Классическое определение вероятности - Classical definition of probability

В классическое определение или же интерпретация вероятности идентифицирован[1] с работами Джейкоб Бернулли и Пьер-Симон Лаплас. Как сказано в Аналитическая теория вероятностей,

Вероятность события - это отношение количества благоприятных для него случаев к количеству всех возможных случаев, когда ничто не заставляет нас ожидать, что любой из этих случаев должен произойти чаще, чем любой другой, что делает их для нас: одинаково возможно.

Это определение по сути является следствием принцип безразличия. Если элементарные события присваиваются равные вероятности, то вероятность дизъюнкции элементарных событий - это просто количество событий в дизъюнкции, деленное на общее количество элементарных событий.

Классическое определение вероятности было поставлено под сомнение несколькими писателями XIX века, в том числе Джон Венн и Джордж Буль.[2] В частотное определение вероятности получили широкое признание в результате их критики, особенно благодаря работам Р.А. Фишер. Классическое определение пережило своего рода возрождение из-за общего интереса к Байесовская вероятность, потому что байесовские методы требуют предварительного распределения вероятностей, а принцип безразличия предлагает один источник такого распределения. Классическая вероятность может предлагать априорные вероятности, которые отражают незнание, которое часто кажется уместным до проведения эксперимента.

История

Как математический предмет теория вероятности возник очень поздно - по сравнению с геометрия например, несмотря на то, что у нас есть доисторические свидетельства того, что человек играл в кости, представленный культурами со всего мира.[3] Одним из первых авторов теории вероятностей был Джероламо Кардано. Возможно, он дал самое раннее известное определение классической вероятности.[4]

Устойчивое развитие вероятности началось в 1654 году, когда Блез Паскаль переписывался с другом своего отца Пьер де Ферма о двух проблемах, связанных с азартными играми, он слышал от Шевалье де Мере ранее в том же году, которого Паскаль сопровождал во время поездки. Одной из проблем была так называемая проблема очков, классическая проблема уже тогда (лечится Лука Пачоли еще в 1494 г.[5] и даже раньше в анонимной рукописи 1400 г.[5]), разбираясь с вопросом, как разделить деньги на карту честно когда текущая игра прерывается на полпути. Другая проблема была связана с математическим правилом большого пальца, которое, казалось, не выполнялось при расширении игры в кости с использования одного кубика до двух. Эта последняя проблема, или парадокс, была открыта самим Мере и показала, по его словам, насколько опасно применять математику к реальности.[5][6] Во время поездки они обсудили и другие математико-философские вопросы и парадоксы, которые, по мнению Мере, укрепляли его общие философские взгляды.

Паскаль, не согласный с взглядом Мере на математику как на нечто прекрасное и безупречное, но плохо связанное с реальностью, решил доказать неправоту Мере, решив эти две проблемы в рамках чистой математики. Когда он узнал, что Ферма, уже признанный выдающимся математиком, пришел к тем же выводам, он был убежден, что они окончательно решили проблемы. Эта переписка распространялась среди других ученых того времени, в частности, среди Гюйгенс, Роберваль и косвенно Карамуэль,[5] и знаменует собой отправную точку, когда математики в целом начали изучать задачи из азартных игр. В переписке «вероятность» не упоминалась; Он ориентирован на справедливые цены.[7]

Полвека спустя Якоб Бернулли продемонстрировал изощренное понимание вероятности. Он продемонстрировал способность к перестановкам и комбинациям, обсудил концепцию вероятности на примерах, выходящих за рамки классического определения (например, личные, судебные и финансовые решения), и показал, что вероятности могут быть оценены путем повторных испытаний с уменьшением неопределенности по мере увеличения количества испытаний.[7][8]

Том 1765 года из классиков Дидро и Даламбера Энциклопедия содержит подробное обсуждение вероятности и обобщение знаний до того времени. Различают вероятности, «основанные на рассмотрении самой природы» (физические) и вероятности, «основанные только на опыте в прошлом, который может заставить нас уверенно делать выводы на будущее» (доказательные).[9]

Источником четкого и прочного определения вероятности был Лаплас. Еще в 1814 году он заявил:

Теория случайности состоит в том, чтобы свести все события одного и того же вида к определенному количеству случаев, в равной степени возможных, то есть к таким, в отношении которых мы можем в равной степени нерешить в отношении их существования, и в определении количества случаев. благоприятный для события, вероятность которого ищется. Отношение этого числа к числу всех возможных случаев является мерой этой вероятности, которая, таким образом, представляет собой просто дробь, числитель которой является числом благоприятных случаев, а знаменатель - числом всех возможных случаев.

— Пьер-Симон Лаплас, Философский очерк вероятностей[10]

Это описание и дало бы в конечном итоге классическое определение вероятности. Лаплас опубликовал несколько изданий множества документов (технических и популяризационных) о вероятности за полвека. Многие из его предшественников (Кардано, Бернулли, Байес) опубликовали единственный документ посмертно.

Критика

Классическое определение вероятности приписывает событиям равные вероятности на основе физической симметрии, которая естественна для монет, карт и игральных костей.

  • Некоторые математики возражают, что определение круглое.[11] Вероятность "честной" монеты равна ... "Справедливая" монета определяется вероятностью ...
  • Определение очень ограничено. Он ничего не говорит о случаях, когда не существует физической симметрии. Например, страховые взносы могут быть оценены рационально только на основе измеренных ставок убытков.
  • Нетривиально оправдать принцип безразличия, за исключением простейших и наиболее идеализированных случаев (расширение ограниченного определения проблемы). Монеты не являются действительно симметричными. Можем ли мы присвоить каждой стороне равные вероятности? Можем ли мы приписать равные вероятности любому реальному опыту?

Несмотря на ограниченность, определение сопровождается значительной уверенностью. Казино, в котором наблюдается заметное отклонение от классической вероятности, уверено, что его предположения были нарушены (кто-то обманывает).[нужна цитата ][оспаривается – обсуждать] Большая часть математики вероятностей была разработана на основе этого упрощенного определения. Альтернатива интерпретации вероятности (Например частотник и субъективный ) тоже есть проблемы.

Математическая теория вероятности имеет дело с абстракциями, избегая ограничений и философских сложностей любой вероятностной интерпретации.

Рекомендации

  1. ^ Джейнс, Э. Т., 2003 г., Теория вероятностей: логика науки, Издательство Кембриджского университета, см. стр. xx Предисловия и стр. 43.
  2. ^ Гигеренцер, Герд; Зено Свийтинк; Теодор Портер; Лоррейн Дастон; Джон Битти; Лоренц Крюгер (1989). Империя случая: как вероятность изменила науку и повседневную жизнь. Кембридж, Кембриджшир, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 35–6, 45. ISBN  978-0521398381.
  3. ^ Дэвид, Ф. Н. (1962). Игры, боги и азартные игры. Нью-Йорк: Хафнер. стр.1 –12. Хотя доказательства, представленные для игр, аналогичных «играм в кости» в доисторические времена, являются в некоторой степени предположительными (археологическими), доказательства наличия таких игр в далекой (около 3500 г. до н. Э.) Истории (письменности и картины) убедительны.
  4. ^ Горроочурн, Пракаш (2012). «Некоторые законы и проблемы классической вероятности и как их предвидел Кардано». Шанс. 25 (4): 13–20. Дои:10.1080/09332480.2012.752279. S2CID  29803482. Кардано уделял слишком много внимания удаче (и слишком мало математике), чтобы его можно было считать отцом вероятности. Текст содержит 5 исторических определений классической вероятности Кардано, Лейбница, Бернулли, де Муавра и Лапласа. Только последнее, написанное Лапласом, было полностью оценено и использовано.
  5. ^ а б c d Джеймс Франклин, Наука гипотез: доказательства и вероятность до Паскаля (2001) Издательство Университета Джона Хопкинса ISBN  0-8018-7109-3
  6. ^ Паскаль, Oeuvres Complètes 2:1142
  7. ^ а б Финберг, Стивен Э. (1992). "Краткая история статистики в трех с половиной главах: обзорный очерк". Статистическая наука. 7 (2): 208–225. Дои:10.1214 / сс / 1177011360.
  8. ^ Шафер, Гленн (1996). «Значение Ars Conjectandi Джейкоба Бернулли для философии вероятности сегодня». Журнал эконометрики. 75 (1): 15–32. CiteSeerX  10.1.1.407.1066. Дои:10.1016/0304-4076(95)01766-6.
  9. ^ Любьер, Шарль-Бенджамин, барон де. "Вероятность." Энциклопедия проекта совместного перевода Дидро и Даламбера. Перевод Даниэля К. Вайнера. Анн-Арбор: Michigan Publishing, Библиотека Мичиганского университета, 2008. http://hdl.handle.net/2027/spo.did2222.0000.983. Первоначально опубликовано как «Probabilité», Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des Sciences, des arts et des métiers, 13: 393–400 (Париж, 1765).
  10. ^ Лаплас, П. С., 1814, английское издание 1951 г., Философский очерк вероятностей, Нью-Йорк: Dover Publications Inc.
  11. ^ Эш, Роберт Б. (1970). Основная теория вероятностей. Нью-Йорк: Вили. стр.1 –2.
  • Пьер-Симон де Лаплас. Аналитическая теория вероятностей. Париж: Courcier Imprimeur, 1812 г.
  • Пьер-Симон де Лаплас. Философские очерки о вероятностях, 3-е изд. Париж: Courcier Imprimeur, 1816.
  • Пьер-Симон де Лаплас. Философский очерк вероятностей. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1995. (Перевод А.И. Дейла из пятого французского издания 1825 г. Обширные примечания.)

внешняя ссылка