mu u }(partial _{alpha }Phi )^{2})-g_{mu u }{frac {V(Phi )}{2Phi }},}$

и

${displaystyle {frac {2omega (Phi )+3}{Phi }}Box Phi ={frac {mu }{Phi }}T-{frac {omega '(Phi )}{Phi }}(partial _{sigma }Phi )^{2}+V'(Phi )-2{frac {V(Phi )}{Phi }}.}$

Кроме того, теория удовлетворяет следующему уравнению сохранения, подразумевающему, что пробные частицы следуют за пространством-временем геодезические например, в общей теории относительности:

${displaystyle abla _{sigma }T^{mu sigma }=0,}$

куда ${displaystyle T^{mu sigma }}$ это тензор энергии-импульса определяется как

${displaystyle T_{mu u }=-{frac {2}{sqrt {-g}}}{frac {delta ({sqrt {-g}}{mathcal {L}}_{m})}{delta g^{mu u }}}.}$

Ньютоновское приближение теории.

Развивая пертурбативно теорию, определенную предыдущим действием на фоне Минковского, и предполагая нерелятивистские источники гравитации, первый порядок дает ньютоновское приближение теории. В этом приближении и для теории без потенциала метрика записывает

${displaystyle g_{00}=-1+2{frac {U}{c^{2}}}+{mathcal {O}}(c^{-3}),~g_{0i}={mathcal {O}}(c^{-2}),~g_{ij}=delta _{ij}+{mathcal {O}}(c^{-1}),}$

с ${displaystyle U}$ удовлетворяющий следующему обычному Уравнение Пуассона в низшем порядке приближения:

${displaystyle riangle U=8pi G_{mathrm {eff} }~ho +{mathcal {O}}(c^{-1}),}$

куда ${displaystyle ho }$ - плотность гравитационного источника и ${displaystyle G_{mathrm {eff} }={frac {2omega _{0}+4}{2omega _{0}+3}}{frac {G}{Phi _{0}}}}$ (нижний индекс ${displaystyle _{0}}$ указывает на то, что соответствующее значение принято в настоящее время и в текущем космологическом месте). Следовательно эмпирическая гравитационная постоянная является функцией текущего значения фона скалярного поля ${displaystyle Phi _{0}}$ и поэтому теоретически зависит от времени и места.^[1] Однако никаких отклонений от постоянства ньютоновской гравитационной постоянной не проводилось.^[2] подразумевая, что фон скалярного поля ${displaystyle Phi _{0}}$ довольно стабильна с течением времени. Такая стабильность обычно не ожидается теоретически, но теоретически может быть объяснена несколькими механизмами.^[3]

Первое постньютоновское приближение теории

Развитие теории на следующем уровне приводит к так называемому первому постньютоновскому порядку. Для теории без потенциала и в системе координат с соблюдением условия слабой изотропии^[4] (т.е. ${displaystyle g_{ij}propto delta _{ij}+{mathcal {O}}(c^{-3}),}$) метрика принимает следующий вид:

${displaystyle g_{00}=-1+{frac {2W}{c^{2}}}-eta {frac {2W^{2}}{c^{4}}}+{mathcal {O}}(c^{-5})}$

${displaystyle g_{0i}=-(gamma +1){frac {2W_{i}}{c^{3}}}+{mathcal {O}}(c^{-4})}$

${displaystyle g_{ij}=delta _{ij}left(1+gamma {frac {2W}{c^{2}}}ight)+{mathcal {O}}(c^{-3})}$

с^[5]

${displaystyle Box W+{frac {1+2eta -3gamma }{c^{2}}}W riangle W+{frac {2}{c^{2}}}(1+gamma )partial _{t}J=-4pi G_{mathrm {eff} }Sigma +{mathcal {O}}(c^{-3})~,}$

${displaystyle riangle W_{i}-partial x_{i}J=-4pi G_{mathrm {eff} }Sigma ^{i}+{mathcal {O}}(c^{-1})~,}$

куда ${displaystyle J}$ - функция, зависящая от координатной калибровки

${displaystyle J=partial _{t}W+partial _{k}W_{k}+{mathcal {O}}(c^{-1})~.}$

Это соответствует оставшимся диффеоморфизм степень свободы, не фиксируемая условием слабой изотропии. Источники определены как

${displaystyle Sigma ={frac {1}{c^{2}}}(T^{00}+gamma T^{kk})~,qquad Sigma ^{i}={frac {1}{c}}T^{0i}~,}$

так называемой постньютоновские параметры находятся

${displaystyle gamma ={frac {omega _{0}+1}{omega _{0}+2}}~,}$

${displaystyle eta =1+{frac {omega _{0}^{prime }}{(2omega _{0}+3)(2omega _{0}+4)^{2}}}~,}$

и наконец эмпирическая гравитационная постоянная ${displaystyle G_{mathrm {eff} }}$ дан кем-то

${displaystyle G_{mathrm {eff} }={frac {2omega _{0}+4}{~2omega _{0}+3~}},G~,}$

куда ${displaystyle G}$ - (истинная) константа, которая появляется в константе связи ${displaystyle mu }$ определено ранее.

Наблюдательные ограничения теории

Текущие наблюдения показывают, что ${displaystyle gamma -1=(2.1pm 2.3) imes 10^{-5}}$,^[2] что обозначает ${displaystyle omega _{0}>40000}$. Хотя объясняя такое значение в контексте оригинала Теория Бранса – Дике невозможно, Damour и Нордтведт обнаружили, что уравнения поля общей теории часто приводят к эволюции функции ${displaystyle omega }$ к бесконечности во время эволюции Вселенной.^[3] Следовательно, по их мнению, текущее высокое значение функции ${displaystyle omega }$ может быть простым следствием эволюции Вселенной.

Лучшее текущее ограничение на постньютоновский параметр ${displaystyle eta }$ происходит из-за сдвига перигелия Меркурия и ${displaystyle |eta -1|<3 imes 10^{-3}}$.^[2]

Оба ограничения показывают, что, хотя теория все еще является потенциальным кандидатом на замену общей теории относительности, скалярное поле должно быть очень слабо связано, чтобы объяснить текущие наблюдения.

Обобщенные скалярно-тензорные теории также были предложены для объяснения ускоренное расширение вселенной но измерение скорости гравитации с событием гравитационной волны GW170817 исключил это.^{[6][7][8][9][10]}

Многомерная теория относительности и скалярно-тензорные теории

После постулирования Общая теория относительности Эйнштейна и Гильберта, Теодор Калуца и Оскар Кляйн предложил в 1917 г. обобщение в 5-мерном многообразии: Теория Калуцы – Клейна. Эта теория обладает 5-мерной метрикой (с уплотненная и постоянная 5-я метрическая составляющая, зависящая от измерить потенциал) и объединяет гравитация и электромагнетизм, т.е. происходит геометризация электродинамики.

Эта теория была изменена в 1955 г. П. Джордан в его Проективная теория относительности теория, в которой, следуя теоретико-групповым рассуждениям, Джордан взял функциональную пятую метрическую составляющую, которая привела к переменной гравитационной постоянной грамм. В своей оригинальной работе он ввел параметры связи скалярного поля, чтобы также изменить сохранение энергии в соответствии с идеями Дирак.

После Теория эквивалентности соответствия, многомерные теории гравитации соответствовать эквивалент к теориям обычной общей теории относительности в 4-х измерениях с дополнительным скалярным полем. Один из примеров этого дается теорией Джордана, которая без нарушения закона сохранения энергии (как и должно быть справедливо, исходя из того, что микроволновое фоновое излучение является черным телом), эквивалентна теории К. Бранс и Роберт Х. Дике 1961 г., так что обычно говорят о Теория Бранса – Дике. В Теория Бранса – Дике следует идее модификации теории Гильберта-Эйнштейна, чтобы она была совместима с Принцип маха. Для этого гравитационная постоянная Ньютона должна была изменяться, зависеть от распределения массы во Вселенной, как функция скалярной переменной, связанной как поле в лагранжиане. Он использует скалярное поле бесконечной шкалы длины (то есть дальнего действия), поэтому на языке Юкава Согласно теории ядерной физики, это скалярное поле является безмассовое поле. Эта теория становится эйнштейновской при больших значениях параметра скалярного поля.

В 1979 г. Р. Вагонер предложил обобщение скалярно-тензорных теорий с использованием более чем одного скалярного поля, связанного со скалярной кривизной.

Теории JBD, хотя и не меняют уравнения геодезических для пробных частиц, меняют движение составных тел на более сложное. Связь универсального скалярного поля непосредственно с гравитационным полем приводит к потенциально наблюдаемым эффектам для движения конфигураций материи, в которые гравитационная энергия вносит значительный вклад. Это известно как эффект «Дике – Нордтведта», который приводит к возможным нарушениям как сильного, так и слабого принципа эквивалентности для расширенных масс.

Теории типа JBD с короткодействующими скалярными полями используют, согласно теории Юкавы, массивные скалярные поля. Первая из этих теорий была предложена А. Зи в 1979 году. Он предложил теорию нарушенной симметрии гравитации, объединив идею Бранса и Дике с идеей нарушения симметрии, которая является существенной в рамках теории тяготения. Стандартная модель СМ из элементарные частицы, где так называемое нарушение симметрии приводит к генерации массы (как следствие взаимодействия частиц с полем Хиггса). Зи предложил поле Хиггса СМ в качестве скалярного поля и, следовательно, поле Хиггса для генерации гравитационной постоянной.

Взаимодействие поля Хиггса с частицами, которые через него достигают массы, является короткодействующим (то есть типа Юкавы) и гравитационным (из него можно получить уравнение Пуассона) даже внутри СМ, ​​так что идея Зи была принята 1992 для скалярно-тензорной теории с полем Хиггса как скалярным полем с механизмом Хиггса. Там массивное скалярное поле соединяется с массами, которые в то же время являются источником скалярного поля Хиггса, которое генерирует массу элементарных частиц посредством нарушения симметрии. Для исчезающего скалярного поля эти теории обычно переходят к стандартной общей теории относительности, и из-за природы массивного поля для таких теорий возможно, что параметр скалярного поля (константа связи) не обязательно должен быть таким большим, как в стандартных теориях JBD. Хотя пока не ясно, какая из этих моделей лучше объясняет феноменологию, обнаруженную в природе, и являются ли такие скалярные поля действительно заданными или необходимыми в природе. Тем не менее, теории JBD используются для объяснения инфляция (для безмассовых скалярных полей говорят о поле инфлатона) после Большой взрыв так же хорошо как квинтэссенция. Кроме того, они позволяют объяснить динамику, обычно задаваемую через стандартные холодная темная материя модели, а также MOND, Аксионы (тоже из "Нарушение симметрии"), MACHOS,...

Связь с теорией струн

Общее предсказание всех моделей теории струн состоит в том, что у гравитона со спином 2 есть партнер со спином 0, называемый дилатон.^[11] Следовательно, теория струн предсказывает, что реальная теория гравитации является скалярно-тензорной теорией, а не общей теорией относительности. Однако точная форма такой теории в настоящее время неизвестна, потому что у человека нет математического инструментария для выполнения соответствующих непертурбативных вычислений. Кроме того, точная эффективная четырехмерная форма теории также сталкивается с так называемым проблема ландшафта.

Другие возможные скалярно-тензорные теории

• Вырожденные скалярно-тензорные теории высшего порядка

Теории с неминимальной связью скалярной материи

• Дилатонная гравитация
• Теория хамелеона
• Теория прессурона

Рекомендации

1. Гальаутдинов, Андрей; Копейкин, Сергей М. (10.08.2016). «Постньютоновская небесная механика в скалярно-тензорной космологии». Физический обзор D. 94 (4): 044015. arXiv:1606.09139. Bibcode:2016ПхРвД..94д4015Г. Дои:10.1103 / PhysRevD.94.044015. S2CID  32869795.
2. Узан, Жан-Филипп (01.12.2011). «Различные константы, гравитация и космология». Живые обзоры в теории относительности. 14 (1): 2. arXiv:1009.5514. Bibcode:2011LRR .... 14 .... 2U. Дои:10.12942 / lrr-2011-2. ISSN  2367-3613. ЧВК  5256069. PMID  28179829.
3. Дамур, Тибо; Нордтведт, Кеннет (1993-04-12). «Общая теория относительности как космологический аттрактор тензорно-скалярных теорий». Письма с физическими проверками. 70 (15): 2217–2219. Bibcode:1993ПхРвЛ..70.2217Д. Дои:10.1103 / PhysRevLett.70.2217. PMID  10053505.
4. Дамур, Тибо; Соффель, Майкл; Сюй, Чонгминг (1991-05-15). «Общерелятивистская небесная механика. I. Метод и определение систем отсчета». Физический обзор D. 43 (10): 3273–3307. Bibcode:1991ПхРвД..43.3273Д. Дои:10.1103 / PhysRevD.43.3273. PMID  10013281.
5. Минаццоли, Оливье; Шовино, Бертран (2011). «Скалярно-тензорное распространение света во внутренней части Солнечной системы, включая соответствующие вклады c ^ {- 4} для определения дальности и передачи времени». Классическая и квантовая гравитация. 28 (8): 085010. arXiv:1007.3942. Bibcode:2011CQGra..28х5010M. Дои:10.1088/0264-9381/28/8/085010. S2CID  119118136.
6. Ломбрайзер, Лукас; Лима, Нельсон (2017). «Проблемы самоускорения в модифицированной гравитации от гравитационных волн и крупномасштабных структур». Письма по физике B. 765: 382–385. arXiv:1602.07670. Bibcode:2017ФЛБ..765..382Л. Дои:10.1016 / j.physletb.2016.12.048. S2CID  118486016.
7. «Поиски разгадки теории Эйнштейна могут скоро закончиться». Phys.org. 10 февраля 2017 г.. Получено 29 октября, 2017.
8. «Теоретическая битва: темная энергия против модифицированной гравитации». Ars Technica. 25 февраля 2017 г.. Получено 27 октября, 2017.
9. Эскиага, Хосе Мария; Сумалакарреги, Мигель (18 декабря 2017 г.). «Темная энергия после GW170817: Тупики и дорога впереди». Письма с физическими проверками. 119 (25): 251304. arXiv:1710.05901. Bibcode:2017PhRvL.119y1304E. Дои:10.1103 / PhysRevLett.119.251304. PMID  29303304. S2CID  38618360.
10. Креминелли, Паоло; Верницци, Филиппо (18 декабря 2017 г.). «Темная энергия после GW170817 и GRB170817A». Письма с физическими проверками. 119 (25): 251302. arXiv:1710.05877. Bibcode:2017PhRvL.119y1302C. Дои:10.1103 / PhysRevLett.119.251302. PMID  29303308. S2CID  206304918.
11. Дамур, Тибо; Пьяцца, Федерико; Венециано, Габриэле (2002-08-05). «Неудержимый дилатон и нарушение принципа эквивалентности». Письма с физическими проверками. 89 (8): 081601. arXiv:gr-qc / 0204094. Bibcode:2002ПхРвЛ..89х1601Д. Дои:10.1103 / PhysRevLett.89.081601. PMID  12190455. S2CID  14136427.

• П. Джордан, Schwerkraft und Weltall, Vieweg (Брауншвейг) 1955: Проективная теория относительности. Первая статья по теориям JBD.
• C.H. Бранс и Р. Х. Дике, Phys. Ред. 124: 925, 1061: Теория Бранса – Дике, исходящая из принципа Маха.
• Р. Ваггонер, Phys. Ред. D1(812): 3209, 2004: теории JBD с более чем одним скалярным полем.
• А. Зи, Phys. Rev. Lett. 42(7): 417, 1979: Теория скалярного тензора с нарушенной симметрией.
• Х. Денен и Х. Фроммерт, Int. J. Theor. Phys. 30(7): 985, 1991: гравитационно-подобное и короткодействующее взаимодействие полей Хиггса в рамках Стандартной модели или элементарных частиц.
• Х. Денен и другие., Int. J. Theor. Phys. 31(1): 109, 1992: Скалярно-тензорная теория с полем Хиггса.
• C.H. Brans, arXiv: gr-qc / 0506063 v1, июнь 2005: Корни скалярно-тензорных теорий.
• П. Г. Бергманн (1968). «Комментарии к скалярно-тензорной теории». Int. J. Theor. Phys. 1 (1): 25–36. Bibcode:1968IJTP .... 1 ... 25B. Дои:10.1007 / BF00668828. S2CID  119985328.
• Р. В. Ваггонер (1970). «Скалярно-тензорная теория и гравитационные волны». Phys. Rev. D1 (12): 3209–3216. Bibcode:1970PhRvD ... 1,3209 Вт. Дои:10.1103 / Physrevd.1.3209.