Стохастическая волатильность - Stochastic volatility

Смотрите также Волатильность (финансы).

В статистике стохастическая волатильность модели - это те, в которых отклонение из случайный процесс сам распределяется случайным образом.^[1] Они используются в области математические финансы оценить производная ценные бумаги, Такие как опции. Название происходит от подхода моделей к базовым ценным бумагам. непостоянство как случайный процесс, регулируется переменные состояния таких как уровень цен базовой ценной бумаги, тенденция волатильности возвращаться к некоторому долгосрочному среднему значению и отклонение самого процесса волатильности, среди прочего.

Модели стохастической волатильности - один из подходов к устранению недостатка Блэк – Скоулз модель. В частности, модели, основанные на модели Блэка-Шоулза, предполагают, что базовая волатильность является постоянной в течение срока действия производного инструмента и не зависит от изменений уровня цен базовой ценной бумаги. Однако эти модели не могут объяснить давно наблюдаемые особенности предполагаемой поверхности летучести, такие как непостоянство улыбка и перекос, которые указывают на то, что подразумеваемая волатильность имеет тенденцию меняться в зависимости от цена исполнения и истечение срока. Предполагая, что волатильность базовой цены является случайным процессом, а не константой, становится возможным более точное моделирование производных финансовых инструментов.

Базовая модель

Исходя из подхода постоянной волатильности, предположим, что цена базового актива производного инструмента соответствует стандартной модели для геометрическое броуновское движение:

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,}$

куда ${\displaystyle \mu \,}$ постоянный дрейф (т.е. ожидаемая доходность) цены ценной бумаги ${\displaystyle S_{t}\,}$, ${\displaystyle \sigma \,}$ - постоянная волатильность, а ${\displaystyle dW_{t}\,}$ это стандарт Винеровский процесс с нуля иметь в виду и удельная ставка отклонение. Явное решение этого стохастическое дифференциальное уравнение является

${\displaystyle S_{t}=S_{0}e^{(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})t+\sigma W_{t}}.}$

В оценщик максимального правдоподобия для оценки постоянной волатильности ${\displaystyle \sigma \,}$ для данной цены акций ${\displaystyle S_{t}\,}$ в разное время ${\displaystyle t_{i}\,}$ является

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\sigma }}^{2}&=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {(\ln S_{t_{i}}-\ln S_{t_{i-1}})^{2}}{t_{i}-t_{i-1}}}\right)-{\frac {1}{n}}{\frac {(\ln S_{t_{n}}-\ln S_{t_{0}})^{2}}{t_{n}-t_{0}}}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\left({\frac {\ln {\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}}{t_{i}-t_{i-1}}}-{\frac {\ln {\frac {S_{t_{n}}}{S_{t_{0}}}}}{t_{n}-t_{0}}}\right)^{2};\end{aligned}}}$

это ожидаемое значение является ${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\widehat {\sigma }}^{2}\right]={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}.}$

Эта базовая модель с постоянной волатильностью ${\displaystyle \sigma \,}$ является отправной точкой для нестохастических моделей волатильности, таких как Модель Блэка – Шоулза и Модель Кокса – Росса – Рубинштейна..

Для модели стохастической волатильности замените постоянную волатильность ${\displaystyle \sigma \,}$ с функцией ${\displaystyle \nu _{t}\,}$, который моделирует дисперсию ${\displaystyle S_{t}\,}$. Эта дисперсионная функция также моделируется как броуновское движение и имеет вид ${\displaystyle \nu _{t}\,}$ зависит от конкретной исследуемой модели КА.

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}\,}$

${\displaystyle d\nu _{t}=\alpha _{\nu ,t}\,dt+\beta _{\nu ,t}\,dB_{t}\,}$

куда ${\displaystyle \alpha _{\nu ,t}\,}$ и ${\displaystyle \beta _{\nu ,t}\,}$ некоторые функции ${\displaystyle \nu \,}$, и ${\displaystyle dB_{t}\,}$ другой стандартный гауссовский язык, который коррелирует с ${\displaystyle dW_{t}\,}$ с постоянным коэффициентом корреляции ${\displaystyle \rho \,}$.

Модель Хестона

Основная статья: Модель Хестона

Популярная модель Хестона - это обычно используемая модель SV, в которой случайность дисперсионного процесса изменяется как квадратный корень из дисперсии. В этом случае дифференциальное уравнение для дисперсии принимает вид:

${\displaystyle d\nu _{t}=\theta (\omega -\nu _{t})\,dt+\xi {\sqrt {\nu _{t}}}\,dB_{t}\,}$

куда ${\displaystyle \omega }$ - средняя долгосрочная дисперсия, ${\displaystyle \theta }$ - скорость, с которой дисперсия возвращается к своему долгосрочному среднему значению, ${\displaystyle \xi }$ - волатильность дисперсионного процесса, и ${\displaystyle dB_{t}}$ как ${\displaystyle dW_{t}}$, гауссовский с нулевым средним и ${\displaystyle dt}$ дисперсия. Тем не мение, ${\displaystyle dW_{t}}$ и ${\displaystyle dB_{t}}$ коррелируют с постоянной корреляция ценить ${\displaystyle \rho }$.

Другими словами, модель Heston SV предполагает, что дисперсия - это случайный процесс, который

1. проявляет тенденцию возвращаться к долгосрочному среднему значению ${\displaystyle \omega }$ по ставке ${\displaystyle \theta }$,
2. демонстрирует волатильность, пропорциональную квадратному корню из его уровня
3. и чей источник случайности коррелирован (с корреляцией ${\displaystyle \rho }$) со случайностью ценовых процессов базового актива.

Некоторая параметризация поверхности волатильности, например, SVI,^[2] основаны на модели Хестона.

Модель CEV

Основная статья: Модель постоянной эластичности дисперсии

В CEV Модель описывает взаимосвязь между волатильностью и ценой, вводя стохастическую волатильность:

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}^{\,\gamma }\,dW_{t}}$

По идее, на некоторых рынках волатильность возрастает, когда цены растут (например, на сырьевые товары), поэтому ${\displaystyle \gamma >1}$. На других рынках волатильность имеет тенденцию расти по мере падения цен, что моделируется ${\displaystyle \gamma <1}$.

Некоторые утверждают, что, поскольку модель CEV не включает свой собственный стохастический процесс волатильности, она не является действительно стохастической моделью волатильности. Вместо этого они называют это местная волатильность модель.

Модель волатильности SABR

Основная статья: Модель волатильности SABR

В SABR модель (Stochastic Alpha, Beta, Rho), представленная Hagan et al.^[3] описывает одиночного форварда ${\displaystyle F}$ (связанный с любым активом, например индексом, процентной ставкой, облигацией, валютой или акцией) при стохастической волатильности ${\displaystyle \sigma }$:

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}F_{t}^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

Начальные значения ${\displaystyle F_{0}}$ и ${\displaystyle \sigma _{0}}$ текущая форвардная цена и волатильность, тогда как ${\displaystyle W_{t}}$ и ${\displaystyle Z_{t}}$ два коррелированных винеровских процесса (т. е. броуновских движений) с коэффициентом корреляции ${\displaystyle -1<\rho <1}$. Постоянные параметры ${\displaystyle \beta ,\;\alpha }$ такие, что ${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1,\;\alpha \geq 0}$.

Основная особенность модели SABR - возможность воспроизвести эффект улыбки непостоянство улыбка.

Модель GARCH

Обобщенная авторегрессионная условная гетероскедастичность (ГАРЧ ) - еще одна популярная модель для оценки стохастической волатильности. Он предполагает, что случайность процесса дисперсии зависит от дисперсии, в отличие от квадратного корня из дисперсии, как в модели Хестона. Стандартная модель GARCH (1,1) имеет следующий вид для дифференциала дисперсии:

${\displaystyle d\nu _{t}=\theta (\omega -\nu _{t})\,dt+\xi \nu _{t}\,dB_{t}\,}$

Модель GARCH была расширена за счет множества вариантов, включая NGARCH, TGARCH, IGARCH, LGARCH, EGARCH, GJR-GARCH и т. Д. Однако строго условные волатильности из моделей GARCH не являются стохастическими, поскольку в настоящее время т волатильность полностью предопределена (детерминирована) с учетом предыдущих значений.^[4]

3/2 модель

Модель 3/2 похожа на модель Хестона, но предполагает, что случайность дисперсионного процесса зависит от ${\displaystyle \nu _{t}^{3/2}}$. Форма дифференциала дисперсии:

${\displaystyle d\nu _{t}=\nu _{t}(\omega -\theta \nu _{t})\,dt+\xi \nu _{t}^{3/2}\,dB_{t}.\,}$

Однако значение параметров отличается от модели Хестона. В этой модели как возврат к среднему значению, так и параметры изменчивости дисперсии являются стохастическими величинами, определяемыми выражением ${\displaystyle \theta \nu _{t}}$ и ${\displaystyle \xi \nu _{t}}$ соответственно.

Калибровка и оценка

После выбора конкретной модели SV ее необходимо откалибровать по существующим рыночным данным. Калибровка - это процесс определения набора параметров модели, которые наиболее вероятно соответствуют наблюдаемым данным. Один из популярных приемов - использовать оценка максимального правдоподобия (MLE). Например, в модели Хестона набор параметров модели ${\displaystyle \Psi _{0}=\{\omega ,\theta ,\xi ,\rho \}\,}$ можно оценить, применяя алгоритм MLE, например алгоритм Пауэлла. Направленный набор метод [1] к наблюдениям за историческими ценами базовых ценных бумаг.

В этом случае вы начинаете с оценки ${\displaystyle \Psi _{0}\,}$, вычислить остаточные ошибки при применении исторических данных о ценах к результирующей модели, а затем скорректировать ${\displaystyle \Psi \,}$ чтобы попытаться свести к минимуму эти ошибки. После выполнения калибровки стандартной практикой является периодическая повторная калибровка модели.

Альтернативой калибровке является статистическая оценка, позволяющая учитывать неопределенность параметров. Было предложено и реализовано много частотных и байесовских методов, как правило, для подмножества вышеупомянутых моделей. Следующий список содержит пакеты расширений для статистического программного обеспечения с открытым исходным кодом. р которые были специально разработаны для оценки гетероскедастичности. Первые три предназначены для моделей типа GARCH с детерминированной волатильностью; четвертый посвящен оценке стохастической волатильности.

• ругарх: ARFIMA, среднее значение, внешние регрессоры и различные разновидности GARCH, с методами подгонки, прогноза, моделирования, вывода и построения графиков.^[5]
• fГарх: Часть среды Rmetrics для преподавания «Финансовый инжиниринг и вычислительные финансы».
• Байес: Байесовская оценка модели GARCH (1,1) с t-инновациями Стьюдента.^[6]
• сточвол: Эффективные алгоритмы для полностью байесовской оценки моделей стохастической волатильности (SV) с помощью Цепь Маркова Монте-Карло (MCMC) методы.^[7][8]

Многие численные методы были разработаны с течением времени и решили ценообразование финансовых активов, таких как опционы, с моделями стохастической волатильности. Недавно разработанное приложение - это модель локальной стохастической волатильности.^[9] Эта модель локальной стохастической волатильности дает лучшие результаты при оценке новых финансовых активов, таких как валютные опционы.

Существуют также альтернативные библиотеки статистической оценки на других языках, таких как Python:

• PyFlux Включает поддержку байесовского и классического вывода для моделей GARCH и beta-t-EGARCH.

Смотрите также

• Модель Блэка – Шоулза
• Модель Хестона
• Местная волатильность
• Марковский переключающий мультифрактал
• Риск-нейтральная мера
• Модель волатильности SABR
• Скачок стохастической волатильности
• Подчиненный
• Волатильность
• Кластеризация волатильности
• Неустойчивость, неопределенность, сложность и двусмысленность

Рекомендации

1. Джим Гатерал (18 сентября 2006 г.). Поверхность волатильности: руководство для практикующего. Вайли. ISBN  978-0-470-06825-0.
2. Дж. Гатераль, А. Жакье (2014). «Безарбитражные поверхности волатильности SVI». Количественные финансы. 14. arXiv:1204.0646. Дои:10.1080/14697688.2013.819986.
3. PS Hagan, D Kumar, A. Lesniewski, DE Woodward (2002) Управление риском улыбки, Уилмотт, 84-108.
4. Брукс, Крис (2014). Вводная эконометрика для финансов (3-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 461. ISBN  9781107661455.
5. Галанос, Алексиос. "ругарх: Одномерные модели GARCH".
6. Ардия, Дэвид; Hoogerheide, Леннарт Ф. (2010). "Байесовская оценка модели GARCH (1,1) с инновациями Стьюдента" (PDF). Журнал R. 2 (2): 41–47.
7. Кастнер, Грегор (2016). «Работа со стохастической волатильностью временных рядов с использованием стохвола пакета R» (PDF). Журнал статистического программного обеспечения. 69 (5): 1–30. Дои:10.18637 / jss.v069.i05.
8. Кастнер, Грегор; Фрювирт-Шнаттер, Сильвия (2014). «Стратегия взаимного переплетения анциллярности и достаточности (ASIS) для повышения MCMC оценки моделей стохастической волатильности» (PDF). Вычислительная статистика и анализ данных. 79: 408–423. Дои:10.1016 / j.csda.2013.01.002.
9. ван дер Вейст, Роэль (2017). «Численные решения для стохастической модели локальной волатильности».

Источники

• Стохастическая волатильность и анализ средней дисперсии^{[постоянная мертвая ссылка ]}, Хёнсок Ан, Пол Уилмотт, (2006).
• Закрытое решение для опционов со стохастической волатильностью, С.Л. Хестон, (1993).
• Арбитраж внутренней волатильности, Алиреза Джавахери, (2005).
• Ускорение калибровки моделей стохастической волатильности, Килин, Фиодар (2006).