Распределение Беренса – Фишера - Behrens–Fisher distribution

В статистика, то Распределение Беренса – Фишера, названный в честь Рональд Фишер и Вальтер Беренс, это параметризованный семья распределения вероятностей вытекающие из решения Проблема Беренса – Фишера предложенный сначала Беренсом, а несколькими годами позже Фишером. Проблема Беренса – Фишера - это проблема статистические выводы о разнице между средствами двух нормально распределенный население когда соотношение от их отклонения неизвестно (и, в частности, неизвестно, что их дисперсии равны).

Определение

Распределение Беренса – Фишера - это распределение случайная переменная формы

${\displaystyle T_{2}\cos \theta -T_{1}\sin \theta \,}$

куда Т₁ и Т₂ находятся независимый случайные переменные каждый со студенческим t-распределение, с соответствующими степенями свободы ν₁ = п₁ - 1 и ν₂ = п₂ - 1, и θ является константой. Таким образом, семейство распределений Беренса – Фишера параметризуется следующим образом: ν₁, ν₂, иθ.

Вывод

Предположим, что известно, что две дисперсии совокупности равны, и выборки размеров п₁ и п₂ взяты из двух популяций:

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1,1},\ldots ,X_{1,n_{1}}&\sim \operatorname {i.i.d.} N(\mu _{1},\sigma ^{2}),\\[6pt]X_{2,1},\ldots ,X_{2,n_{2}}&\sim \operatorname {i.i.d.} N(\mu _{2},\sigma ^{2}).\end{aligned}}}$

где "i.i.d" независимые и одинаково распределенные случайные величины и N обозначает нормальное распределение. Два образца средства находятся

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {X}}_{1}&=(X_{1,1}+\cdots +X_{1,n_{1}})/n_{1}\\[6pt]{\bar {X}}_{2}&=(X_{2,1}+\cdots +X_{2,n_{2}})/n_{2}\end{aligned}}}$

Обычный "объединенный " беспристрастный оценка общей дисперсии σ² затем

${\displaystyle S_{\mathrm {pooled} }^{2}={\frac {\sum _{k=1}^{n_{1}}(X_{1,k}-{\bar {X}}_{1})^{2}+\sum _{k=1}^{n_{2}}(X_{2,k}-{\bar {X}}_{2})^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}={\frac {(n_{1}-1)S_{1}^{2}+(n_{2}-1)S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}$

куда S₁² и S₂² обычные беспристрастные (С поправкой на Бесселя ) оценки двух дисперсий населения.

При этих предположениях основное количество

${\displaystyle {\frac {(\mu _{2}-\mu _{1})-({\bar {X}}_{2}-{\bar {X}}_{1})}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {S_{\mathrm {pooled} }^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{\mathrm {pooled} }^{2}}{n_{2}}}}}}}}$

имеет t-распределение с п₁ + п₂ − 2 степени свободы. Соответственно, можно найти доверительный интервал за μ₂ − μ₁ чьи конечные точки

${\displaystyle {\bar {X}}_{2}-{\bar {X_{1}}}\pm A\cdot S_{\mathrm {pooled} }{\sqrt {{\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}}},}$

куда А является подходящей процентной точкой t-распределения.

Однако в задаче Беренса – Фишера не известно, что две дисперсии населения равны, равно как и их соотношение. Фишер считал^{[нужна цитата ]} главное количество

${\displaystyle {\frac {(\mu _{2}-\mu _{1})-({\bar {X}}_{2}-{\bar {X}}_{1})}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}.}$

Это можно записать как

${\displaystyle T_{2}\cos \theta -T_{1}\sin \theta ,\,}$

куда

${\displaystyle T_{i}={\frac {\mu _{i}-{\bar {X}}_{i}}{S_{i}/{\sqrt {n_{i}}}}}{\text{ for }}i=1,2\,}$

- обычная однократная t-статистика и

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {S_{1}/{\sqrt {n_{1}}}}{S_{2}/{\sqrt {n_{2}}}}}}$

и один берет θ быть в первом квадранте. Алгебраические детали таковы:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(\mu _{2}-\mu _{1})-({\bar {X}}_{2}-{\bar {X}}_{1})}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}&={\frac {\mu _{2}-{\bar {X}}_{2}}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}-{\frac {\mu _{1}-{\bar {X}}_{1}}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}\\[10pt]&=\underbrace {\frac {\mu _{2}-{\bar {X}}_{2}}{S_{2}/{\sqrt {n_{2}}}}} _{{\text{This is }}T_{2}}\cdot \underbrace {\left({\frac {S_{2}/{\sqrt {n_{2}}}}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}\right)} _{{\text{This is }}\cos \theta }-\underbrace {\frac {\mu _{1}-{\bar {X}}_{1}}{S_{1}/{\sqrt {n_{1}}}}} _{{\text{This is }}T_{1}}\cdot \underbrace {\left({\frac {S_{1}/{\sqrt {n_{1}}}}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}\right)} _{{\text{This is }}\sin \theta }.\qquad \qquad \qquad (1)\end{aligned}}}$

Тот факт, что сумма квадратов выражений в скобках выше равна 1, означает, что они являются косинусом и синусом некоторого угла.

Распределение Берен-Фишера на самом деле является условное распределение количества (1) выше, данный значения величин, обозначенных cosθ и грехθ. Фактически, Фишер условия на дополнительную информацию.

Затем Фишер обнаружил "реперный интервал ", конечные точки которого

${\displaystyle {\bar {X}}_{2}-{\bar {X}}_{1}\pm A{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}$

куда А является подходящей процентной точкой распределения Беренса – Фишера. Фишер утверждал^{[нужна цитата ]} что вероятность того, что μ₂ − μ₁ находится в этом интервале, учитывая данные (в конечном итоге Иксs) - это вероятность того, что случайная величина, распределенная Беренса – Фишера, находится между -А иА.

Контрольные интервалы в сравнении с доверительными интервалами

Бартлетт^{[нужна цитата ]} показал, что этот «реперный интервал» не является доверительным интервалом, потому что он не имеет постоянной степени охвата. Фишер не считал это веским возражением против использования реперного интервала.^{[нужна цитата ]}

дальнейшее чтение

• Кендалл, Морис Г., Стюарт, Алан (1973) Расширенная теория статистики, Том 2: Вывод и взаимосвязь, 3-е издание, Гриффин. ISBN  0-85264-215-6 (Глава 21)