Вероятность частого - Frequentist probability

Вероятность частого или же частотность является интерпретация вероятности; он определяет событие вероятность как предел своего родственника частота во многих испытаниях. Вероятности могут быть найдены (в принципе) с помощью повторяемого объективного процесса (и, таким образом, в идеале не учитываются мнения). Эта интерпретация поддерживает статистические потребности многих ученых-экспериментаторов и социологов. Однако он не поддерживает все потребности; Игроки обычно требуют оценки шансов без экспериментов.

Развитие частотного подхода было мотивировано проблемами и парадоксами господствовавшей ранее точки зрения. классическая интерпретация. В классической интерпретации вероятность определялась через принцип безразличия, исходя из естественной симметрии задачи, поэтому например вероятности игры в кости возникают из-за естественной симметричной шестигранности куба. Эта классическая интерпретация наталкивается на любую статистическую проблему, не имеющую естественной симметрии для рассуждений.

Определение

В частотной интерпретации вероятности обсуждаются только при работе с четко определенными случайные эксперименты (или случайные выборки).^[1] В набор всех возможных исходов случайного эксперимента называется пространство образца эксперимента. An мероприятие определяется как особый подмножество рассматриваемого пространства образца. Для любого данного события может иметь место только одна из двух возможностей: оно происходит или нет. В относительная частота наступления события, наблюдаемого в нескольких повторениях эксперимента, является мерой вероятность этого события. Это основная концепция вероятности в частотной интерпретации.

Заявление частотного подхода состоит в том, что по мере увеличения числа испытаний изменение относительной частоты будет уменьшаться. Следовательно, можно рассматривать вероятность как предельное значение соответствующих относительных частот.^[2]

Объем

Частотная интерпретация - это философский подход к определению и использованию вероятностей; это один из нескольких таких подходов. Он не претендует на то, чтобы охватить все коннотации понятия «вероятный» в разговорной речи естественных языков.

Как интерпретация, это не противоречит математической аксиоматизации теории вероятностей; скорее, это руководство по применению математической теории вероятностей к ситуациям реального мира. Он предлагает четкое руководство по построению и планированию практических экспериментов, особенно в сравнении с Байесовская интерпретация. Вопрос о том, является ли это руководство полезным или может быть неправильно истолкован, был источником разногласий. В частности, когда частотная интерпретация вероятности ошибочно считается единственно возможным основанием для частотный вывод. Так, например, список неверных толкований значения p-значения сопровождает статью о p-значениях; разногласия подробно описаны в статье о статистическая проверка гипотез. В Парадокс Джеффриса – Линдли показывает, как разные интерпретации, примененные к одному и тому же набору данных, могут привести к разным выводам о «статистической значимости» результата.^{[нужна цитата ]}

В качестве Уильям Феллер отметил:^[3]

В нашей системе нет места для спекуляций относительно вероятности того, что солнце взойдет завтра. Прежде чем говорить об этом, мы должны согласовать (идеализированную) модель, которая предположительно будет работать по принципу «из бесконечного множества миров один выбирается случайным образом ...» Для построения такой модели требуется немного воображения, но она кажется и неинтересно, и бессмысленно.

Комментарий Феллера был критикой Лапласа, который опубликовал решение проблемы восхода солнца с использованием альтернативной вероятностной интерпретации. Несмотря на явный и немедленный отказ от ответственности Лапласа в источнике, основанный на опыте в астрономии, а также на теории вероятностей, за этим последовало два столетия критики.

История

Частотный взгляд, возможно, был предвосхищен Аристотель, в Риторика,^[4] когда он написал:

вероятно то, что по большей части случается^[5]

Пуассон четко различать объективные и субъективные вероятности в 1837 г.^[6] Вскоре после этого шквал почти одновременных публикаций Мельница, Эллис («Об основах теории вероятностей»^[7] и «Замечания об основных принципах теории вероятностей»^[8]), Курно (Выставка теории шансов и вероятностей)^[9] и Фри представил частотный взгляд. Venn предусмотрена обстоятельная экспозиция (Логика случая: эссе об основах и области теории вероятности (печатные издания 1866, 1876, 1888 гг.))^[10] два десятилетия спустя. Они были дополнительно поддержаны публикациями Логический и Бертран. К концу XIX века частотная интерпретация утвердилась и, возможно, стала доминирующей в науке.^[6] Следующее поколение установило инструменты классической логической статистики (проверка значимости, проверка гипотез и доверительные интервалы), основанные на частотной вероятности.

В качестве альтернативы,^[11] Джейкоб Бернулли (AKA Джеймс или Жак) понял концепцию частотной вероятности и опубликовал критическое доказательство (слабый закон больших чисел) посмертно в 1713. Ему также приписывают некоторую оценку субъективной вероятности (до и без теоремы Байеса).^[12]^[13] Гаусс и Лаплас использовал частотную (и другую) вероятность при выводе метода наименьших квадратов столетием позже, за поколение до Пуассона.^[14] Лаплас рассмотрел вероятности свидетельских показаний, таблиц смертности, приговоров судов и т. Д., Которые вряд ли могут претендовать на классическую вероятность. С этой точки зрения вклад Пуассона заключался в его резкой критике альтернативной «обратной» (субъективной, байесовской) интерпретации вероятностей. Любая критика со стороны Гаусса и Лапласа была сдержанной и скрытой. (В их более поздних выводах не использовалась обратная вероятность.)

Основными участниками "классической" статистики в начале 20 века были Фишер, Нейман и Пирсон. Фишер внес вклад в большую часть статистики и сделал значимое тестирование ядром экспериментальной науки; Нейман сформулировал доверительные интервалы и внес большой вклад в теорию выборки; Нейман и Пирсон объединились в создании проверки гипотез. Все ценили объективность, поэтому лучшей доступной им интерпретацией вероятности была частотная. Все с подозрением относились к «обратной вероятности» (доступной альтернативе) с априорной вероятностью, выбранной с использованием принципа безразличия. Фишер сказал: «... теория обратной вероятности основана на ошибке [ссылаясь на теорему Байеса] и должна быть полностью отвергнута». (из его «Статистических методов для научных работников»). Хотя Нейман был чистым частотником,^[1] Взгляды Фишера на вероятность уникальны; У обоих были тонкие взгляды на вероятность. фон Мизес предложил комбинацию математической и философской поддержки частотного подхода в ту эпоху.^[2]^[15]

Этимология

Согласно Оксфордский словарь английского языка, термин «частотный» впервые был использован М. Г. Кендалл в 1949 г., в отличие от Байесовцы, которых он назвал «нечастотниками».^[16]^[17] Он заметил

3 .... мы можем в общих чертах выделить два основных взгляда. Один принимает вероятность как «степень рационального убеждения» или какую-то подобную идею ... второй определяет вероятность в терминах частоты возникновения событий или относительных пропорций в «популяциях» или «коллективах»; (стр.101)

...

12. Можно подумать, что различия между частотниками и нечастотниками (если я могу их так назвать) в значительной степени обусловлены различиями в областях, которые они, как предполагается, охватывают. (стр.104)

...

Я утверждаю, что это не так ... Существенное различие между частотниками и нечастицами, я думаю, заключается в том, что первые, стремясь избежать чего-либо, относящегося к вопросам общественного мнения, стремятся определить вероятность в терминах объективных свойств населения, реальных или гипотетический, тогда как последнее - нет. [курсив в оригинале]

«Частотная теория вероятности» использовалась поколением раньше в качестве названия главы у Кейнса (1921).^[4]

Историческая последовательность: были введены концепции вероятности и выведена большая часть математики вероятностей (до 20 века), были разработаны классические методы статистического вывода, математические основы вероятности были укреплены, и была введена современная терминология (все в 20 веке). В первичных исторических источниках по вероятности и статистике не использовалась текущая терминология классической, субъективной (байесовской) и частотной вероятности.

Альтернативные виды

Теория вероятности это раздел математики. Хотя ее корни уходят в прошлое, она достигла зрелости с аксиомами Андрей Колмогоров в 1933 году. Теория сосредотачивается на действительных операциях над значениями вероятности, а не на начальном присвоении значений; математика во многом не зависит от какой-либо интерпретации вероятности.

Приложения и интерпретации вероятность рассматриваются философией, науками и статистикой. Все заинтересованы в извлечении знаний из наблюдений -индуктивное мышление. Есть множество конкурирующих интерпретаций;^[18] У всех проблемы. Частотная интерпретация действительно решает трудности с классической интерпретацией, такие как любая проблема, в которой естественная симметрия результатов неизвестна. Он не решает другие проблемы, такие как голландская книга.

Классическая вероятность назначает вероятности на основе физической идеализированной симметрии (игральные кости, монеты, карты). Классическое определение подвержено риску округления; Вероятности определяются исходя из равенства вероятностей.^[19] В отсутствие симметрии полезность определения ограничена.
Субъективная (байесовская) вероятность (семья конкурирующих интерпретаций) рассматривает степени веры. Все практические «субъективные» интерпретации вероятности настолько ограничены рациональностью, что избегают большей части субъективности. Настоящая субъективность отталкивает некоторые определения науки, которые стремятся к результатам, независимым от наблюдателя и аналитика.^{[нужна цитата ]} Другие приложения байесовского подхода в науке (например, логический байесовский подход) охватывают врожденную субъективность многих научных исследований и объектов и используют байесовские рассуждения для определения границ и контекста влияния субъективности по всему анализу.^[20] Исторические корни этой концепции простираются на такие нечисловые приложения, как юридические доказательства.
Вероятность склонности рассматривает вероятность как причинное явление, а не как чисто описательное или субъективное.^[18]

Примечания

^ ^а ^б Нейман, Ежи (30 августа 1937 г.). «Очерк теории статистического оценивания на основе классической теории вероятностей». Фил. Пер. R. Soc. Лондон. А. 236 (767): 333–380. Дои:10.1098 / рста.1937.0005. Вывод доверительных интервалов Нейманом основывался на теоретико-мерных аксиомах вероятности, опубликованных Колмогоровым несколько лет назад, и ссылался на субъективные (байесовские) определения вероятностей Джеффриса, опубликованные ранее в этом десятилетии. Нейман определил частотную вероятность (под названием классическая) и заявил о необходимости случайности в повторных выборках или испытаниях. Он в принципе согласился с возможностью нескольких конкурирующих теорий вероятности, высказав при этом несколько конкретных оговорок относительно существующей альтернативной интерпретации вероятности.
^ ^а ^б фон Мизес, Ричард (1939) Вероятность, статистика и правда (на немецком языке) (английский перевод, 1981: Dover Publications; 2 Исправленное издание. ISBN 0486242145) (стр.14)
^ Уильям Феллер (1957), Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Vol. 1, п. 4
^ ^а ^б Кейнс, Джон Мейнард; Трактат о вероятности (1921), Глава VIII «Частотная теория вероятностей».
^ Риторика Кн 1 ч 2; обсуждается в Дж. Франклине, Наука гипотез: доказательства и вероятность до Паскаля (2001), Издательство Университета Джона Хопкинса. ISBN 0801865697 , п. 110.
^ ^а ^б Гигеренцер, Герд; Свийтинк, Портер; Дастон, Битти; Дастон, Крюгер (1989). Империя случая: как вероятность изменила науку и повседневную жизнь. Кембридж, Кембриджшир, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 35–6, 45. ISBN 978-0-521-39838-1.
^ Эллис, Роберт Лесли (1843 г.) "Об основах теории вероятностей", Труды Кембриджского философского общества том 8
^ Эллис, Роберт Лесли (1854) «Замечания об основных принципах теории вероятностей», Труды Кембриджского философского общества том 9
^ Курно, Антуан Огюстен (1843) Экспозиция теории шансов и вероятностей. Л. Ашетт, Париж. archive.org
^ Венн, Джон (1888) Логика случая, 3-е издание archive.org. Полное название: Логика случая: эссе об основах и области теории вероятностей, с особым упором на ее логическое обоснование и ее применение к моральным и социальным наукам, а также к статистике., Macmillan & Co, Лондон
^ Халд, Андерс (2004). История параметрического статистического вывода от Бернулли до Фишера, 1713-1935 гг.. Копенгаген: Андерс Хальд, факультет прикладной математики и статистики, Копенгагенский университет. С. 11–12. ISBN 978-87-7834-628-5.
^ Финберг, Стивен Э. (1992). "Краткая история статистики в трех с половиной главах: обзорный очерк". Статистическая наука. 7 (2): 208–225. Дои:10.1214 / сс / 1177011360.
^ Дэвид, Ф. Н. (1962). Игры, боги и азартные игры. Нью-Йорк: Хафнер. С. 137–138. Бернулли привел классический пример извлечения множества черных и белых камешков из урны (с заменой). Соотношение образцов позволило Бернулли сделать вывод о соотношении в урне с более жесткими границами по мере увеличения количества образцов. Историки могут интерпретировать этот пример как классический, частотный или субъективный вероятностный. Дэвид говорит: «Джеймс определенно начал здесь полемику об обратной вероятности ...» Бернулли писал за несколько поколений до Байеса, Лапласа и Гаусса. Споры продолжаются.
^ Халд, Андерс (2004). История параметрического статистического вывода от Бернулли до Фишера, 1713-1935 гг.. Копенгаген: Андерс Хальд, факультет прикладной математики и статистики, Копенгагенский университет. С. 1–5. ISBN 978-87-7834-628-5.
^ Теория частоты Глава 5; обсуждается у Дональда Жиля, Философские теории вероятностей (2000), Psychology Press. ISBN 9780415182751 , п. 88.
^ Самые ранние из известных применений некоторых слов вероятности и статистики
^ Кендалл, Морис Джордж (1949). «О согласовании теорий вероятностей». Биометрика. Biometrika Trust. 36 (1/2): 101–116. Дои:10.1093 / biomet / 36.1-2.101. JSTOR 2332534.
^ ^а ^б Гайек, Алан, Залта, Эдвард Н. (ред.), Интерпретации вероятности, Стэнфордская энциклопедия философии Проверить значения даты в: | archivedate = (помощь)
^ Эш, Роберт Б. (1970). Основная теория вероятностей. Нью-Йорк: Вили. С. 1–2.
^ Фэрфилд, Таша; Чарман, Эндрю Э. (15 мая 2017 г.). «Явный байесовский анализ для отслеживания процессов: рекомендации, возможности и предостережения». Политический анализ. 25 (3): 363–380. Дои:10.1017 / pan.2017.14.