Теория гравитации Лавлока - Lovelock theory of gravity

В теоретическая физика, Теория гравитации Лавлока (часто упоминается как Гравитация Лавлока) является обобщением теории Эйнштейна общая теория относительности представлен Дэвид Лавлок в 1971 г.^[1] Это наиболее общая метрическая теория гравитации, которая дает сохраняющиеся уравнения движения второго порядка в произвольном количестве пространство-время размеры D. В этом смысле теория Лавлока является естественным обобщением общей теории относительности Эйнштейна на более высокие измерения. В трех и четырех измерениях (D = 3, 4), теория Лавлока совпадает с теорией Эйнштейна, но в более высоких измерениях теории другие. Фактически, для D > 4 Гравитацию Эйнштейна можно рассматривать как частный случай гравитации Лавлока, поскольку Действие Эйнштейна – Гильберта является одним из нескольких терминов, составляющих действие Лавлока.

Плотность лагранжиана

В Лагранжиан теории дается суммой размерно расширенных плотностей Эйлера, и ее можно записать следующим образом

{ displaystyle { mathcal {L}} = { sqrt {-g}} sum limits _ {n = 0} ^ {t} alpha _ {n} { mathcal {R}} ^ { n}, qquad { mathcal {R}} ^ {n} = { frac {1} {2 ^ {n}}} delta _ { alpha _ {1} beta _ {1} ... alpha _ {n} beta _ {n}} ^ { mu _ {1} nu _ {1} ... mu _ {n} nu _ {n}} prod limits _ {r = 1} ^ {n} R _ { quad mu _ {r} nu _ {r}} ^ { alpha _ {r} beta _ {r}}}

куда р_μν^αβ представляет Тензор Римана, а где обобщенная дельта Кронекера δ определяется как антисимметричное произведение

{ displaystyle delta _ { alpha _ {1} beta _ {1} cdots alpha _ {n} beta _ {n}} ^ { mu _ {1} nu _ {1} .. . mu _ {n} nu _ {n}} = (2n)! delta _ { lbrack alpha _ {1}} ^ { mu _ {1}} delta _ { beta _ {1 }} ^ { nu _ {1}} cdots delta _ { alpha _ {n}} ^ { mu _ {n}} delta _ { beta _ {n}]} ^ { nu _ {n}}.}

Каждый термин ${ Displaystyle { mathcal {R}} ^ {п}}$ в ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ соответствует размерному расширению плотности Эйлера в 2п размеров, так что они вносят вклад только в уравнения движения для п < D/ 2. Следовательно, без ограничения общности, т в приведенном выше уравнении можно считать D = 2т + 2 для ровных размеров и D = 2т + 1 для нечетных размеров.

Константы связи

В константы связи α_п в лагранжиане ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ иметь размеры [длина]^{2п − D}, хотя обычно плотность лагранжиана нормируют в единицах Планковский масштаб

{ Displaystyle альфа _ {1} = (16 pi G) ^ {- 1} = l_ {P} ^ {2-D} ,.}

Расширение продукта в ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ , лагранжиан Лавлока принимает вид

{ displaystyle { mathcal {L}} = { sqrt {-g}} ( alpha _ {0} + alpha _ {1} R + alpha _ {2} left (R ^ {2} + R _ { alpha beta mu nu} R ^ { alpha beta mu nu} -4R _ { mu nu} R ^ { mu nu} right) + alpha _ {3} { mathcal {O}} (R ^ {3})),}

где можно увидеть эту связь α₀ соответствует космологическая постоянная Λ, а α_п с п ≥ 2 - константы связи дополнительных членов, которые представляют ультрафиолетовые поправки к теории Эйнштейна, включающие сжатие более высокого порядка тензора Римана р_μν^αβ. В частности, член второго порядка

{ Displaystyle { mathcal {R}} ^ {2} = R ^ {2} + R _ { alpha beta mu nu} R ^ { alpha beta mu nu} -4R _ { mu ню} R ^ { mu nu}}

в точности квадратичный Член Гаусса – Бонне, которая представляет собой расширенную по размерам версию четырехмерной плотности Эйлера.

Уравнения движения

Отмечая, что

{ displaystyle T = { sqrt {-g}} { mathcal {R}} ^ {2} = { sqrt {-g}} left (R ^ {2} + R _ { mu nu rho sigma} R ^ { mu nu rho sigma} -4R _ { mu nu} R ^ { mu nu} right)}

является топологической константой, мы можем исключить член тензора Римана и, таким образом, записать лагранжиан Лавлока в виде

{ displaystyle S = - int d ^ {D} x { sqrt {-g}} left ( alpha R _ { mu nu} R ^ { mu nu} - beta R ^ {2} + gamma kappa ^ {- 2} R right)}

который имеет уравнения движения

{ displaystyle alpha left (- { frac {1} {2}} R _ { rho sigma} R ^ { rho sigma} g _ { mu nu} - nabla _ { nu} nabla _ { mu} R-2R _ { rho nu mu sigma} R ^ { sigma rho} + { frac {1} {2}} g _ { mu nu} Box R + Box R _ { mu nu} right) +}

{ displaystyle beta left ({ frac {1} {2}} R ^ {2} g _ { mu nu} -2RR _ { mu nu} -2 nabla _ { nu} nabla _ { mu} R + 2g _ { mu nu} Box R right) +}

{ displaystyle gamma left (- { frac {1} {2}} kappa ^ {- 2} Rg _ { mu nu} + kappa ^ {- 2} R _ { mu nu} right ) = 0.}

^[2]

Другие контексты

Поскольку действие Лавлока содержит, среди прочего, квадратичный член Гаусса-Бонне (т.е. четырехмерный Эйлерова характеристика продлен до D размеров), обычно говорят, что теория Лавлока похожа на теория струн -вдохновленные модели гравитации. Это потому, что квадратичный член присутствует в низкоэнергетическом эффективном действии гетеротическая теория струн, а также появляется в шестимерном Калаби-Яу компактификации М-теория. В середине 1980-х, через десять лет после того, как Лавлок предложил свое обобщение тензора Эйнштейна, физики начали обсуждать квадратичный член Гаусса-Бонне в контексте теории струн, уделяя особое внимание его свойству быть призрак -бесплатно в Пространство Минковского. Известно, что теория не содержит привидений и о других точных предпосылках, например об одной из ветвей сферически-симметричного решения, найденного Боулвэром и Дезером в 1985 году. В общем, теория Лавлока представляет собой очень интересный сценарий для изучения того, как физика гравитации корректируется на коротком расстоянии из-за присутствия членов кривизны более высокого порядка в действие, и в середине 2000-х годов теория рассматривалась как испытательный полигон для исследования эффектов введения членов более высокой кривизны в контексте AdS / CFT корреспонденция.

Смотрите также

Примечания

^ Лавлок, Дэвид (1971). «Тензор Эйнштейна и его обобщения». Журнал математической физики. Издательство AIP. 12 (3): 498–501. Дои:10.1063/1.1665613. ISSN 0022-2488.
^ "Высшие производные теории гравитации" (PDF). С. 10, 15.