Теорема Кейси - Caseys theorem

В математика, Теорема Кейси, также известный как обобщенный Теорема Птолемея, является теоремой в Евклидова геометрия назван в честь ирландцев математик Джон Кейси.

Формулировка теоремы

${\displaystyle t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0}$

Позволять ${\displaystyle \,O}$ быть кругом радиуса ${\displaystyle \,R}$. Позволять ${\displaystyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}}$ быть (в таком порядке) четырьмя непересекающимися окружностями, лежащими внутри ${\displaystyle \,O}$ и касательно этого. Обозначим через ${\displaystyle \,t_{ij}}$ длина внешней общей битангентный кругов ${\displaystyle \,O_{i},O_{j}}$. Потом:^[1]

${\displaystyle \,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.}$

Обратите внимание, что в вырожденном случае, когда все четыре круга сводятся к точкам, это в точности Теорема Птолемея.

Доказательство

Следующее доказательство можно приписать^[2] Захарии.^[3] Обозначим радиус круга ${\displaystyle \,O_{i}}$ к ${\displaystyle \,R_{i}}$ и его точка касания с окружностью ${\displaystyle \,O}$ к ${\displaystyle \,K_{i}}$. Мы будем использовать обозначения ${\displaystyle \,O,O_{i}}$ для центров окружностей. Обратите внимание, что от теорема Пифагора,

${\displaystyle \,t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}.}$

Мы постараемся выразить эту длину в баллах ${\displaystyle \,K_{i},K_{j}}$. Посредством закон косинусов в треугольнике ${\displaystyle \,O_{i}OO_{j}}$,

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}}$

Поскольку круги ${\displaystyle \,O,O_{i}}$ касательные друг к другу:

${\displaystyle {\overline {OO_{i}}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j}}$

Позволять ${\displaystyle \,C}$ быть точкой на круге ${\displaystyle \,O}$. Согласно закон синуса в треугольнике ${\displaystyle \,K_{i}CK_{j}}$:

${\displaystyle {\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}}$

Следовательно,

${\displaystyle \cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}}$

и подставив их в формулу выше:

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)}$

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}$

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}$

И наконец, длина, которую мы ищем, равна

${\displaystyle t_{ij}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}}$

Теперь мы можем оценить левую часть с помощью исходного Теорема Птолемея применяется к вписанному четырехугольник ${\displaystyle \,K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)\\[4pt]={}&t_{13}t_{24}\end{aligned}}}$

Дальнейшие обобщения

Видно, что четыре круга не обязательно должны находиться внутри большого круга. На самом деле, они могут касаться его и снаружи. В этом случае следует внести следующие изменения:^[4]

Если ${\displaystyle \,O_{i},O_{j}}$ оба касаются с одной стороны ${\displaystyle \,O}$ (как внутри, так и снаружи), ${\displaystyle \,t_{ij}}$ - длина внешней общей касательной.

Если ${\displaystyle \,O_{i},O_{j}}$ касаются с разных сторон ${\displaystyle \,O}$ (один за другим), ${\displaystyle \,t_{ij}}$ - длина внутренней общей касательной.

Верно и обратное утверждение теоремы Кейси.^[4] То есть при равенстве окружности касаются общей окружности.

Приложения

Теорема Кейси и ее обратная теорема могут использоваться для доказательства множества утверждений в Евклидова геометрия. Например, самое короткое из известных доказательств^[1]:411 из Теорема Фейербаха использует обратную теорему.

Рекомендации

1. Кейси, Дж. (1866 г.). «Об уравнениях и свойствах: (1) системы кругов, соприкасающихся с тремя кругами на плоскости; (2) системы сфер, касающихся четырех сфер в пространстве; (3) системы кругов, касающихся трех кругов на сфере. ; (4) Системы коник, вписанных в конику, и соприкасающихся с тремя вписанными кониками на плоскости ». Труды Королевской ирландской академии. 9: 396–423. JSTOR  20488927.
2. Боттема, О. (1944). Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde. (перевод Рейни Эрне как «Темы элементарной геометрии», Springer, 2008 г., второго расширенного издания, опубликованного Epsilon-Uitgaven в 1987 г.).
3. Захария, М. (1942). "Der Caseysche Satz". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 52: 79–89.
4. Джонсон, Роджер А. (1929). Современная геометрия. Houghton Mifflin, Boston (переизданное факсимиле Dover 1960, 2007 как Advanced Euclidean Geometry).

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Кейси". MathWorld.
• Шайлеш Ширали: Об обобщенной теореме Птолемея^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Crux Mathematicorum, том 22, выпуск 2 (он содержит статью выше)