Биметрическая гравитация - Bimetric gravity

Биметрическая гравитация или же тяжеловесность относится к двум разным классам теорий. Теории первого класса основаны на модифицированных математических теориях сила тяжести (или гравитация), в которой два метрические тензоры используются вместо одного.^[1][2] Вторая метрика может быть введена при высоких энергиях, подразумевая, что скорость света могут быть энергозависимыми, что позволяет моделям с переменная скорость света.

Если две метрики динамичны и взаимодействуют, первая возможность подразумевает два гравитон режимы, один массивный и один безмассовый; такие биметрические теории тогда тесно связаны с массивная гравитация.^[3] Существует несколько биметрических теорий с массивными гравитонами, например те, которые приписываются Натан Розен (1909–1995)^[4][5][6] или же Мордехай Милгром с релятивистскими расширениями Модифицированная ньютоновская динамика (MOND ).^[7] Совсем недавно развитие массивной гравитации также привело к новым последовательным теориям биметрической гравитации.^[8] Хотя ни один не показал более точного и последовательного объяснения физических наблюдений, чем теория общая теория относительности, Теория Розена несовместима с наблюдениями Двойной пульсар Халса – Тейлора.^[5] Некоторые из этих теорий приводят к космическое ускорение в более позднее время и поэтому являются альтернативой темная энергия.^[9][10]

Напротив, второй класс биметрических теорий гравитации не полагается на массивные гравитоны и не изменяет Закон Ньютона, но вместо этого описывает Вселенную как многообразие имея два связанных Римановы метрики, где материя, населяющая два сектора, взаимодействует посредством гравитации (и антигравитации, если топология и Ньютоновское приближение считается ввести отрицательная масса и отрицательная энергия государства в космология как альтернатива темная материя и темная энергия). Что-нибудь из этого космологические модели также используйте переменную скорость света в высоком плотность энергии состояние эпоха с преобладанием радиации Вселенной, бросая вызов инфляция гипотеза.^{[11][12][13][14][15]}

Гравитация Розена (1940-1989)

В общая теория относительности (GR) предполагается, что расстояние между двумя точками в пространство-время дается метрический тензор. Уравнение поля Эйнштейна затем используется для вычисления формы метрики на основе распределения энергии и импульса.

В 1940 году Розен^[1][2] предположил, что в каждой точке пространства-времени существует Евклидово метрика тензор ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ в дополнение к риманову метрическому тензору ${\displaystyle g_{ij}}$. Таким образом, в каждой точке пространства-времени есть две метрики:

1. ${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}}$
2. ${\displaystyle d\sigma ^{2}=\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}}$

Первый метрический тензор, ${\displaystyle g_{ij}}$, описывает геометрию пространства-времени и, следовательно, гравитационное поле. Второй метрический тензор, ${\displaystyle \gamma _{ij}}$, относится к плоскому пространству-времени и описывает силы инерции. В Символы Кристоффеля сформированный из ${\displaystyle g_{ij}}$ и ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ обозначаются ${\displaystyle \{_{jk}^{i}\}}$ и ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$ соответственно.

Поскольку разница в два связи - тензор, можно определить тензорное поле ${\displaystyle \Delta _{jk}^{i}}$ предоставлено:

${\displaystyle \Delta _{jk}^{i}=\{_{jk}^{i}\}-\Gamma _{jk}^{i}}$

(1)

Тогда возникают два вида ковариантного дифференцирования: ${\displaystyle g}$-дифференциация на основе ${\displaystyle g_{ij}}$ (обозначается точкой с запятой, например ${\displaystyle X_{;a}}$) и ковариантное дифференцирование на основе ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ (обозначается косой чертой, например ${\displaystyle X_{/a}}$). Обычные частные производные обозначаются запятой (например, ${\displaystyle X_{,a}}$). Позволять ${\displaystyle R_{ijk}^{h}}$ и ${\displaystyle P_{ijk}^{h}}$ быть Тензоры кривизны Римана рассчитывается из ${\displaystyle g_{ij}}$ и ${\displaystyle \gamma _{ij}}$, соответственно. В описанном выше подходе тензор кривизны ${\displaystyle P_{ijk}^{h}}$ равен нулю, так как ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ - плоская метрика пространства-времени.

Непосредственный расчет дает Тензор кривизны Римана

${\displaystyle R_{ijk}^{h}=P_{ijk}^{h}-\Delta _{ij/k}^{h}+\Delta _{ik/j}^{h}+\Delta _{mj}^{h}\Delta _{ik}^{m}-\Delta _{mk}^{h}\Delta _{ij}^{m}=-\Delta _{ij/k}^{h}+\Delta _{ik/j}^{h}+\Delta _{mj}^{h}\Delta _{ik}^{m}-\Delta _{mk}^{h}\Delta _{ij}^{m}}$

Каждый член в правой части - тензор. Видно, что от ОТО можно перейти к новой формулировке, просто заменив {:} на ${\displaystyle \Delta }$ и обычное дифференцирование ковариантным ${\displaystyle \gamma }$-дифференциация, ${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$ к ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {g}{\gamma }}}}$, интегральная мера ${\displaystyle d^{4}x}$ к ${\displaystyle {\sqrt {-\gamma }}\,d^{4}x}$, куда ${\displaystyle g=\det(g_{ij})}$, ${\displaystyle \gamma =\det(\gamma _{ij})}$ и ${\displaystyle d^{4}x=dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4}}$. Однажды представив ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ в теорию в распоряжении имеется множество новых тензоров и скаляров. Можно установить другие уравнения поля, отличные от уравнения Эйнштейна. Возможно, что некоторые из них будут более подходящими для описания природы.

Уравнение геодезических в биметрической теории относительности (БР) принимает вид

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{ds^{2}}}+\Gamma _{jk}^{i}{\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ds}}+\Delta _{jk}^{i}{\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ds}}=0}$

(2)

Из уравнений (1) и (2) который ${\displaystyle \Gamma }$ можно рассматривать как описывающее инерционное поле, поскольку оно обращается в нуль с помощью подходящего преобразования координат.

Количество ${\displaystyle \Delta }$ тензор, он не зависит от какой-либо системы координат и, следовательно, может рассматриваться как описывающий постоянное гравитационное поле.

Розен (1973) обнаружил, что BR удовлетворяет принципу ковариантности и эквивалентности. В 1966 году Розен показал, что введение пространственной метрики в рамках общей теории относительности не только позволяет получить тензор плотности энергии-импульса гравитационного поля, но также позволяет получить этот тензор из вариационного принципа. Полевые уравнения BR, полученные из вариационного принципа, имеют вид

${\displaystyle K_{j}^{i}=N_{j}^{i}-{\frac {1}{2}}\delta _{j}^{i}N=-8\pi \kappa T_{j}^{i}}$

(3)

куда

${\displaystyle N_{j}^{i}={\frac {1}{2}}\gamma ^{\alpha \beta }(g^{hi}g_{hj/\alpha })_{/\beta }}$

или же

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{j}^{i}&={\frac {1}{2}}\gamma ^{\alpha \beta }\left\{\left(g^{hi}g_{hj,\alpha }\right)_{,\beta }-\left(g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}\right)_{,\beta }-\gamma ^{\alpha \beta }\left(\Gamma _{j\alpha }^{i}\right)_{,\beta }+\Gamma _{\lambda \beta }^{i}\left[g^{h\lambda }g_{hj,\alpha }-g^{h\lambda }g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{j\alpha }^{\lambda }\right]-\right.\\&\qquad \Gamma _{j\beta }^{\lambda }\left[g^{hi}g_{h\lambda ,\alpha }-g^{hi}g_{m\lambda }\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{\lambda \alpha }^{i}\right]+\Gamma _{\alpha \beta }^{\lambda }\left.\left[g^{hi}g_{hj,\lambda }-g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\lambda }^{m}-\Gamma _{j\lambda }^{i}\right]\right\}\end{aligned}}}$

с

${\displaystyle N=g^{ij}N_{ij}}$, ${\displaystyle \kappa ={\sqrt {\frac {g}{\gamma }}}}$

и ${\displaystyle T_{j}^{i}}$ - тензор энергии-импульса.

Вариационный принцип также приводит к соотношению

${\displaystyle T_{j;i}^{i}=0}$.

Следовательно, из (3)

${\displaystyle K_{j;i}^{i}=0}$,

откуда следует, что в ТИ пробная частица в гравитационном поле движется по геодезический относительно ${\displaystyle g_{ij}.}$

Розен продолжил совершенствовать свою биметрическую теорию гравитации с дополнительными публикациями в 1978 г.^[16] и 1980 г.^[17] в которой он сделал попытку «устранить сингулярности, возникающие в общей теории относительности, изменив ее, чтобы учесть существование фундаментальной системы покоя во Вселенной». В 1985 г.^[18] Розен снова попытался удалить сингулярности и псевдотензоры из общей теории относительности. Дважды в 1989 г. с публикациями в марте^[19] и ноябрь^[20] Розен далее развил свою концепцию элементарных частиц в биметрическом поле общей теории относительности.

Установлено, что теории BR и GR различаются в следующих случаях:

• распространение электромагнитных волн
• внешнее поле звезды высокой плотности
• поведение интенсивных гравитационных волн, распространяющихся через сильное статическое гравитационное поле.

С 1992 года было показано, что предсказания гравитационного излучения в теории Розена противоречат наблюдениям Двойной пульсар Халса – Тейлора.^[5]

Массивная бигравитация

Основная статья: Массивная гравитация

С 2010 года наблюдается возобновление интереса к большому весу после разработки компанией Клаудиа де Рам, Григорий Габададзе, и Эндрю Толли (dRGT) здоровой теории массивной гравитации.^[21] Массивная гравитация - это биметрическая теория в том смысле, что нетривиальные члены взаимодействия для метрики ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ может быть записан только с помощью второй метрики, так как единственный непроизводный член, который может быть записан с использованием одной метрики, - это космологическая постоянная. В теории dRGT нединамическая «эталонная метрика» ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$ вводится, а условия взаимодействия строятся из матричный квадратный корень из ${\displaystyle g^{-1}f}$.

В dRGT с массивной гравитацией эталонная метрика должна быть указана вручную. Эталонной метрике можно присвоить Член Эйнштейна – Гильберта, в таком случае ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$ не выбирается, а динамически развивается в ответ на ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ и, возможно, имеет значение. Этот массивная бигравитация был представлен Фавад Хасан и Рэйчел Розен как продолжение массивной гравитации dRGT.^[3][22]

Теория dRGT имеет решающее значение для разработки теории с двумя динамическими метриками, потому что общие биметрические теории страдают от Boulware – Deser ghost, возможная шестая поляризация массивного гравитона.^[23] Потенциал dRGT создан специально для того, чтобы сделать этот призрак нединамичным, и до тех пор, пока кинетический член для второй метрики имеет форму Эйнштейна – Гильберта, результирующая теория остается свободной от духов.^[3]

В действие массивная бигравитация без призраков определяется выражением^[24]

${\displaystyle S=-{\frac {M_{g}^{2}}{2}}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}R(g)-{\frac {M_{f}^{2}}{2}}\int d^{4}x{\sqrt {-f}}R(f)+m^{2}M_{g}^{2}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\displaystyle \sum _{n=0}^{4}\beta _{n}e_{n}(\mathbb {X} )+\int d^{4}x{\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} }(g,\Phi _{i}).}$

Как и в стандартной общей теории относительности, метрика ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ имеет кинетический член Эйнштейна – Гильберта, пропорциональный Скаляр Риччи ${\displaystyle R(g)}$ и минимальная связь с лагранжианом материи ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {m} }}$, с ${\displaystyle \Phi _{i}}$ представляющие все материальные поля, такие как поля Стандартная модель. Член Эйнштейна – Гильберта также дается для ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$. У каждой метрики своя Планковская масса, обозначенный ${\displaystyle M_{g}}$ и ${\displaystyle M_{f}}$ соответственно. Потенциал взаимодействия такой же, как и в массивной гравитации dRGT. В ${\displaystyle \beta _{i}}$ - безразмерные константы связи и ${\displaystyle m}$ (или конкретно ${\displaystyle \beta _{i}^{1/2}m}$) связана с массой массивного гравитона. Эта теория распространяет семь степеней свободы, соответствующих безмассовому гравитону и массивному гравитону (хотя массивные и безмассовые состояния не совпадают ни с одной из метрик).

Потенциал взаимодействия строится из элементарные симметричные полиномы ${\displaystyle e_{n}}$ собственных значений матриц ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {I} -{\sqrt {g^{-1}f}}}$ или же ${\displaystyle \mathbb {X} ={\sqrt {g^{-1}f}}}$, параметризованные безразмерными константами связи ${\displaystyle \alpha _{i}}$ или же ${\displaystyle \beta _{i}}$, соответственно. Здесь ${\displaystyle {\sqrt {g^{-1}f}}}$ это матричный квадратный корень матрицы ${\displaystyle g^{-1}f}$. Написано в индексной нотации, ${\displaystyle \mathbb {X} }$ определяется соотношением

${\displaystyle X^{\mu }{}_{\alpha }X^{\alpha }{}_{\nu }=g^{\mu \alpha }f_{\nu \alpha }.}$

В ${\displaystyle e_{n}}$ можно записать прямо в терминах ${\displaystyle \mathbb {X} }$ в качестве

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(\mathbb {X} )&=1,\\e_{1}(\mathbb {X} )&=[\mathbb {X} ],\\e_{2}(\mathbb {X} )&={\frac {1}{2}}\left([\mathbb {X} ]^{2}-[\mathbb {X} ^{2}]\right),\\e_{3}(\mathbb {X} )&={\frac {1}{6}}\left([\mathbb {X} ]^{3}-3[\mathbb {X} ][\mathbb {X} ^{2}]+2[\mathbb {X} ^{3}]\right),\\e_{4}(\mathbb {X} )&=\operatorname {det} \mathbb {X} ,\end{aligned}}}$

где скобки обозначают след, ${\displaystyle [\mathbb {X} ]\equiv X^{\mu }{}_{\mu }}$. Это особая антисимметричная комбинация терминов в каждом из ${\displaystyle e_{n}}$ который отвечает за нединамику призрака Boulware – Deser.

Смотрите также

• Альтернативы общей теории относительности
• Модель DGP
• Скалярно-тензорная теория

Рекомендации

1. Розен, Натан (1940), "Общая теория относительности и плоское пространство. I", Phys. Ред., 57 (2): 147–150, Bibcode:1940PhRv ... 57..147R, Дои:10.1103 / PhysRev.57.147
2. Розен, Натан (1940), "Общая теория относительности и плоское пространство. II", Phys. Ред., 57 (2): 150, Bibcode:1940PhRv ... 57..150R, Дои:10.1103 / PhysRev.57.150
3. Хасан, С.Ф.; Розен, Рэйчел А. (2012). «Биметрическая гравитация от массивной гравитации без призраков». JHEP. 1202 (2): 126. arXiv:1109.3515. Bibcode:2012JHEP ... 02..126H. Дои:10.1007 / JHEP02 (2012) 126.
4. Розен, Натан (1973), "Биметрическая теория гравитации", Gen. Rel. Грав., 4 (6): 435–447, Bibcode:1973GReGr ... 4..435R, Дои:10.1007 / BF01215403
5. Уилл, Клиффорд (1992). «Возрождение общей теории относительности». В Дэвис, Пол (ред.). Новая физика. Издательство Кембриджского университета. п. 18. ISBN  9780521438315. OCLC  824636830. Одним из интересных побочных результатов этого явилось падение биметрической теории гравитации Розена, которая до сих пор согласовывалась с экспериментами в солнечной системе. Оказалось, что эта теория делает совершенно разные предсказания потери энергии гравитационной волной, чем общая теория относительности, и сильно расходится с наблюдениями.
6. «Натан Розен - Человек и его дело жизни», Technion.ac.il, 2011, веб-сайт: Технион-Розен.
7. Милгром, М. (2009). «Биметрическая МОНД гравитация». Phys. Ред. D. 80 (12). arXiv:0912.0790. Дои:10.1103 / PhysRevD.80.123536.
8. Зыга, Лиза (21 сентября 2017 г.). «Гравитационные волны могут колебаться, как нейтрино». Phys.org. Omicron Technology Limited.
9. Акрами, Яшар; Koivisto, Tomi S .; Сандстад, Марит (2013). «Ускоренное расширение от безразличной бигравитации: статистический анализ с улучшенной универсальностью». JHEP. 1303 (3): 099. arXiv:1209.0457. Bibcode:2013JHEP ... 03..099A. Дои:10.1007 / JHEP03 (2013) 099.
10. Акрами, Яшар; Hassan, S.F .; Кённиг, Франк; Шмидт-Мэй, Ангнис; Соломон, Адам Р. (2015). «Биметрическая гравитация космологически жизнеспособна». Письма по физике B. 748: 37–44. arXiv:1503.07521. Bibcode:2015ФЛБ..748 ... 37А. Дои:10.1016 / j.physletb.2015.06.062.
11. Анри-Куанье, Ф. (30 апреля 2005 г.). «Дискретные симметрии и общая теория относительности, темная сторона гравитации». Международный журнал современной физики A. 20 (11): 2341–2345. arXiv:gr-qc / 0410055. Bibcode:2005IJMPA..20.2341H. Дои:10.1142 / S0217751X05024602.
12. Хоссенфельдер, С. (15 августа 2008 г.). «Биметрическая теория с обменной симметрией». Физический обзор D. 78 (4): 044015. arXiv:0807.2838. Bibcode:2008PhRvD..78d4015H. Дои:10.1103 / PhysRevD.78.044015.
13. Хоссенфельдер, Сабина (Июнь 2009 г.). Антигравитация. 17-я Международная конференция по суперсимметрии и унификации фундаментальных взаимодействий. Бостон: Американский институт физики. arXiv:0909.3456. Дои:10.1063/1.3327545.
14. Petit, J.-P .; д'Агостини, Г. (10 ноября 2014 г.). «Космологическая биметрическая модель с взаимодействующими положительными и отрицательными массами и двумя разными скоростями света в соответствии с наблюдаемым ускорением Вселенной» (PDF). Буквы A по современной физике. 29 (34): 1450182. Bibcode:2014MPLA ... 2950182P. Дои:10.1142 / S021773231450182X.
15. О'Дауд, Мэтт (7 февраля 2019 г.). "Звуковые волны от начала времен". PBS Space Time. PBS. 16 минут в. Получено 8 февраля 2019. Альтернативная модель того, как может вести себя отрицательная масса: в так называемой «биметрической гравитации» вы можете иметь положительные и отрицательные массы, но каждая описывается собственным набором уравнений поля Эйнштейна. Это похоже на «параллельные пространства-времени», одно с положительной, а другое с отрицательной массой, которые все еще могут гравитационно взаимодействовать. В этих моделях, как массы притягиваются, а противоположные массы отталкиваются ... и вы не получите сумасшедшего «убегающего движения», которое происходит, если вы поместите и положительные, и отрицательные массы в одно и то же пространство-время. Итак, никаких вечных двигателей ... Его также можно использовать для объяснения темной энергии и темной материи.
16. Розен, Натан (апрель 1978 г.). «Биметрическая теория гравитации на космологической основе». Общая теория относительности и гравитации. 9 (4): 339–351. Bibcode:1978GReGr ... 9..339R. Дои:10.1007 / BF00760426.
17. Розен, Натан (октябрь 1980 г.). «Общая теория относительности с фоновой метрикой». Основы физики. 10 (9–10): 673–704. Bibcode:1980ФоФ ... 10..673Р. Дои:10.1007 / BF00708416.
18. Розен, Натан (октябрь 1985 г.). «Локализация гравитационной энергии». Основы физики. 15 (10): 997–1008. Bibcode:1985FoPh ... 15..997R. Дои:10.1007 / BF00732842.
19. Розен, Натен (март 1989 г.). «Элементарные частицы в биметрической общей теории относительности». Основы физики. 19 (3): 339–348. Bibcode:1989ФоФ ... 19..339Р. Дои:10.1007 / BF00734563.
20. Розен, Натан (ноябрь 1989 г.). «Элементарные частицы в биметрической общей теории относительности. II». Основы физики. 19 (11): 1337–1344. Bibcode:1989ФоФ ... 19.1337Р. Дои:10.1007 / BF00732755.
21. де Рам, Клаудиа; Габададзе Григорий; Толли, Эндрю Дж. (2011). «Возобновление массивной гравитации». Phys. Rev. Lett. 106 (23): 231101. arXiv:1011.1232. Bibcode:2011PhRvL.106w1101D. Дои:10.1103 / PhysRevLett.106.231101. PMID  21770493.
22. Мерали, Зея (10 сентября 2013 г.). «Жирная гравитационная частица дает ключ к разгадке темной энергии». Новости природы. Получено 2019-01-23.
23. Boulware, David G .; Дезер, Стэнли (1972). «Может ли гравитация иметь конечный диапазон?» (PDF). Phys. Rev. D6 (12): 3368–3382. Bibcode:1972ПхРвД ... 6.3368Б. Дои:10.1103 / PhysRevD.6.3368.
24. Хасан, С.Ф.; Розен, Рэйчел А. (2011). «О нелинейных действиях при массивной гравитации». JHEP. 1107 (7): 009. arXiv:1103.6055. Bibcode:2011JHEP ... 07..009H. Дои:10.1007 / JHEP07 (2011) 009.