Теорема Птолемея - Ptolemys theorem

Теорема Птолемея - это соотношение между этими длинами вписанного четырехугольника.

В Евклидова геометрия, Теорема Птолемея отношение между четырьмя сторонами и двумя диагоналями циклический четырехугольник (четырехугольник, вершины лежат на общем круге). Теорема названа в честь Греческий астроном и математик Птолемей (Клавдий Птолемей).^[1] Птолемей использовал теорему как помощь в создании его таблица аккордов, тригонометрическая таблица, которую он применил в астрономии.

Если вершины вписанного четырехугольника равны А, B, C, и D по порядку, то теорема утверждает, что:

${\displaystyle |{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {BC}}|\cdot |{\overline {AD}}|}$

где вертикальные линии обозначают длины отрезков между названными вершинами. В контексте геометрии вышеупомянутое равенство часто просто записывается как

${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD}$

Это отношение можно словесно выразить следующим образом:

Если четырехугольник вписывается в круг, то произведение длин его диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон.

Более того, разговаривать теоремы Птолемея также верно:

В четырехугольнике, если сумма произведений длин двух его пар противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей, то четырехугольник можно вписать в круг, то есть это вписанный четырехугольник.

Примеры

Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник

Теорема Птолемея дает в качестве следствия красивую теорему^[2] относительно равностороннего треугольника, вписанного в круг.

Данный Равносторонний треугольник, начертанный на окружности, и точка на окружности.

Расстояние от точки до самой дальней вершины треугольника - это сумма расстояний от точки до двух ближайших вершин.

Доказательство: Сразу следует из теоремы Птолемея:

${\displaystyle qs=ps+rs\Rightarrow q=p+r.}$

Квадрат

Любой квадрат можно вписать в круг, центр которого является центром квадрата. Если общая длина его четырех сторон равна ${\displaystyle a}$ тогда длина диагонали равна ${\displaystyle a{\sqrt {2}}}$ согласно теорема Пифагора и соотношение очевидно выполняется.

Прямоугольник

Теорема Пифагора: "manifestum est": Коперник

В более общем смысле, если четырехугольник прямоугольник со сторонами a, b и диагональю d теорема Птолемея сводится к теореме Пифагора. В этом случае центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей. Произведение диагоналей тогда d², правая часть соотношения Птолемея представляет собой сумму а² + б².

Коперник, который широко использовал теорему Птолемея в своей тригонометрической работе, называет этот результат `` поризмом '' или самоочевидным следствием:

Кроме того, ясно (manifestum est), что, когда дана хорда, соединяющая дугу, может быть найдена и та хорда, которая охватывает остальную часть полукруга.^[3]

Пентагон

В Золотое сечение следует из этого применения теоремы Птолемея

Более интересный пример - соотношение между длиной а стороны и (общей) длины б из 5 хорд в правильном пятиугольнике. К завершение квадрата, соотношение дает Золотое сечение:^[4]

${\displaystyle {\begin{array}{rl}b\!\cdot \!b\,\;\;\qquad \quad \qquad =&\!\!\!\!a\!\cdot \!a+a\!\cdot \!b\\b^{2}\;\;-ab\quad \qquad =&\!\!a^{2}\\{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\;\;-{\frac {ab}{a^{2}}}\;\;\;\qquad =&\!\!\!{\frac {a^{2}}{a^{2}}}\\({\frac {b}{a}})^{2}-{\frac {b}{a}}+({\frac {1}{2}})^{2}=&\!\!1+({\frac {1}{2}})^{2}\\({\frac {b}{a}}-{\frac {1}{2}})^{2}=&\!\!\quad {\frac {5}{4}}\\{\frac {b}{a}}-{\frac {1}{2}}\;\;\;=&\!\!\!\!\pm {\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {b}{a}}>0\,\Rightarrow \,\varphi ={\frac {b}{a}}=&\!\!\!\!{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\end{array}}}$

Сторона десятиугольника

Сторона вписанного десятиугольника

Если теперь диаметр AF провести пополам DC, так что DF и CF являются сторонами c вписанного десятиугольника, теорема Птолемея снова может быть применена - на этот раз к циклическому четырехугольнику ADFC с диаметром d как одна из его диагоналей:

${\displaystyle ad=2bc}$

${\displaystyle \Rightarrow ad=2\varphi ac}$ куда ${\displaystyle \varphi }$ это золотое сечение.

${\displaystyle \Rightarrow c={\frac {d}{2\varphi }}.}$^[5]

откуда сторона вписанного десятиугольника получается через диаметр круга. Теорема Пифагора, примененная к прямоугольному треугольнику AFD, дает "b" в терминах диаметра и "a" в отношении стороны пятиугольника. ^[6] после этого рассчитывается как

${\displaystyle a={\frac {b}{\varphi }}=b(\varphi -1).}$

В качестве Коперник (вслед за Птолемеем) писал:

«Приведен диаметр круга, также даны стороны треугольника, четырехугольника, пятиугольника, шестиугольника и десятиугольника, которые описывает тот же круг».^[7]

Доказательства

Дальнейшая информация: Доказательства тригонометрических тождеств

Доказательство подобием треугольников.

Конструкции для доказательства теоремы Птолемея

Пусть ABCD - циклический четырехугольник.На аккорд До н.э. вписанные углы ∠BAC = ∠BDC, а на AB ADB = ∠ACB. Построим K на AC так, чтобы ABK = ∠CBD; поскольку ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, CBK = ∠ABD.

Теперь по общим углам △ ABK равен похожий в DBC, и аналогично ABD подобен △ KBC. Таким образом, AK / AB = CD / BD, и CK / BC = DA / BD; эквивалентно AK · BD = AB · CD и CK · BD = BC · DA Сложив два равенства, мы получим AK · BD + CK · BD = AB · CD + BC · DA, а факторизация дает (AK + CK) · BD = AB · CD + BC · DA. Но AK + CK = AC, поэтому AC · BD = AB · CD + BC · DA, Q.E.D.^[8]

Написанное доказательство действительно только для просто вписанные четырехугольники. Если четырехугольник самопересекающийся, то K будет находиться вне отрезка AC. Но в этом случае AK − CK = ± AC, что дает ожидаемый результат.

Доказательство тригонометрическими тождествами

Пусть вписанные углы, образуемые ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle CD}$ быть, соответственно, ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \gamma }$, а радиус круга равен ${\displaystyle R}$, то имеем ${\displaystyle AB=2R\sin \alpha }$, ${\displaystyle BC=2R\sin \beta }$, ${\displaystyle CD=2R\sin \gamma }$, ${\displaystyle AD=2R\sin(180-(\alpha +\beta +\gamma ))}$, ${\displaystyle AC=2R\sin(\alpha +\beta )}$ и ${\displaystyle BD=2R\sin(\beta +\gamma )}$, и доказываемое исходное равенство преобразуется к виду

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )\sin(\beta +\gamma )=\sin \alpha \sin \gamma +\sin \beta \sin(\alpha +\beta +\gamma )}$

из которого фактор ${\displaystyle 4R^{2}}$ исчез, разделив на него обе части уравнения.

Теперь, используя формулы суммы, ${\displaystyle \sin(x+y)=\sin {x}\cos y+\cos x\sin y}$ и ${\displaystyle \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}$, нетривиально показать, что обе части приведенного выше уравнения равны

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \alpha \sin \beta \cos \beta \cos \gamma +\sin \alpha \cos ^{2}\beta \sin \gamma \\+{}&\cos \alpha \sin ^{2}\beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \beta \sin \gamma .\end{aligned}}}$

Q.E.D.

Вот еще одно, возможно, более прозрачное доказательство с использованием элементарной тригонометрии. Определите новый четырехугольник. ${\displaystyle ABCD'}$ вписаны в тот же круг, где ${\displaystyle A,B,C}$ такие же, как в ${\displaystyle ABCD}$, и ${\displaystyle D'}$, лежащая на той же хорде, что и ${\displaystyle D}$, определяется ${\displaystyle |{\overline {AD'}}|=|{\overline {AC}}|}$, ${\displaystyle |{\overline {CD'}}|=|{\overline {AD}}|}$. Потом, ${\displaystyle ABCD'}$ имеет одинаковую длину ребер и, следовательно, те же вписанные углы, образуемые соответствующими ребрами, как ${\displaystyle ABCD}$, только в другом порядке. То есть, ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \gamma }$, для соответственно ${\displaystyle AB,BC}$ и ${\displaystyle AD'}$.Также, ${\displaystyle ABCD}$ и ${\displaystyle ABCD'}$ имеют одинаковую площадь. Потом,

${\displaystyle {\begin{aligned}Area(ABCD)&={\frac {1}{2}}AC\cdot BD\cdot \sin(\alpha +\gamma );\\Area(ABCD')&={\frac {1}{2}}AB\cdot AD'\cdot \sin(180-\alpha -\gamma )+{\frac {1}{2}}BC\cdot CD'\cdot \sin(\alpha +\gamma )\\&={\frac {1}{2}}(AB\cdot CD+BC\cdot AD)\cdot \sin(\alpha +\gamma )\end{aligned}}}$.

Q.E.D.

Доказательство обращением

Доказательство теоремы Птолемея с помощью инверсия круга

Выберите вспомогательный круг ${\displaystyle \Gamma }$ радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в D, относительно которого описанная окружность ABCD равна перевернутый в линию (см. рисунок).${\displaystyle A'B'+B'C'=A'C'.}$потом ${\displaystyle A'B',B'C'}$ и ${\displaystyle A'C'}$ можно выразить как ${\displaystyle {\frac {AB\cdot DB'\cdot r^{2}}{DA}}}$, ${\displaystyle {\frac {BC\cdot DB'\cdot r^{2}}{DC}}}$ и ${\displaystyle {\frac {AC\cdot DC'\cdot r^{2}}{DA}}}$ соответственно. Умножая каждый член на ${\displaystyle {\frac {DA\cdot DC}{DB'\cdot r^{2}}}}$ и используя ${\displaystyle {\frac {DC'}{DB'}}={\frac {DB}{DC}}}$ дает равенство Птолемея.

Q.E.D. Обратите внимание: если четырехугольник не является вписанным, то A ', B' и C 'образуют треугольник и, следовательно, A'B' + B'C '> A'C', что дает нам очень простое доказательство неравенства Птолемея, которое представлено ниже. .

Доказательство с использованием комплексных чисел

Пусть ABCD расположен по часовой стрелке вокруг круга в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ путем выявления ${\displaystyle A\mapsto z_{A},\ldots ,D\mapsto z_{D}}$ с ${\displaystyle z_{A},\ldots ,z_{D}\in \mathbb {C} }$. От полярная форма комплексного числа ${\displaystyle z=\vert z\vert e^{i\arg(z)}}$, следует

${\displaystyle \angle ABC=\arg(z_{C}-z_{B})-\arg(z_{A}-z_{B}){\pmod {2\pi }},\quad }$ и

${\displaystyle \angle CDA=\arg(z_{A}-z_{D})-\arg(z_{C}-z_{D}){\pmod {2\pi }}}$.

Поскольку противоположные углы в циклическом четырехугольнике суммируются с ${\displaystyle \pi }$, следует

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\pi +\angle ABC+\angle CDA{\pmod {2\pi }}\\&=\arg(-1)+\left[\arg(z_{C}-z_{B})-\arg(z_{A}-z_{B})\right]+\left[\arg(z_{A}-z_{D})-\arg(z_{C}-z_{D})\right]{\pmod {2\pi }}\\&=\arg \left[(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right]-\arg \left[(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})\right].\end{aligned}}}$

Поэтому положим ${\displaystyle \varphi =-\arg \left[(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})\right]=-\arg \left[(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right],}$так что

${\displaystyle \left|(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})\right|=(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})e^{i\varphi },\quad }$ и

${\displaystyle \left|(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|=(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})e^{i\varphi }}$.

Как следствие,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}&=\left|z_{A}-z_{B}\right|\left|z_{C}-z_{D}\right|+\left|z_{A}-z_{D}\right|\left|z_{B}-z_{C}\right|\\&=\left|(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})\right|+\left|(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})\right|\\&=(z_{A}-z_{B})(z_{C}-z_{D})e^{i\varphi }+(z_{A}-z_{D})(z_{B}-z_{C})e^{i\varphi }\\&=(z_{A}-z_{C})(z_{B}-z_{D})e^{i\varphi }\\&=\left|(z_{A}-z_{C})(z_{B}-z_{D})e^{i\varphi }\right|\\&=\left|z_{A}-z_{C}\left|\right|z_{B}-z_{D}\right|\left|e^{i\varphi }\right|\\&={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}\end{aligned}}}$

где предпоследнее равенство следует из того факта, что величина уже действительна и положительна.Q.E.D.

Следствия

${\displaystyle |S_{1}|=\sin(\theta _{1})}$

Следствие 1: теорема Пифагора

В случае круга единичного диаметра стороны ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}}$ любого вписанного четырехугольника ABCD численно равны синусам углов ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$ и ${\displaystyle \theta _{4}}$ которые они подчиняются. Точно так же диагонали равны синусу суммы любого из пара углов они подчиняются. Тогда мы можем записать теорему Птолемея в следующей тригонометрической форме:

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\sin(\theta _{1}+\theta _{4})}$

Применение определенных условий к полученным углам ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$ и ${\displaystyle \theta _{4}}$ можно вывести ряд важных следствий, используя приведенное выше в качестве отправной точки. В дальнейшем важно помнить, что сумма углов ${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4}=180^{\circ }}$.

Следствие 1. Теорема Пифагора.

Позволять ${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{3}}$ и ${\displaystyle \theta _{2}=\theta _{4}}$. потом ${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}=\theta _{3}+\theta _{4}=90^{\circ }}$(так как противоположные углы вписанного четырехугольника дополнительные). Потом:^[9]

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\sin(\theta _{1}+\theta _{4})}$

${\displaystyle \sin ^{2}\theta _{1}+\sin ^{2}\theta _{2}=\sin ^{2}(\theta _{1}+\theta _{2})}$

${\displaystyle \sin ^{2}\theta _{1}+\cos ^{2}\theta _{1}=1}$

Следствие 2. Закон косинусов.

Следствие 2: закон косинусов

Позволять ${\displaystyle \theta _{2}=\theta _{4}}$. Прямоугольник следствия 1 теперь представляет собой симметричную трапецию с равными диагоналями и парой равных сторон. Параллельные стороны различаются по длине на ${\displaystyle 2x}$ единицы, где:

${\displaystyle x=S_{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})}$

В этом случае будет проще вернуться к стандартной формулировке теоремы Птолемея:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}S_{1}S_{3}+S_{2}S_{4}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}\\\Rightarrow S_{1}S_{3}+{S_{2}}^{2}={\overline {AC}}^{2}\\\Rightarrow S_{1}[S_{1}-2S_{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})]+{S_{2}}^{2}={\overline {AC}}^{2}\\\Rightarrow {S_{1}}^{2}+{S_{2}}^{2}-2S_{1}S_{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})={\overline {AC}}^{2}\\\end{array}}}$

Правило косинусов для треугольника ABC.

Следствие 3. Составной угловой синус (+)

Позволять

${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}=\theta _{3}+\theta _{4}=90^{\circ }.}$

потом

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\sin(\theta _{3}+\theta _{4})}$

Следовательно,

${\displaystyle \cos \theta _{2}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cos \theta _{3}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\times 1}$

Формула для составного углового синуса (+).^[10]

Следствие 4. Составной угловой синус (-)

Позволять ${\displaystyle \theta _{1}=90^{\circ }}$. потом ${\displaystyle \theta _{2}+(\theta _{3}+\theta _{4})=90^{\circ }}$. Следовательно,

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\sin(\theta _{3}+\theta _{4})}$

${\displaystyle \sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cos(\theta _{2}+\theta _{3})=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\cos \theta _{2}}$

${\displaystyle \sin \theta _{3}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\cos \theta _{2}-\cos(\theta _{2}+\theta _{3})\sin \theta _{2}}$

Формула для составного углового синуса (-).^[10]

Этот вывод соответствует Третья теорема как записано Коперник следующий Птолемей в Альмагест. В частности, если даны стороны пятиугольника (отступающие на 36 ° по окружности) и шестиугольника (отступающие на 30 ° по окружности), может быть вычислена хорда, проходящая на 6 °. Это был критический шаг в древнем методе расчета таблиц аккордов.^[11]

Следствие 5. Косинус составного угла (+)

Это следствие составляет основу Пятая теорема как записано Коперником вслед за Птолемеем в Альмагесте.

Позволять ${\displaystyle \theta _{3}=90^{\circ }}$. потом ${\displaystyle \theta _{1}+(\theta _{2}+\theta _{4})=90^{\circ }}$. Следовательно

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{3}+\theta _{2})\sin(\theta _{3}+\theta _{4})}$

${\displaystyle \cos(\theta _{2}+\theta _{4})+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\cos \theta _{2}\cos \theta _{4}}$

${\displaystyle \cos(\theta _{2}+\theta _{4})=\cos \theta _{2}\cos \theta _{4}-\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}}$

Формула для составного углового косинуса (+)

Несмотря на недостаток ловкости наших современных тригонометрических обозначений, из приведенных выше следствий должно быть ясно, что в теореме Птолемея (или, проще говоря, Вторая теорема ) Древний мир имел в своем распоряжении чрезвычайно гибкий и мощный тригонометрический инструмент, который позволял знатокам того времени составлять точные таблицы аккордов (соответствующие таблицам синусов) и использовать их в своих попытках понять и нанести на карту космос как они это видели. Поскольку таблицы аккордов были составлены Гиппарх Мы должны предположить, что за три столетия до Птолемея он знал «Вторую теорему» и ее производные. По следам древних астрономов история записывает звездный каталог Тимохарис Александрии. Если, что кажется вероятным, составление таких каталогов требовало понимания `` Второй теоремы '', то истинное происхождение последней впоследствии исчезает в тумане древности, но не может быть безосновательным предположение, что астрономы, архитекторы и инженеры-строители Древний Египет мог кое-что знать об этом.

Неравенство Птолемея

Основная статья: Неравенство Птолемея

Это нет вписанный четырехугольник. Равенство здесь никогда не соблюдается и неравно в направлении, указанном неравенством Птолемея.

Уравнение теоремы Птолемея никогда не выполняется с нециклическими четырехугольниками. Неравенство Птолемея является расширением этого факта и является более общей формой теоремы Птолемея. В нем говорится, что, учитывая четырехугольник ABCD, тогда

${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}$

где равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник равен циклический. Этот частный случай эквивалентен теореме Птолемея.

Вторая теорема Птолемея

${\displaystyle {\frac {AC}{BD}}={\frac {AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+DA\cdot CD}}}$

Теорема Птолемея дает произведение диагоналей (вписанного четырехугольника), зная стороны. Приведенная выше идентичность дает их соотношение.

Доказательство: Известно, что площадь треугольника ${\displaystyle ABC}$ вписанный в круг диаметром ${\displaystyle R}$ является : ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {AB\cdot BC\cdot CA}{4R}}}$

Записывая площадь четырехугольника как сумму двух треугольников, имеющих один и тот же описывающий круг, мы получаем два соотношения для каждого разложения.

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\text{tot}}={\frac {AB\cdot BC\cdot CA}{4R}}+{\frac {CD\cdot DA\cdot AC}{4R}}={\frac {AC\cdot (AB\cdot BC+CD\cdot DA)}{4R}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\text{tot}}={\frac {AB\cdot BD\cdot DA}{4R}}+{\frac {BC\cdot CD\cdot DB}{4R}}={\frac {BD\cdot (AB\cdot DA+BC\cdot CD)}{4R}}}$

Приравнивая, получаем заявленную формулу.

Последствие: Зная произведение и соотношение диагоналей, мы вычитаем их непосредственные выражения:

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}&=AC\cdot BD\cdot {\frac {AC}{BD}}=(AB\cdot CD+BC\cdot DA){\frac {AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+DA\cdot CD}}\\[8pt]BD^{2}&={\frac {AC\cdot BD}{\frac {AC}{BD}}}=(AB\cdot CD+BC\cdot DA){\frac {AB\cdot BC+DA\cdot CD}{AB\cdot DA+BC\cdot CD}}\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Теорема Кейси
• Греческая математика

Примечания

1. К. Птолемей, Альмагест, Книга 1, Глава 10.
2. Уилсон, Джим. «Теорема Птолемея». ссылка проверена 08.04.2009
3. De Revolutionibus Orbium Coelestium: стр. 37. См. Последние две строки этой страницы. Коперник называет теорему Птолемея «Теорема вторая».
4. Предложение 8. в книге XIII Элементы Евклида доказывает с помощью аналогичных треугольников тот же результат: а именно, что длина a (сторона пятиугольника) делит длину b (соединяя чередующиеся вершины пятиугольника) в «среднем и крайнем соотношении».
5. И аналогичным образом Предложение 9. в книге XIII Элементы Евклида с помощью подобных треугольников доказывает, что длина c (сторона десятиугольника) делит радиус в «среднем и крайнем соотношении».
6. Интересную статью о построении правильного пятиугольника и определении длины стороны можно найти по следующей ссылке. [1]
7. De Revolutionibus Orbium Coelestium: Liber Primus: Теорема Primum
8. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2010), Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику, Математические экспозиции Дольчиани, 42, Математическая ассоциация Америки, п. 112, ISBN  9780883853481.
9. В De Revolutionibus Orbium Coelestium, Коперник не ссылается на теорему Пифагора по имени, но использует термин «поризм» - слово, которое в данном конкретном контексте, казалось бы, обозначает наблюдение или очевидное следствие другой существующей теоремы. «Поризм» можно посмотреть на страницах 36 и 37 DROC (электронная копия Гарварда)
10. "Синус, косинус и теорема Птолемея".
11. Чтобы понять третью теорему, сравните диаграмму Коперника, показанную на странице 39 Гарвардская копия из De Revolutionibus к таковому для происхождения греха (A-B), найденному в приведенном выше завязать узел страница в Интернете

Рекомендации

• Кокстер, Х. С. М. и С. Л. Грейцер (1967) "Теорема Птолемея и ее расширения". §2.6 в Возвращение к геометрии, Математическая ассоциация Америки С. 42–43.
• Коперник (1543) De Revolutionibus Orbium Coelestium, Английский перевод найден в На плечах гигантов (2002) под редакцией Стивен Хокинг, Книги о пингвинах ISBN  0-14-101571-3
• Амарасингхе, Г. В. И. С. (2013) Краткое элементарное доказательство теоремы Птолемея, Глобальный журнал перспективных исследований классической и современной геометрии (GJARCMG) 2 (1): 20–25 (pdf).

внешняя ссылка

• Доказательство теоремы Птолемея для циклического четырехугольника
• MathPages - По теореме Птолемея
• Элерт, Гленн (1994). "Таблица аккордов Птолемея". Электронный мир.
• Теорема Птолемея в завязать узел
• Доказательство составного угла в завязать узел
• Теорема Птолемея на PlanetMath
• Неравенство Птолемея на MathWorld
• De Revolutionibus Orbium Coelestium в Гарварде.
• Глубокие секреты: Великая пирамида, золотое сечение и королевский кубит
• Теорема Птолемея Джей Варендорф, Демонстрационный проект Wolfram.
• Книга XIII из Элементы Евклида