Функциональный анализ - Functional analysis

Для оценки и лечения человеческого поведения см. Функциональный анализ (психология).

Один из возможных режимов вибрации идеализированного круга. барабан. Эти режимы собственные функции линейного оператора в функциональном пространстве, общая конструкция в функциональном анализе.

Функциональный анализ это филиал математический анализ который изучает трансформации из функции и их алгебраический и топологический характеристики. Поле строится на и обобщает результаты Жозеф Фурье бумага 1822 г., Теория аналитик де ла шалёр (Аналитическая теория тепла), которая продемонстрировала, как изменение основы с помощью преобразование Фурье может использоваться для разрешения манипуляций с функцией в частотная область чтобы получить информацию, которую раньше невозможно было получить. Функциональный анализ имеет современные приложения во многих областях алгебры, в частности ассоциативная алгебра, в вероятность, теория операторов, вейвлеты и вейвлет-преобразования. В функциональный анализ данных (FDA) парадигма Джеймс О. Рамзи и Бернард Сильверман связывает функциональный анализ с Анализ главных компонентов и уменьшение размерности.

Функциональный анализ имеет сильные параллели с линейная алгебра, поскольку оба поля основаны на векторные пространства как основная алгебраическая структура. Функциональный анализ наделяет линейную алгебру понятиями из топологии (например, внутренний продукт, норма, топологическое пространство ) при определении топологическое векторное пространство (TVS)^{[домыслы? ]}, который усиливает понятия непрерывности и предела и поддерживает обобщение на бесконечномерные пространства. Основная операция в TVS: линейное преобразование.

Важной частью функционального анализа является расширение теории мера, интеграция, и вероятность в бесконечномерные пространства, также известные как бесконечномерный анализ. Кроме того, функциональный анализ обобщает концепцию ортонормированный базис - как обнаружено в анализе Фурье - произвольным внутренние пространства продукта, в том числе бесконечномерные. Важные теоретические результаты включают Теорема Банаха – Штейнгауза, спектральная теорема (центральное место в теории операторов), Теорема Хана – Банаха, теорема об открытом отображении, и теорема о замкнутом графике.

Исторические корни функционального анализа лежат в изучении пространства функций и формулировка свойств преобразований функций, таких как преобразование Фурье как преобразования, определяющие непрерывный, унитарный и т.д. операторы между функциональными пространствами. Эта точка зрения оказалась особенно полезной для изучения дифференциал и интегральные уравнения.

Использование слова функциональный как существительное восходит к вариационное исчисление, подразумевая функция, аргумент которой является функцией. Термин впервые был использован в Leçons sur le Calcul des Changes (1910) по Жак Адамар. Однако общее понятие функционала было введено ранее в 1887 году итальянским математиком и физиком. Вито Вольтерра.^[1][2] Теорию нелинейных функционалов продолжили ученики Адамара, в частности Морис Рене Фреше и Поль Леви. Адамар также основал современную школу линейный функциональный анализ дальнейшее развитие Фриджес Рис и польский Львовская математическая школа сосредоточено вокруг Стефан Банах.

Нормированные векторные пространства

Основным и исторически первым классом пространств, изучаемых в функциональном анализе, являются: полный нормированные векторные пространства над настоящий или же сложные числа. Такие пространства называются Банаховы пространства. Важным примером является Гильбертово пространство, где норма возникает из внутреннего продукта. Эти пространства имеют фундаментальное значение во многих сферах, включая математическая формулировка квантовой механики, машинное обучение, уравнения в частных производных, и Анализ Фурье.

В более общем плане функциональный анализ включает изучение Пространства фреше и другие топологические векторные пространства не наделен нормой.

Важным объектом изучения функционального анализа являются непрерывный линейные операторы определенные на банаховых и гильбертовых пространствах. Это естественным образом приводит к определению C * -алгебры и другие операторные алгебры.

Гильбертовы пространства

Гильбертовы пространства можно полностью классифицировать: существует единственное гильбертово пространство вплоть до изоморфизм для каждого мощность из ортонормированный базис.^[3] Конечномерные гильбертовы пространства полностью понимаются в линейная алгебра, и бесконечномерные отделяемый Гильбертовы пространства изоморфны ${displaystyle ell ^{,2}(aleph _{0}),}$. Разделимость важна для приложений, поэтому функциональный анализ гильбертовых пространств в основном имеет дело с этим пространством. Одна из открытых проблем функционального анализа - доказать, что каждый ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве имеет собственное инвариантное подпространство. Многие частные случаи этого проблема инвариантного подпространства уже доказано.

Банаховы пространства

Общий Банаховы пространства являются более сложными, чем гильбертовы пространства, и их нельзя классифицировать так просто, как эти. В частности, во многих банаховых пространствах отсутствует понятие, аналогичное ортонормированный базис.

Примеры банаховых пространств: ${displaystyle L^{,p}}$-пространства для любого реального числа ${displaystyle pgeq 1}$ . Учитывая также меру ${displaystyle mu }$ на съемочной площадке ${displaystyle X}$, тогда ${displaystyle L^{,p}(X)}$, иногда также обозначается ${displaystyle L^{,p}(X,mu )}$ или же ${displaystyle L^{,p}(mu )}$, имеет в качестве векторов классы эквивалентности ${displaystyle [,f,]}$ из измеримые функции чей абсолютная величина с ${displaystyle p}$-й степени имеет конечный интеграл, т. е. функции ${displaystyle f,}$ для чего есть

${displaystyle int _{X}left|f(x)ight|^{p},dmu (x)<+infty }$.

Если ${displaystyle mu }$ это счетная мера, то интеграл можно заменить суммой. То есть нам требуется

${displaystyle sum _{xin X}left|f(x)ight|^{p}<+infty }$.

Тогда не приходится иметь дело с классами эквивалентности, и пространство обозначается ${displaystyle ell ^{ p}(X)}$, написано проще ${displaystyle ,ell ^{,p }}$ в том случае, когда ${displaystyle X}$ это множество неотрицательных целые числа.

В банаховых пространствах большая часть исследований включает двойное пространство: пространство всего непрерывный линейные отображения из пространства в лежащее в его основе поле, так называемые функционалы. Банахово пространство можно канонически отождествить с подпространством его двузначного числа, которое является двойственным к его двойственному пространству. Соответствующая карта является изометрия но в целом не на. Общее банахово пространство и его бидуальное пространство не обязательно должны быть каким-либо образом изометрически изоморфны, в отличие от конечномерной ситуации. Это объясняется в статье о двух пробелах.

Кроме того, понятие производная может быть расширен до произвольных функций между банаховыми пространствами. См., Например, Производная Фреше статья.

Линейный функциональный анализ

Основные и основополагающие результаты

Важные результаты функционального анализа включают:

Принцип равномерной ограниченности

Основная статья: Теорема Банаха-Штейнхауза

В принцип равномерной ограниченности или же Теорема Банаха – Штейнгауза является одним из фундаментальных результатов функционального анализа. Вместе с Теорема Хана – Банаха и теорема об открытом отображении, считается одним из краеугольных камней отрасли. В своей основной форме он утверждает, что для семьи непрерывные линейные операторы (и, следовательно, ограниченные операторы), область определения которых Банахово пространство, поточечная ограниченность равносильна равномерной ограниченности по операторной норме.

Теорема была впервые опубликована в 1927 г. Стефан Банах и Хьюго Штайнхаус но это также было независимо доказано Ганс Хан.

Теорема (принцип равномерной ограниченности). Позволять Икс быть Банахово пространство и Y быть нормированное векторное пространство. Предположим, что F представляет собой набор непрерывных линейных операторов из Икс к Y. Если для всех Икс в Икс надо

${displaystyle sup olimits _{Tin F}|T(x)|_{Y}<infty ,}$

тогда

${displaystyle sup olimits _{Tin F}|T|_{B(X,Y)}<infty .}$

Спектральная теорема

Основная статья: Спектральная теорема

Есть много теорем, известных как спектральная теорема, но у одного, в частности, есть много приложений в функциональном анализе.

Теорема:^[4] Позволять А - ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве ЧАС. Тогда есть измерить пространство (Икс, Σ, μ) и ценный существенно ограниченный измеримая функция ж на Икс и унитарный оператор U:ЧАС → L²_μ(Икс) такой, что

${displaystyle U^{*}TU=A;}$

куда Т это оператор умножения:

${displaystyle [Tvarphi ](x)=f(x)varphi (x).;}$

и ${displaystyle |T|=|f|_{infty }}$

Это начало обширной области исследований функционального анализа, называемой теория операторов; см. также спектральная мера.

Аналогичная спектральная теорема существует и для ограниченного нормальные операторы на гильбертовых пространствах. Единственная разница в выводе состоит в том, что сейчас ${displaystyle f}$ может быть комплексным.

Теорема Хана – Банаха

Основная статья: Теорема Хана – Банаха

В Теорема Хана – Банаха является центральным инструментом функционального анализа. Это позволяет продлить ограниченные линейные функционалы определен на подпространстве некоторого векторное пространство ко всему пространству, а также показывает, что "достаточно" непрерывный линейные функционалы, определенные на каждом нормированное векторное пространство изучить двойное пространство "интересно".

Теорема Хана – Банаха:^[5] Если п : V → р это сублинейная функция, и φ : U → р это линейный функционал на линейное подпространство U ⊆ V который преобладают к п на U, т.е.

${displaystyle varphi (x)leq p(x)qquad forall xin U}$

то существует линейное продолжение ψ : V → р из φ ко всему пространству V, т.е. существует линейный функционал ψ такой, что

${displaystyle psi (x)=varphi (x)qquad forall xin U,}$

${displaystyle psi (x)leq p(x)qquad forall xin V.}$

Теорема об открытом отображении

Основная статья: Теорема об открытом отображении (функциональный анализ)

В теорема об открытом отображении, также известная как теорема Банаха – Шаудера (названная в честь Стефан Банах и Юлиуш Шаудер ), является фундаментальным результатом, который утверждает, что если непрерывный линейный оператор между Банаховы пространства является сюръективный тогда это открытая карта. Точнее,:^[5]

Теорема об открытом отображении. Если Икс и Y банаховы пространства и А : Икс → Y - сюръективный непрерывный линейный оператор, то А открытая карта (т.е. если U является открытый набор в Икс, тогда А(U) открыт в Y).

Доказательство использует Теорема Бэра о категории, и полнота обоих Икс и Y существенно для теоремы. Утверждение теоремы перестает быть верным, если любое пространство просто предполагается нормированное пространство, но верно, если Икс и Y считаются Пространства фреше.

Теорема о замкнутом графике

Основная статья: Теорема о замкнутом графике

Теорема о замкнутом графике утверждает следующее: Если Икс это топологическое пространство и Y это компактный Пространство Хаусдорфа, то график линейного отображения Т из Икс к Y закрыто тогда и только тогда, когда Т является непрерывный.^[6]

Другие темы

Основная статья: Список тем функционального анализа

Основы математики соображения

Большинство пространств, рассматриваемых в функциональном анализе, имеют бесконечную размерность. Чтобы показать существование базис векторного пространства для таких пространств может потребоваться Лемма Цорна. Однако несколько иное понятие, Основа Шаудера, обычно более актуален в функциональном анализе. Многие очень важные теоремы требуют Теорема Хана – Банаха, обычно доказывается с помощью аксиома выбора, хотя строго более слабый Теорема о булевом простом идеале достаточно. В Теорема Бэра о категории, необходимая для доказательства многих важных теорем, также требует определенной аксиомы.

Точки зрения

Функциональный анализ в его современном виде^{[Обновить]} включает следующие тенденции:

• Абстрактный анализ. Подход к анализу, основанный на топологические группы, топологические кольца, и топологические векторные пространства.
• Геометрия Банаховы пространства содержит много тем. Один комбинаторный подход, связанный с Жан Бургейн; другой - характеристика банаховых пространств, в которых различные формы закон больших чисел держать.
• Некоммутативная геометрия. Разработан Ален Конн, частично опираясь на более ранние представления, такие как Джордж Макки подход к эргодическая теория.
• Связь с квантовая механика. Либо в узком смысле, как в математическая физика, или широко интерпретируется, например, Израиль Гельфанд, чтобы включить большинство типов теория представлений.

Смотрите также

• Список тем функционального анализа
• Спектральная теория

Рекомендации

1. acsu.buffalo.edu
2. История математических наук ISBN  978-93-86279-16-3 п. 195
3. Рис, Фриджес; Сёкефалви-Надь, Бела (1990). Функциональный анализ (Дуврский ред.). Нью-Йорк: Dover Publications. С. 195–199. ISBN  978-0-486-66289-3.
4. Холл, B.C. (2013), Квантовая теория для математиков, Springer, стр. 147
5. Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. McGraw-Hill Наука / Инженерия / Математика. ISBN  978-0-07-054236-5.
6. Мункрес, Джеймс (2000), Топология (2-е изд.), Река Верхнее Седл: Prentice Hall, стр. 163–172, ISBN  0-13-181629-2, п. 171

дальнейшее чтение

• Алипрантис, C.D., Border, K.C .: Бесконечный анализ измерений: автостопом, 3-е изд., Springer 2007, ISBN  978-3-540-32696-0. В сети Дои:10.1007/3-540-29587-9 (по подписке)
• Бахман, Г., Наричи, Л .: Функциональный анализ, Academic Press, 1966. (перепечатка Dover Publications)
• Банах С. Теория линейных операций. Том 38, Математическая библиотека Северной Голландии, 1987, ISBN  0-444-70184-2
• Брезис, Х.: Анализируйте Fonctionnelle, Данод ISBN  978-2-10-004314-9 или же ISBN  978-2-10-049336-4
• Конвей, Дж. Б.: Курс функционального анализа, 2-е издание, Springer-Verlag, 1994, ISBN  0-387-97245-5
• Данфорд, Н. и Шварц, Дж.: Линейные операторы, общая теория, John Wiley & Sons, и другие 3 тома, включая диаграммы визуализации
• Эдвардс, Р. Э .: Функциональный анализ, теория и приложения, Холд, Райнхарт и Уинстон, 1965.
• Эйдельман, Юлий, Виталий Мильман и Антонис Цоломитис: Функциональный анализ: введение, Американское математическое общество, 2004.
• Фридман, А.: Основы современного анализа, Dover Publications, издание в мягкой обложке, 21 июля 2010 г.
• Джайлз, Дж. Р.: Введение в анализ линейных нормированных пространств, Cambridge University Press, 2000 г.
• Хирш Ф., Лакомб Г. - «Элементы функционального анализа», Springer, 1999.
• Хатсон В., Пим Дж. С., Клауд М.Дж .: Приложения функционального анализа и теории операторов, 2-е издание, Elsevier Science, 2005 г., ISBN  0-444-51790-1
• Канторовиц, С.,Введение в современный анализ, Oxford University Press, 2003, 2-е изд., 2006.
• Колмогоров, А. и Фомин, С.В.: Элементы теории функций и функционального анализа, Dover Publications, 1999 г.
• Крейсциг, Э.: Вводный функциональный анализ с приложениями, Wiley, 1989.
• Лакс, П.: Функциональный анализ, Wiley-Interscience, 2002 г., ISBN  0-471-55604-1
• Лебедев Л.П., Ворович И.И .: Функциональный анализ в механике, Springer-Verlag, 2002 г.
• Мишель, Энтони Н. и Чарльз Дж. Херже: Прикладная алгебра и функциональный анализ, Дувр, 1993.
• Пич, Альбрехт: История банаховых пространств и линейных операторов, Birkhäuser Boston Inc., 2007 г., ISBN  978-0-8176-4367-6
• Рид, М., Саймон, Б.: "Функциональный анализ", Academic Press, 1980.
• Рис, Ф. и С.-Надь, Б .: Функциональный анализ, Dover Publications, 1990 г.
• Рудин, В.: Функциональный анализ, McGraw-Hill Science, 1991 г.
• Сакс, Карен: Начало функционального анализа, Springer, 2001 г.
• Шехтер, М .: Принципы функционального анализа, AMS, 2-е издание, 2001 г.
• Шилов Георгий Э .: Элементарный функциональный анализ, Дувр, 1996.
• Соболев, С.: Приложения функционального анализа в математической физике, AMS, 1963 г.
• Фогт, Д., Мейсе, Р .: Введение в функциональный анализ, Oxford University Press, 1997.
• Йосида, К.: Функциональный анализ, Springer-Verlag, 6-е издание, 1980 г.

внешняя ссылка

• "Функциональный анализ", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Темы реального и функционального анализа к Джеральд Тешл, Венский университет.
• Конспект лекций по функциональному анализу Евгений Виленский, Нью-Йоркский университет.
• Лекционные видео по функциональному анализу к Грег Морроу из Университет Колорадо Колорадо-Спрингс